NN EN
en représentant par W,, W,, … des polynômes homogènes de degrés 2, 3, des différences £ ——E,, n — np, .., r — ro.
Les coordonnées d’un point M, de la ligne (M,) à l’état normal et Les trois paramètres au moyen desquels on exprime les cosinus directeurs des axes du trièdre adjoint à ce point étant respectivement x, Yo» 29 Mo; M0» h30+ SUPPOsons que les coordonnées x, y, z du point correspondant M dans l’état déformé (M) et les paramètres À,, À,, À,, relatifs aux axes du trièdre adjoint soient des fonctions de s et de hk, développables suivant les puissances de À par les formules :
CD SENS FAN GO 00 om AT OU À, = Y=Yo Fi He Hi +... À —= do Z= TD + a+ Hz +... À3 = hop + Àgs + + hi +,
dans lesquelles x;, yi, z:, ii, Aa, ui, désignent les termes qui renferment hi en facteur. Nous introduisons ces développements en série, pour abréger l'exposition, et nous admettrons qu’ils se prêtent aux procédés ordinaires de calcul. Les formules du $ 44 nous permettent de calculer les développements de F, G, H, 3, 7, À; Xe Yo, Zo Los 25, W, suivant les puissances de À; les termes indépendants de À sont nuls et les termes, F,, G,, H;, J,, 1, X:; Xous Vos» Zois Lois Aou Von, sont donnés par les formules
oW dW, 2W, oW NT d W Sr 2 2 mr LE mr ds “ds Pre. ù FER ds) D 9 kim Wa y ds p = We Fed del” MTS ds ray D FT AU de À Fa ù Dre qu L We We pd We 0Wa qu d We 0Wa dé ARE RG ds NY ds, AY dSo dSo è ds
où l’on pose
a = 20 + 24, YU = yo + y,, 20 = 75 + 2, À = 0 + À, AD = og + Anis AU = 39 + Agse |
Si nous considérons, sous le nom d'état de déformation infiniment voisin de l'élat naturel, l'état (M) où le point M a pour coordonnées xl), y(), zlt}, et où les paramètres relatifs au trièdre adjoint ont pour valeurs À(!), À), AU), si d'autre part nous appelons effort et moment de déformation, force et moment extérieurs, relativement À cet état, les vecteurs (EG, H,) (0: Jus Ju), Cois Vois Zi) (Lois Moss Noi)s Où Lys Moss Nos 5e calculent au moyen de Âos 20» sos Sois Jbor, To, de la même façon que L,, M,, No, au moyen de Rs Xe Ag Los Aby, Yo, nous parvenons aux hypothèses généralement faites par les auteurs classiques, et où les deux premiers vecteurs sont des fonctions linéaires des éléments qui caractérisent l’état déformé considéré ; nous retrouvons, par conséquent, ce qu’on nomme la loi de Hooke généralisée, mais en la limitant, comme il convient, par la condition de respecter le prin-
cipe de la conservation de l'énergie. Pour satisfaire à cette condition, dans la méthode classique, il faut refaire en sens inverse le chemin que nous venons de suivre dans notre exposition.
Les coefficients, dans les fonctions linéaires qui expriment la loi de Hooke, sont les modules de déformation de la ligne déformable, dans son état infiniment voisin de l’état naturel; ils sont invariables en un point donné de la ligne. Cette notion de module peut être généralisée, en envisageant les dérivées premières et secondes de la fonction W ; à côté du cas où les modules généraux sont définis et continus, on peut considérer celui où ils auraient des valeurs critiques.
Les considérations précédentes se répètent facilement pour les différentes lignes déformables particulières ; elles doivent être rapprochées de celles que nous avons développées dans notre première note. La dynamique du trièdre se rattache en effet à ce qui précède d’une manière tout à fait directe. Il suffit
| de regarder l’arc s, comme le temps t, et la ligne déformable comme une tra- Jecloire ; cette simple constatation explique immédiatement les analogies qui ont été reconnues depuis longtemps entre la dynamique classique du point et du corps invariable et la statique de la ligne déformable.
