Si on suppose d’abord la ligne extensible, nous avons

9 —= 19 — 0; C == 69 == 0, 4 —= Qo — 0, r= Tr, —= 0.

En continuant de désigner par W la fonction W(s,, 1 + p, 0, 0, p, 0, 0), nous aurons

in re ES U'

Quant à G/, H', J', K', ils ne peuvent être calculés au moyen de la seule connaissance de la fonction W(s,, 1 + 1, 0, 0, p, 0, 0); si donc cette fonction est seule donnée, on devra considérer G', H, J', K’ comme quatre auxi-

liaires, qui seront à définir par les équations.

b4 THÉORIE DES CORPS DÉFORMABLES

Dans le cas actuel, les équations (20) jointes aux relations (18}, (21) et aux suivantes :

a ++ ik" (28) JT + PI + KA ES rW A 0 SIK!

fourniront, lorsque X, Y,Z, L, M,N ou X,, Yo, Z, Lo, Ms NQ seront des fonctions données de s,, s, x, y, z et des dérivées de ces lettres par rapport à l’une d'elles, un système de huit équations différentielles relatives à quatre de ces lettres (en fonction de la cinquième) et à w, F, G, H, J’, K’:onaen outre deux équations du premier degré (dont les coefficients sont à déterminer) entre x, y, z.

Comme précédemment, on pourra éliminer F, G, H.

Un cas particulier est celui où (M) coïncide avec (M,), au point de vue ponctuel (coïncidence des sommets des trièdres).

2. Si on introduit en outre l’inextensibilité par les relations :

et si l’on continue de désigner par W la fonction W(s,, 1, 0, 0, p, 0, o), on

aura, en supposant connue cette seule dernière fonction, simplement la relation

SiX, Y,Z, L, M, N ou X,, Y,, Z,, Los Mo, No sont des fonctions données de s,, s, x, y, z et des dérivées de ces lettres par rapport à l’une d'elles, nous avons les sept équations (20) et (21), où I, J, K sont à remplacer par leurs valeurs (28) et qui, adjointes à deux relations du premier degré entre æ. y, z (avec des coefficients à déterminer par des conditions accessoires) déterminent en fonction de s, les neuf inconnues x, y, z, w, F, G, H, J', K!.

Comme précédemment, on peut éliminer F, G, H.

27. La ligne déformable obtenue par l’adjonction des conditions P—= Po 4 — Go r —r,;, et en particulier p — p, — 0, 4 — I — 0, r = Tr, — 0. — Cette ligne déformable peut s'étudier de différentes façons, soit en considérant les déformées (M) de la ligne déformable générale qui vérifient les conditions indiquées, soit en partant du W général et en définissant une nouvelle ligne par la considération des dites conditions, soit en par-

tant d'un W fonction de s,, £, 7, & et en définissant la ligne conformément à ces conditions.

Envisageons le premier point de vue. Désignons, pour un instant, par W, ce que devient W, lorsqu'on tient compte des conditions

P — Po: {4 — 4o Try

LA LIGNE DÉFORMABLE 55 c'est-à-dire posons :

W, LS [W (ss. &, Lo &, P: > r)h = PI = Ir =" = W (So ë, n; (@ Po> Lo» ro). Nous avons : ”

ToW dW, pus dW

ee =, 1-9] PER PONENV ET œ tP P— Por 1—= 0 7%

G — | 2 =[#] on P=P69—= M0 = T9 ni (4 P=P0r 1—= do — "9

réel emdieet

Le PP TEEN

Si donc nous ne voulons introduire que la fonction W, de s,, &, n, &, c'est-à-dire

la valeur que prend W pour p = po, 4 = qw r — ro; et si nous supposons ue l’on ne nous donne pas les valeurs que prennent les dérivées oW , oW q P que P dp

q | oW . ‘ :

Sr POUr P = Po 4 = ns Try nous nous trouvons en présence de six expressions, dont trois seulement F', G', H' peuvent être considérées comme données, et dont trois [', J’, K’ seront à déterminer.

