PRÉFACE DE L'AUTEUR

La théorie des nombres est une des branches les plus anciennes des sciences mathématiques, et l'esprit humain remarqua de bonne heure quelques propriétés profondes des nombres naturels. Toutefois, ce n'est qu'aux temps modernes qu'elle doit son existence comme science indépendante et systématique.

On vante toujours de cette théorie des nombres la simplicité de ses fondements, la précision. de ses notions et la pureté de ses vérités. D'autres branches des connaissances mathématiques ont dû subir des développements plus ou moins longs avant d'atteindre les exigences de la certitude dans les concepts et de la rigueur dans les raisonnements.

Nous ne sommes donc pas surpris de l'enthousiasme qui à toute époque anima ses adeptes. Legendre dit en dépeignant l'amour d'Euler pour la théorie des nombres : « Presque tous les mathématiciens qui s'occupent de la théorie des nombres le font avec passion. » Nous nous rappelons aussi combien notre maître Gauss tenait en honneur la science arithmétique. Dès que, pour la première fois, il eut trouvé à souhait une démonstration d'une remarquable vérité arithmétique, « le charme de ces recherches l'avait tellement ensorcelé que, désormais, il ne put plus les laisser ». Il prisait Fermât, Euler, Lagrange et Legendre « comme des hommes d'une gloire incomparable, car ils ont ouvert les portes du sanctuaire de cette science divine et ont montré ce qu'il contient de richesses ».

C'est une particularité de la théorie des nombres que la difficulté de la démonstration de certaines vérités simples découvertes facilement par voie

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d'induction. « Et précisément ce qui donne à l 'Arithmétique supérieure », dit Gauss, (( ce charme magique qui en a fait la science préférée des géomètres, c'est de ne pas douter de ses richesses inépuisables qui surpassent celles de toutes les autres parties des mathématiques ».

On connaît la préférence de Lejeune-Dirichlet pour l'Arithmétique, l'activité de Kummer fut consacrée surtout à la Théorie des nombres, et Kronecker exprima les sentiments de son cours de mathématicien en ces termes : « Dieu fit le nombre entier, le reste est œuvre de l'homme. »

Si l'on tient compte de la rareté de ses pétitions de principe, la théorie des nombres est certainement la branche de la connaissance mathématique dont les vérités sont les plus faciles à saisir.

Mais pour comprendre et se rendre maître des concepts arithmétiques, l'esprit doitposséder une grande faculté d'abstraction. - c'est là un reproche que l'on fait quelquefois à l'Arithmétique. - Je suis d'avis que les autres branches des mathématiques exigent une faculté d'abstraction au moins égale, en admettant que dans ces domaines aussi on apporte la même rigueur et la même perfection dans l'examen des notions fondamentales.

Eu ce qui concerne le rôle de la théorie des nombres dans l'ensemble des sciences mathématiques, Gauss. dans sa Préface des Disquisiliones arllhmedcœ, considère encore la théorie des nombres comme une théorie des nombres naturels eir excluant expressément les nombres imaginaires.

D'après cela, il ne considère pas que la théorie de la division du cercle (Kreisteilung) appartient à la théorie des nombres; mais.il ajoute « que ces principes peuvent être tirés tout entiers et uniquement de l'Arithmétique supérieure ». A côté de Gauss. Jacobi et Lejeune-Dirichlet expriment maintes fois et avec force leur surprise à propos des rapports étroits entre les questions concernant les nombres et certains problèmes algébriques, en parliculier les problèmes de la division du cercle. La raison intime de ces rapports est parfaitement découverte aujourd'hui. La théorie des nombres algébriques, et la théorie des équations de Galois ont leurs racines communes da'ns la Théorie des corps algébriques, et cette théorie du corps de nombres est devenue la partie la plus importante de la théorie moderne des nombres. Le n.;rile d'avoir apporté le premier germe de la théorie du corps de nombres appartient encore à Gauss. Gauss reconnut que la source naturelle pour arriver aux lois dos restes biquadratiques était « l'extension du cl.amp de l'ariliimétique », comme il dit, cette extension s'obtenant par 1 inlro-