Observons que, à la proposition obtenue précédemment (!), dans le cas du corps invariable, à l’égard de l'énergie cinétique, correspond, pour la ligne déformable, une proposition d’après laquelle, lorsque W ne dépend pas explicitement de s,, les formules (10) entraînent que l'expression :
ŒEXo + nYo + EZo + pLo + gMo + rNo)ds, qui peut être mise sous la forme
X,dx + Y,dy + Zidz Lodh + Nbodh: + Midhs, at égale à la différentielle de la quantité :
oW oW oW oW oW oW NE) ous PU PART D et qui s’est déjà présentée au $ 14.
Observons d’autre part que l’on peut adjoindre aux développements donnés dans notre première Note, à l'égard du corps invariable, des considérations analogues à celles qui ont été développées dans le travail actuel, en ce qui concerne les liaisons, pour la ligne déformable.
III. — STATIQUE DE LA SURFACE DÉFORMABLE ET DYNAMIQUE DE LA LIGNE DÉFORMABLE
30. Surface déformable. Etat naturel et état déformé. — Les développements, dans lesquels nous sommes entrés à l'égard de la ligne déformable, vont se reproduire, comme nous allons le voir, presque sans chan-
(:\ Note sur la dynamique du point et da corps invariable, Tome I, p. 261.
gement, dans les théories de la surface déformable et du milieu déformable à trois dimensions. Cette répétition met en évidence la fécondité du concept d'action euclidienne ; elle suggère de nombreux rapprochements et ouvre un vaste champ d’étude, que les premiers chercheurs n’ont pu commencer à explorer qu'avec beaucoup de difficulté, mais qu'il est possible aujourd’hui d’aborder avec succès, dans l'état actuel de la théorie générale des surfaces géométriques et des coordonnées curvilignes, tel que M. Darsoux l’a présenté dans ses grands ouvrages (!).
Considérons une surface (M,) décrite par un point M, dont les coordonnées Los Yo 0, par rapport à trois axes rectangulaires Ox, Oy, Oz, sont des fonctions de deux paramètres, que nous supposons choisis d’une manière quelconque et que nous désignerons par p, etp:. Adjoïignons à chaque point M, de la surface (M,) un trièdre trirectangle dont les axes Mix’, Moyo', M2 ont, par rapport aux axes Ox, Oy, Oz, des cosinus directeurs qui sont respectivement aps 90» Vo” 3 Pos Bo Po: Yos Yo» ve, et qui sont des fonctions des mèmes paramètres 0, et p. L'ensemble continu à deux dimensions de tels trièdres Moro yo 20" sera ce que nous appellerons une surface déformable.
Donnons au point M, un déplacement MM et soient x, y, z, les coordonnées du point M par rapport aux axes fixes Ox, Oy, Oz. Imprimons en outre au trièdre Miro yo 2 une rotation qui amènera finalement ses axes à être ceux d'un trièdre Mx/y'7 que nous adjoindrons au point M; nous définirons cette rotation en nous donnant, par rapport aux axes fixes Or, Oy, Oz, les cosinus directeurs «, 2’, a”; 8, 8, 8"; y, y’, x” des axes Mx, My’, Mz'. L'ensemble continu à deux dimensions des trièdres Mx'y’z’ sera ce que nous appellerons
"état déformé de la surface déformable considérée qui, dans son état primitif, sera dite à l’état nalurel.
84. Eléments cinématiques relatifs aux états de la surface déformable. — Désignons par £;(°), n,0), €;(0) les composantes de la vitesse de l’origine M, des axes Moto Moÿo', Mozo' suivant ces axes, quand f; varie seul et joue le rôle du temps ; soient également p;(), q:(°}, r;(°) les quantités qui définissent les projections sur ces axes de la rotation instantanée du trièdre M,x,/y52,! relative au paramètre p;. Nous désignerons par &;, n;, Ë; et par Ps Qi, ri, les quantités analogues pour le trièdre Mz'y/z, lorsqu'on le rapporte, comme le trièdre Miro Yo 20 au trièdre fixe Oxyz.