Les équations de la question sont alors :

d Qi oW, doW, AL

ds, =) %o ch ro mn MERE

d />W oW oW, NEA

4 0 DU ae DCE

d /oW oW oW

ds, En Po oi T7 ra — y —=0, dl oW oW ds + DK — rod" + PL” OR RAT dJ' oW oW , Raul — PK + RS D dK' » W oW NN Jen Paie QE ace re gt Deer 4e

auxquelles il faut adjoindre p = p,, 4 = Go Fr = lo et qui nous donnent en tout neuf équations relatives aux neuf inconnues æ, y, z, A4, À l', 3”, K°. Les trois dernières formules sont à rapprocher de celles relatives à ce que Maxweuz a appelé l'induction magnétique à l’intérieur d’un aimant. Dans le cas particulier p = p, — 0, 4 —=4q—=0r—="—0, les formules précédentes prennent une forme très simple.

28. Ligne. déformable soumise à des liaisons. Equations canoniques. — Nous avons considéré, dans tout ce qui précède, une ligne FURE mable que nous avons qualifiée de libre, c’est-à-dire dont la théorie se développe sans faire intervenir d'éléments extérieurs, et au moyen d’une fonction W

constituée avec les éléments de la ligne dans son état naturel et dans l'état déformé.

En portant notre attention sur certaines déformées, nous avons pu, en adjoignant la notion d'un W caché, retrouver les équations proposées pour diverses lignes par les auteurs.

Nous pouvons, à côté de cette exposition, en placer une autre, dans laquelle, au lieu de considérer la ligne déformable des $$ 5 à 9, pour les déformations vérifiant certaines conditions déterminées, nous envisagerons une ligne déformable sui generis, dont la définition tient déjà compte des conditions déterminées vérifiées par les déformations particulières de la ligne précédente.

Pour définir la nouvelle ligne, en restant dans le même ordre d'idées que précédemment, voici comment nous procéderons.

Observons d’abord que les conditions imposées aux fonctions x,y,2,@,4/,..." peuvent être de deux sortes : 1. conditions entre ces fonctions et leurs dérivées (1), quel que soit s, ; 2. conditions vérifiées pour certaines valeurs de s,.

Bornons-nous aux conditions de la première espèce.

Soit, pour fixer les idées,

= 0» fa —=0,

deux conditions ou équalions de liaison. Au lieu de constituer en fonction des, les expressions précédemment définies au moyen de l'identité :

BQ f SWds, = [Fx + G'ôy + H'8z + L'Er + J'ès + KT, «/ A9 Bo — f (X'Iæe + Y'8y + Z'd'z + L'ôr + M'ô5 + N'ôr')ds,, .

où nous introduisons F', G', H', l’, J’, K' ; X’, Y’, Z’, L', M’, N' pour fixer

les idées, nous dirons que, par définition, l'identité précédente doit avoir lieu en vertu de

ou encore que, par définition, nous envisageons une ligne déformable dont la théorie résulte de la considération d’une fonction W(s,, &, ñ, &, p, q, r) et de deux fonctions auxiliaires À,, À, de s,, au moyen de l'identité :

B9 ; di WA + hf) ds= [Fe + GS y + H'8/ y + l'èn + J'8s + K'dx/]i0 Do — sf (Xe + Y'Ey + Z'0z + L'O + M'ô1 + N'ôx')ds,, A0

où cette fois toutes les variations sont arbitraires ; on doit d'ailleurs adjoindre a posteriori

Ji =; fs = 0.

(*) Notre exposition ne comporte pas la distinction des liaisons holonomes et des liaisons non holonomes,

Observons encore que, dans le cas où certains des premiers membres Jiafarees des équations de liaison ne renferment que les arguments qui figurent dans W, on pourra concevoir, soit que l’on procède comme nous venons de le dire, soit que, par un changement des auxiliaires, l’on introduise a priori dans W la donnée de ces équations de liaison particulières ; ceci nous ramène de nouveau à la notion du W caché: nous nous arrêterons sur ce point, dans les crea cas particuliers qui suivent et auxquels s'applique la remarque actuelle.

