Introduisons en outre l’inextensibilité par les relations
ni sil.
Continuons de désigner par W la fonction W(s,, 1, 0, 0, p, 0, r), et supposons que seule cette fonction soit connue. Nous avons simplement les relations
dW K'— oW dr ‘
Par suite, si X, Y,Z, L, M, N ou X,, Y,, Z,, L,. M,, N, sont des fonctions données de 54, s, x, y, z et des dérivées de ces lettres par rapport à l’une
LA LIGNE DÉFORMABLE 5x
d'elles, nous avons les sept équations (20) et (21), où I, J, K sont à remplacer par leurs valeurs (26) et qui déterminent, en fonction de s, par exemple, les sept inconnues x, y, z, F, G, H, J'. En éliminant F, G, H, nous avons les quatre équations (24) et (25), qui définissent en fonction de s, les quatre inconnues +, y, z, J'.
Il est facile de déduire, du cas que nous venons de considérer, ceux envisagés par Lacrance, Biner et Poisson. | Supposons que les fonctions données L, M, N soient nulles : les trois équations (20) de droite forment un système équivalent au suivant : !
. — rJ! — O, !
+1l — pK —H'— 0,
D pr Go.
auquel se réduit celui du $ 40 : une ou deux de ces trois équations peuvent même, en général, remplacer une ou deux des équations de droite de (20). En perticuker, la relation d}
2 — rJ'— 0,
(27) ds, obtenue en ajoutant les trois équations (20) de droite, après les avoir multipliées par « — Ë, a =®, d — pe pourra en général être substituée à
l’une quelconque des dites équations (20) de droite.
Ceci remarqué, supposons en premier lieu que la fonction W des,, p,r, qui figure actuellement dans les relations (26), ne dépende pas de p; nous aurons À — 0, et la relatron (27) donnera J' — 0 en supposant r >< o; donc, dans le cas actuel, le moment de déformation est dirigé suivant la binormale de la courbe (M). On a à remplacer, dans les équations (10), I, 3, K, par les valeurs :
doW oW ES UE TE
1dW K = Ÿ F3 «
Les trois équations de droite (20) se réduisent à deux.
Nous obtenons ainsi le cas envisagé par LaGRANGE dans les n°° 46 et suivants du $ III, chapitre ur, première partie, section V de la Mécanique analytique (p. 162 et suiv. du T. I de la dernière édition).
Il n’est peut être pas inutile de montrer l'identité avec l'exposition de
Lacrance. Nous pouvons poser
1 — J, (dyd?z — d:d°y), J — J, (dzdx — drd?z), K = J, (dxd?y — dyd?x),
puisque le vecteur I, J, K est perpendiculaire au plan osculateur de (M).
Les équations (20) de droite, qui actuellement (L — M — N — o) s’écrivent :
dyd(J,d?z) — did(J,dy) = — Hdy + Gd, dzd (J,d?x) — dxd(J,d?z) = — Fdz + Hdx, ded(J,d?y) — dyd(J,dx) = — Gdx + Fdy,
ou
dx [y
permettent de poser
d(Dida)+F d(Jidy)+G d(Jidz)+H ire RO ei
d FAT — d(Jiax),
G—AŸ — d(Hidy),
H=XE — d(Ld,
en fhntroduisant une auxiliaire À.
Si nous transportons ces valeurs dans les trois équations (20) de gauche, nous retrouvons les équations données par Laërance, au début de son n° 48 : Àdx
Xds — dE + d'(Ndx) = 0,
Vds — d'U + d' (dy) = 0, Le — dE + A (id) = 0.
Dans la théorie précédente exposée par LacRancr, le moment de déformation est normal au plan osculateur ; Biner (‘) a proposé de considérer le cas où ce moment de déformation est simplement perpendiculaire à la normale principale; Bixer suppose d'autre part les éléments de la ligne soumis à des forces extérieures, de sorte que nous sommes encore dans le cas où L=M=N = 0; l'hypothèse J' — o faite par Biner entraîne, d’après (27),
Ï' — const.
Ce résultat, que nous avons déjà signalé au $ 40, sous la forme générale indépendante de W, et qui est dû à Porsson (?), peut avoir lieu, soit par le
fait de la particularisation des forces, soit par le fait de la particularisation du W.
(1) J. Bixer. — Mémoire sur l'expression analytique de l'élasticilé et de la raideur des courbes à double courbure (Bull. de la Soc. philomatique, 1814, P. 159-160 ; Journ, de l'Ec. Polyt., 17° Cahier, T. X, p. 418-456, 1815).
(?) Poisson. — Sur les lignes élastiques à double courbure, Correspondance sur l'Ecole Polytechnique, T. III, n° 3, p. 355-360, janvier 1816. Ce travail peut être considéré comme destiné à compléter le précédent dù à Brxer.
LA LIGNE DÉFORMABLE 53 Si nous nous plaçons dans ce dernier cas, nous avons W = 9(s,, r) + mp, m étant une constante ; par suite l=m, K'—®.
Avec cette hypothèse, on voit que si r 2 o, la condition (27) revient à dire que l’inconnue J' est égale à zéro, et, par suite, on a à remplacer, dans les équations (20), I, J, K par les valeurs
d I=am+ y,
Er 10?
J=em+ vs
et les trois équations (20) de droite se réduisent encore à deux. En particud® dr tant, et si on remplace r, en fonction de s,, on a l’hypothèse faite explicitement par Biver et Poisson. En supposant en outre que la courbe (M,) est une ligne droite et que les forces extérieures sont nulles, en sorte que le changement de (M,) en (M) vient uniquement des forces et des moments appliqués aux extrémités, on retrouve le problème traité par Biner et Wanrzez, sur lequel nous nous sommes déjà arrêtés précédemment.
En supposant m — o, dans tout ce que nous venons de dire, nous retombons sur le cas de LAGRANGE.
lier, si — se déduit d’une expression de la forme n(r — r,), où nest cons-
26. Les déformées rectilignes d’une ligne déformable. — Supposons que (M,) étant une ligne droite, on porte l'attention sur les déformées (M) qui sont également des lignes droites, qu’en outre l’axe Mz' soit dirigé suivant la droite (M) et M,x’ suivant la droite (M).