Les éléments que nous venons d'introduire se calculent à la façon habituelle ; on a :
NE Bo "22 mio De dY otre di HE À dPi
dT Ù ùz d: dx
30 nn; —= 8 — 1Y RE 3 — Se OS SR M me de ele € Le = GOUT CR dx dy dz da 28
(STE ae QUE — MES ——— Le,
à ET : dYi if Pi : Po di
(:) Gaston Darsoux. — Leçons sur la théorie générale des surfaces, ! vol., Paris,
1887-1896 ; Leçons sur les systèmes orthogonaux et les coordonnées curvilignes, Tome I Paris, 1898. N
Les éléments linéaires ds, et ds de la surface, dans l’état naturel et dans l'état déformé seront définis par les formules :
dsÿ — B5dP? + 2Fodoidp, + Gide, ds? — 6dp? + 2Fdaido, + Gdp2.
où &, #, G se calculeront par les doubles formules suivantes :
Aro) dy \? dz \? :
s—() +R) + (= 8 etat
(82) ge ,yy, va
; 5 LÉRDE PS TEE y, d0, d29 d£ 272 22 d99 SF s Eife x ire + C172
LAS dy \? ùz \?
= | — en ss 12 2 3 SG + (+) =
et où 85, F5, G se calculeront par des formules analogues.
Désignons par x, y’, z', les projections du segment OM sur les axes 1x’, My’, Mz’, en sorte que les coordonnées par rapport à ces axes du point fixe O seront — x; — y', — 2’. Nous aurons les formules connues :
dx" 1 ÿ dy!
RENE See == PO AE 2 CL IE 4 (RER | Ë; a g'+ry =0, “i a —l&# + pr —0,
qui donnent de nouvelles expressions de £;, m;, ti.
32. Expressions des variations des vitesses de translation et de
rotation du trièdre relatif à l’état déformé. — Supposons qu'on imprime à chacun des trièdres de l’état déformé un déplacement infiniment petit pouvant varier d’une façon continue avec ces trièdres. Désignons par ôx, y, 2z; Ôx', Ôy', 07! ; da, Ga, .…, y" les variations respectives de x, y,z; x’, y',2'; a, x, .… ”. Les variations 52, Ôz', .. Ôy’ s'expriment par des formules telles que la suivante :
(34) 02 — or! — Ci, au moyen des trois auxiliaires dr’, 03, èr’, qui sont les composantes suivant Mz’, My’, Mz de la rotation instantanée bien connue attachée au déplacement infiniment petit considéré. Les variations ôx, ôy, ôz sont les projections sur Ox, Oy, Oz, du déplacement infiniment petit éprouvé par le point M ; les projections ÿx, y, à'z de ce déplacement sur Mz', My’, Mz' s’en déduisent immédiatement et ont pour valeurs :
S'y — dx + 20) — yon, dy y + x'ôr — 787,
0 . 0 S LS » n La à Proposons-nous de déterminer les variations dt, Ori, QEis OPis 2is ri Cprou-
vées respectivement par ;, ri, &, pi, qi, ri. D’après les formules (31), nous avVONS :
a # LE € S.," è Remplaçons 5x par sa valeur fôr 83", et ôa’, .… dy” par leurs valeurs
analogues ; il vient :
Ô1/ ee, d0J Loi = BA em OR 0 OT ue (36) ) . d3k/ FAT ï \ t dP; Pi qi sé
Les formules (33) nous donnent de même trois formules dont la première est :
d0T dÿ;
21 Sy! — 2/0q: — y'èr. :
nn Le lee LCA Bon Cd mm 00
remplaçons êp;, Ôqi, dr, par leurs valeurs données par les formules (36) ; il vient :
de, = nr — t5s +? loto NN (37) LS — Er + UT + d'y — pô,
en introduisant, pour abréger l'écriture, les trois symboles dx, d'y, dz définis par les formules (35).
33. Action euclidienne de déformation sur une surface déformable. — Considérons une fonction W de deux positions infiniment voisines du trièdre Mx'y'z’, c’est-à-dire une fonction de ps, p, de DV 2e OS et de leurs dérivées premières par rapport à p, et >. Conservant les notations du $ 31 et posant :
A, — V8G — Fe,
proposons-nous de déterminer quelle doit être la forme de W pour que l'in-
tégrale «1 WAsdp10ps,
étendue à une portion quelconque de la surface (M,) ait une variation nulle, quand on soumet l’ensemble de tous les trièdres de la surface déformable, prise dans son état déformé à une méme transformation infinitésimale quelconque du groupe des déplacements euclidiens.