1. LiGNE FLEXIBLE ET INEXTENSIBLE. — Partons d'une fonction W de

- .ds Fu ve = — 1 et de s,, et adjoignons la condition p — 0. Nous définissons les

fonctions F’, G', H', X', Y’, Z' en partant de Je (ÔW + \u)ds — [F'8x + G'8y + H5z],° A9 3

BQ ] - d (Xi dx + V8 y + Z,Dz)ds,.

Ceci revient à remplacer, dans ce qui précède, W par W, — W + Àu, et il vient les formules :

Fr VW: He Lit A de ds, ds, ds,

dans lesquelles on doit tenir compte de x — o et qui déterminent alors PF, CH XX, 120:

Nous retombons, on le voit, sur la théorie de la ligne flexible et extensible généralisant celle de LacraxGr, qui correspond à la fonction W, des, et de ur, et dont on se borne à étudier les déformations qui correspondent à 1 — o. Si nous nous plaçons dans le cas du W, caché, nous supposons alors que l’on connaît simplement la valeur W, (s,) que prennent simultanément W et W;. pour — 0, et nous avons alors le système classique de la Mécanique.

Observons que si, pour constituer la ligne flexible et inextensible, nous tenons, par un changement des auxiliaires, compte a priori dans W de la condition p — 0, nous sommes ramenés à remplacer, dans les calculs relatifs à la ligne déformable générale, W par Àu, et nous arrivons à des formules qui conduisent encore à l’étude d’un fil flexible extensible, dont on sc borne à considérer les déformations qui correspondent à H — 0; ces formules, en supposant À non connu, nous ramènent de nouveau au système classique de la Mécanique.

Terminons par la remarque suivante. Supposons que, en vertu des formules qui définissent la déformation, on ait exprimé X,, Y5, Zo en fonction de s,, æ, y, z, de sorte que X,dx + Y,dy + Z,dz soit la différentielle totale d’une fonction de s,, x, y, z, par rapport à x, y, z. Supposons en outre que nous soyons dans le cas du W, caché, ou dans le cas envisagé en dernier lieu,

en sorte que nous sommes ramenés au cas de la Mécanique. D'après ce qui précède, on retrouve cette remarque, qui a servi de point de départ à CLesscu (1), que les équations de la question dans lesquelles figurent X,, Ys> Zo ne sont autres que les équations des extrémales du problème du calcul des variations, consistant à déterminer un extremum de l'intégrale

+ eds, dæ\? dy \? (7 1 hs (a) () + Qu) = nina Viral dy \? ( dz je a | tes [() + ee (a) =:

et appliquant les considérations développées par M. Jonpan (*), nous pouvons

ramener le système à la forme canonique ; le système exprime, en mettant À, à la place de T, que l’on annule la variation première de l'intégrale

sous la condition (?)

Posant :

en posant :

Les équations

: : dx dy dz , ps nest RES IR ee #2 permettent d'exprimer les variables à — A nn ide de À, en fonc tion des variables æ, y, z, p, PA p,, par les formules : A=Vh+n+p, v=i =, 2=$ Portant ces valeurs dans Pat +p:y +par —F, nous obtenons la fonction Be — (60 2 y, 2) + Vpi + pi+ pi,

(*) A. Crerscu. — Ueber die Gleichgewichtsfigur eines biegsamen Fadens, Journ. für die reine und angewandte Math., T. LVII, p. 93-116 [1859], 1860.

(2) I faut distinguer entre la question actuelle et celle traitée par M. Arreiz, Traité de Mécanique rationnelle, T. I, 1°° édition, $ 458, p. 205 et suiv. ; 2° édition, $ 446, p. 201 et suiv.

(°) Jorpax. — Cours d'Analyse de l'Ecole Polytechnique, T. III, 2° édition, n° 375, p. 5or, 502.

et nous avons, pour déterminer les variables x, y, z, p,, pa, ps, les équations (canoniques si s, ne figure pas dans &) :

dq, d#

EU: eds en désignant, avec M. Appec (!\, par q,, q,, q, les coordonnées x, y, z.