Il s’agit, en définitive, de déterminer W de façon que l'on ait
ÔW — 0;
lorsque, d'une part, l’origine M du trièdre Mx'y’Z subit un déplacement infiniment petit, dont les projections èx, ôy, èz sur les axes Ox, Oy, Oz sont
x — (ai + w37 — w3y) Ôl (38) dy — (as + wyx — wiz) dt — (a, + 37 — w,x) df,
OÙ Gi, QG, Ags V4, W2, w4 sont six constantes arbitraires et ô{ une quantité infiniment petite indépendante de p;, F. ct lorsque, d'autre part, ce trièdre Mz'y'z subit une rotation infiniment petite, dont les composantes suivant les axes Ox, Oy, Oz sont
w198, wôl, w394.
Observons que, dans le cas présent, les variations Ô€,, 5n,, 8€, Sp,, 8q,, dr, : Ô%2 Ôno, OU, Ôpr, 0g», dr: des douze expressions &,, n3, Gi, Pis Qus l'as Ex as & P2 4» ra sont nulles, comme cela résulte de la théorie bien connue du trièdre mobile, et comme nous pouvons d’ailleurs le vérifier immédiatement au moyen des formules (36) et (37), en y remplaçant 'x, dy, Ô'z; dr', 5y', Èx’, par leurs valeurs actuelles. Il en résulte que nous obtenons une solution de la question, en prenant pour W une fonction arbitraire de p,, p2 et des douze expressions £,, nis Lis Pis Qu av 3 Bov Nov Les Pas Q2s l'2 3 NOUS allons maintenant montrer que nous obtenons ainsi la solution générale (!) du problème que nous nous sommes posés.
Observons à cet effet que les relations (31) permettent, au moyen de formules bien connues, d'exprimer les dérivées premières des neuf cosinus &, a. y! par rapport à p, et à P2, au moyen de ces cosinus et de p,, qi; l';; Pas Q2s 2. Remarquons d'autre part que les formules (30) permettent de concevoir qu'on exprime les neuf cosinus +, a’, … y’ au moyen de &,, n,, ,, et des dérivées premières de +, y, z par rapport à P,, ou au moyen de &s, %, &: et des dérivées premières de x, y, z par rapport à p> Il est d’ailleurs inutile, dans ce dernier cas, que nous fassions une hypothèse sur le mode de résolution, car il est clair que nous n’obtenons pas une forme plus générale quecelle dont noussommes partis, en supposant finalement la fonction W que nous cherchons une fonction quelconque de p,,P: de x, y,z et de leurs dérivées premières par
(:) Nous supposons, dans ce qui va suivre, que la surface déformable est susceptible de toutes les déformations possibles, que, par suite, l’élat déformé peut étre pris absolument arbitraire ; c'est ce que nous exprimons en disant que la surface esl libre.
rapport à p,, P., et enfin de &,, n,, Li, Pis is l'as 3 Eas Mas Var Par sr l'as CE que nous indiquerons en écrivant :
Eu 107. NZ EUR .
— ARRETE AE r W=—= W (es DL Y ar Fo A 4 207"? Sur ar Gr Saese Par Qu TaPa
Les variations ô£,, .… ôr,, à,, … èr, étant nulles, dans le cas actuel, ainsi qu’on l’a remarqué il y a un instant, nous avons finalement à écrire, pour la nouvelle forme de W, que l’on a, en vertu des formules (38), et quels que soient 4, @, G3, W4, 635 W3 :
2oW dW doW 3 = / 2W oW ,dy CALME A TE + A De > HS Car Com —,0} 5 dpi di dpi Remplaçons x, ôy, 8z par leurs valeurs (38) et 5 . 7, RS rs les
dpi valeurs qu’on en déduit en différentiant; égalons à zéro de AT de
&, @, G3, ©), W,, 3; il nous vient les six conditions suivantes :
W SW SW à SC TE > FAT , Dr dr PNR D RAP LAN PE E RCE ALES E dzZ dP; D 22 Pi e
dP: dPi ; d;
qui sont des identités, si nous admettons que les expressions qui figurent dans W ont été réduites au nombre moindre.