Nous retrouvons, on le voit, les résultats obtenus par M. Arrez (2), sous la forme simple qui leur a été donnée d’abord par M. Lecoux (*), puis par M. Marcocoxco (*), et d’où l’on peut déduire le passage à la méthode de Jacosr et les résultats donnés en premier lieu par CLerscu, dans le mémoire déjà cité (5).

On peut aussi présenter l'exposition précédente, comme nous l’avons fait pour la dynamique du point dans notre première Note et pour la ligne déformable générale.

Partons des équations

END 2 dy à. d ds, (r &)+X=0. BE (TE)+Y=0, Æ (Ta)+A=0

ou plutôt du système qui leur a donné naissance

qui peut être considéré comme définissant les six inconnues x, y, z, F, G, H. Supposons que X,, Y,, Z, soient des fonctions données de sç, x, y, z.

Si nous ajoutons les trois équations de la première ligne, après les avoir élevées au carré, nous voyons que T est défini en fonction de F, G, H par la

relation T2 — F2 + G? + H?,

d’où résultent

(t) ArrecL.— Traité de Mécanique rationnelle, 1°° éd., T. II, Exercice 14, p. 48-49; 2° éd., T. I, Exercice 14, p. 583-584.

(*) Areezc. — Rédaction à la forme canonique des équations d'un fil flexible et inextensible, C. R., 96, p. 688-691, 12 mars 1883 ; Traité de Mécanique rationnelle, citation du renvoi précédent.

3) A. Lecoux. — Equations canoniques, application à la recherche de l'équilibre des fils flexibles et des courbes brachistochrones, Mém. de l’Acad. des Sciences, inscriptions el belles lettres de Toulouse, 8° Série, T. VI, 2° semestre, p. 159-184, 1885.

(4) R. Mancozonco. — Sull equilibrio di un filo flessibile ed inestensibile, Rend. dell’ Accad. delle scienze fisiche e matematiche (Sezione della Socielà reale di Napoli), Série 2*, vol. II, p. 363-368, 1888. :

(5) Consulter également Arerecr, Sur léquilibre d’un fil flexible et inextensible, Ann.

de la Fac. des Sc. de Toulouse, (1), 4, p. B1-Bs, 1887.

La forme normale du système considéré est par suile :

Dome eee nr de Lo ds, — oG” de), anotl dF dG dH

cs ds, — M 0e

où T désigne une tonction de F,G, H définie par la formule T?— F?+G2+H:. oU

Si nous supposons que X5, Yo, Zo sont les dérivées partielles y

oU ; : : : :

7; changées de signe d'une fonction U de s,, x, y, z, et si nous posons

86 = — T + U, le système précédent prend la forme ER EN ON LES PRICE UE NE LES de = Voie © LD di 70H DÉC ER Re ds tem ds TD dy dso dz 2. Licné écasrique De Lorn Kecvin Er Tatr. — Nous pouvons répéter

pour cette ligne ce que nous venons de faire pour la ligne flexible inextensible. Partons d’une fonction W de s,, &, n, €, p, q, r et adjoignons les conditions :

Nous définissons les fonctions F', G', H/, L', J’, K'; X;, Y;, Z, L', M, N°, au moyen de l'identité

B) ii GW + put + pôn + p3tlds, —[F'd'x + G'y + … + K'èx]”

A 0 Po Bo : 1 x + YO0 y +... + Nièk') ds, ; AG

ceci revient à remplacer, dans ce qui précède, W par Wi + pu (E— 1) + pn + 43 & et à adjoindre aux formules les conditions indiquées £ — £, — 1, 1—=%0—=0,6—=K, = 0.

Nous retombons, on le voit, sur la théorie de la ligne déformable correspon dant à la Jonction W; des,,E,n, &, P, q, r et dont on se borne à éludier les déformalions qui correspondent à E —E — 1, n — MCE =—=0. Sunoës nous plaçons dans le cas du W, caché, nous supposons alors que l'on connaît simplement la fonction W (S5s 1, 0, 0, p, q, r) à laquelle se réduisent simultanément W et W, pourt—#,—1,n — n9 = 0, {— {y — 0, et nous retrouvons la théorie développée par Lorb Kezvin Er Tair.

-Observons que si, pour constituer la ligne précédente, nous tenons, par un changement des auxiliaires, compte a priori dans W des trois conditions E—f=1,n— = 09 4 — 4, —0, nous sommes conduits à remplacer, dans les calculs relatifs à la ligne déformable générale W par W(so, 1,0,0,p.q,r) Ha — 1) + porn + pt, el nous obtenons des formules qui ramènent encore à l'étude d’une ligne déformable, dont on se borne à envisager les

LA LIGNE DÉFORMABLE 6r

déformations qui correspondent aux trois conditions É—+t,—1,n— no =—0; & —= {o — 0. Ces formules, en supposant que 11, mo, u,, ne sont pas connus, nous conduisent de nouveau à la théorie de Lorp Kezvin Er Tatr.

Supposons que, en vertu des formules qui déterminent la déformation, on ait exprimé X,, Y,, Z,, L, M,, N,, en fonction de s,, x, y, z, 14, À, À, de sorte que -

X,dx + Yody + Z,dz —+ Lodh: + Ab,dh: —+ bd3;

soit la différentielle totale d’une fonction U de s,, x, y, z, A1, À», Ag COnsidérée simplement par rapport à x, y,z, À;, À, À. Supposons en outre que nous soyons dans le cas du W caché, ou dans le cas envisagé en dernier lieu. D'après ce qui précède, les équations de la question, dans lesquelles figurent X5» Yos Zos Los Abo, ,, ne sont autres que les équations des extrémales du problème du calcul des variations consistant à déterminer un extremun de l'intégrale

1l (W + U) ds, où W est une fonction donnée de s,, p, q, r, en supposant que les six fonctions inconnues x, y, z, À4, À», À,, vérifient les trois équations diflérentielles :

Posant &, —E — 1,ÿ, —n, ÿ, — t, et appliquant les considérations développées par M. Jorpax, nous pouvons ramener le système à la forme canonique ; le système exprime, en mettant F’, G’, H' à la place deslettres À, À, À

BQ de M. Jonpan, que l’on annule la variation première de l'intégrale 4 Fds;, A0 en posant

GW + U + F4, + G'n + HT.

Les équations

dF dF d 7 A SPP Ue E er de Po dy = Pre A DUT LT ME PE a, = Pés k ds, À ds, ÿ ds, ds, ds, ds, ÿs —= 0, Ya — 0, Ya = 0; ‘ d d dz permettent d'exprimer les neuf variables x — re Y—= Fe pe — Fi À== . PR qe = ge , F', G’, W', en fonction des douze variables

æ, Y, 25 May À gr Rs Pis Par + P&s AU moyen des formules

! pteupeéf D OV = 0, ra,

F'—op+op+ops, Gp +8 +Pps H'=Ypi+YP: +YPas

et par la résolution des équations :

oWV oW. oW

PRE portage Er

DNA ON D ON (29) Ps Sp 3 À 5g l2 CN s NV, D OoWR EMIW, CRE fps? op or

en conservant, pour un instant, les notations du $ 40. Portant ces valeurs dans

pat + PJ + PaË + ph + pi + Pihs — nous obtenons la fonction 36 de s,, æ&, y, 2, X4s Das Àge Pis re. Ps, Qui se déduit de

oWV oW dW + RRLS 0

— W—U + op + op, + ap, RAT : dq dr

par la substitution à p, q, r des valeurs en fonction de 54, A4, À,, A5, Ps Ps Ps que l’on déduit des équations (29).

Nous avons, pour déterminer les douze variables x, y, z, A4, À,, À,, pis P4 les équations (canoniques, si s, ne figure pas explicitement) :

de ué, dy V6, de W6, du 06, d,06, d, VE, ds, pr des pds Ep ONde NDE dE Eopir ds etre ù

dpi too dpt 6 5 dp, 5 Le <UCE dpt de dit 2 2 ma dial conne on LE ME eo dps __ d8 dp, ds 0 À Ds

dont on pourra conclure l'application de la méthode de Jacosr à la ligne étudiée.

On peut aussi présenter l'exposition précédente, comme nous l'avons fait pour la ligne déformable générale et ainsi que pour la dynamique du point dans notre première note.

3. Licxe DéronuaBce où Mx’ Esr TanGENT EN M à (M). Partons toujours d'une fonction W des,, Ë,n, &, p,q, r et adjoignons les conditionsn —+, — 0, 6 — 5, — 0. Nous définissons les fonctions F', G', H', l', J' K', X’,, Y’,,2',, L',, M';, N', au moyen de l'identité

L7)] c 1 GW + pôn + pèt)ds = [F'dx + Go y + … + K'èx'}" AO 0 Bo — f (XVe + Yo 5y + … + N'èr')ds, A0 Ceci revient à remplacer, dans ce qui précède, W par W, = W-+pn

+ p,% ct à adjoindre aux formules les conditions indiquées n — nn, — 0, =, = 0.

Nous retrouvons, on le voit, la théorie de la ligne déformable correspordant à la fonction W, de 5, &, , €, p, q, r et dont on se borne à étudier les déformations qui correspondent à n — 1, — 0, & = &, — 0, Si nows nous plaçons dans le cas du W, caché, nous supposons alors que l'on connaît simplement la fonction W (5, &, 0, 0, p, q, r) à laquelle se réduisent simultanément W et W;, pourn—n —0,t—=t, —0o.

Si, pour constituer la ligne précédente, nous tenons, par un changement des auxiliaires, compte a priori dans W des deux conditions n — , — 0, 6 = to — 0, nous sommes conduits à remplacer dans les calcals relatifs à la ligne déformable générale, W par W(s,, &, 0, 0, p, q, ry + mn + put et nous tombons sur des formules qui ramènent encore à l'étude d'une ligne déformable, dont on se borne à étudier les déformations qui correspondent aux deux conditions n — n,, 6 —K&,.

Supposons qu’en vertu des formules qui déterminent la déformation, on ait exprimé X,, Y,, Z,, L,, M,, N,, en fonction de s,, æ, y, z, 4, À3, Àw de sorte que

Xdz + Y,dy + Zidz + LodX, + dl, + 96dÀ,

soit la différentielle totale d’une fonction U de s,, æ, y, z, A4, Àoy À3y COnsidérée simplement par rapport à x, y, z, À,, À,, À,. Supposons en outre que nous soyons dans le cas du W caché ou dans le cas envisagé en dernier lieu. D'après ce qui précède, les équations de la question, dans lesquelles figurent X5, Vos Zos Lo JU 9T0, ne sont autres que les équations des 'extrémales du problème du calcul des variations consistant à déterminer un extremum de

l'intégrale B IROAUTS

où W est une fonction donnée de 5,, E, n, &, p, q, r, en supposant que les six fonctions inconnues x, y, z, À,, À, À, vérifent les deux équations différentielles n — 0, & — o. Les considérations antérieures se répètent donc, et il en serait de même pour toutes les autres lignes particulières que nous avons

envisagées.

29. État infiniment voisin de l'état naturel. Modules de déformation de Hooke. Valeurs critiques des modules généraux. Rapprochement avec la dynamique du trièdre. — Revenons à Ja ligne déformable générale. Supposons que, dans l’état naturek, l’action soit nulle, ainsi que l'effort et le moment de déformation et de mème que la force et le moment extérieurs. Dans ce cas, non seulement la fonction W doit s’annuier identiquement, mais aussi les six dérivées partielles de W par rapport à &,n, 6, p, 9, r, pour les valeurs &o, no, Co» Por dos l'o de CES lettres. Admettons de plus que W soit développable, dans le voisinage de = Eos 1 = 1» Er P = Po 4 = os r — ro, suivant les puissances entières positives de £ — E,, D — Npy «. '—7,; dans ces conditions, on aura