Les trois premières nous montrent alors, ce que l’on pouvait prévoir facilement, que W est indépendant de x, y, z; les trois dernières expriment que W ne dépend des dérivées premières de x, y, z que par l'intermédiaire des quantités 8, #, G définies par les formules (32); nous voyons donc finalement que la fonction W cherchée a la forme remarquable :
W (P:, Pas #7 LITE SE: ês Na» Ca > Pur us l'a 5 Pas 2 re),
analogue à celle rencontrée précédemment pour la ligne déformable. Désignons par A la quantité analogue à A,, définie par la formale :
A = VEG —
Si nous multiplions W par l'élément d’aire de, — A,dp,dp, de la surface (M,) le produit WA,de,dp, obtenu est, dans le groupe des déplacements euclidiens,
un invariant analogue à l'élément d’aire de la surface (M). De méme que la valeur de l’ MERE :
A “É À Ado,dp; = fl Adp,dp,, & © Co
prise à l’intérieur d’un contour C, de la surface (M,), ou du contour corres-
pondant C de la surface (M), destine l'aire du domaine délimité sur (M} par C, de même, en associant dans l'esprit la notion d'action au passage de l'état naturel (M,) à l’état déformé (M), nous adjoindrons la fonction W aux éléments de définition de la surface déformable, et nous dirons que l’inté-
grale :
jf il WaA,did?, Co
est l’action de déformation, à l'intérieur du contour C, sur la surface déformée.
Nous dirons d'autre part que W est la densité de l’action de déformation en un point de la surface déformée, rapportée à l’unité d’aire de la surface non déformée ; W 2 sera cette densité en un point, rapportée à l’unité d’aire de la surface déformée.
34. La force et le moment extérieurs; l'effort et le moment de déformation extérieurs; l'effort et le moment de déformation en. un point d’une surface déformée. — Considérons une variation quelconque de l’action de déformation à l'intérieur d’un contour C de la surface-
(M), savoir :
PLU oW dW à [wa ad [TX 2x Æ % on ca Qi A Tr 54: Ôq:
2W dira Fe A,do,de;.
Nous pouvons l'écrire, en vertu des formules (36) et (37) du $ 32 :
d0'æ 5 JL WA,dpde, = ne D | ès — tèr + PE ET 2) Co i t d9
eu me (sat — EôK! Se a = re ra — po) .
+ *æ (8 OI! — mûr + sr re qi'x z)
Ô dW ee + qe! — . + ; d« + rot — pr «'}
Appliquons la formule de Green aux termes qui renferment explicitement une dérivée par rapport à p, ou par rapport à p,; il vient :
oW +T dW. Ws, LW; QU ox!) N \ — ô'x Re” 2 a Ô'z Da 0 GP e A do, à [fi wa ado if [CE RU RS dr UE
oW,, 2W oW F oW W 2W ) | — (Se + dr + 0 p, ëq dr, ae
doW dW |.,
peu) ee ie >W oW >W on Pi D. —) so 7 ls À, a ( A0 &) Pin LE
170 dW dW dW oW AA 7 han DE di
dqi ; dn; ur oW >W ol.
He 7) 1. PAR NE Re ÔJ oW oW oW oW|., x 2 |x à, 29; 2. (a 0 ie 09: Hé du Cher x ÿk farine
L'intégrale curviligne, qui figure dans la formule précédente, doit être précisée en indiquant quel est son sens de parcours; ce sens se définit, comme l'on sait, au moyen de la rotation qui amène la partie positive de la courbe (9,), c'est-à-dire la partie qui correspond au sens dans lequel la coordonnée », qui varie sur cette courbe augmente, du côté de la partie positive de la courbe (9,). On peut encore préciser cette intégrale curviligne, à
l'exemple de Becrrami, en la mettant sous la forme qui provient de l'application des formules :
je ap, I RC + Foie) À die
JE = d>, do, = f (s. EE Go) sv ds, C) 092 no AR
où + désigne une fonction de p,, p,, où ds, est la valeur absolue de l'élément linéaire de la courbe (C:) et où indique la direction de la normale au contour (C4), tracée dans le plan tangent de la surface (M;) et dirigée vers l'extérieur de la région limilée par ce contour. Pour obtenir la nouvelle forme de l'intégrale curviligne, il suffira de remplacer sous le signe d'intégration,
dans la première forme obtenue, dp, et do, respectivement par les valeurs suivantes :
do, dp,\ ds ù paren)s (nes)
Si nous désignons par },', a,', w’ les cosinus directeurs, par rapport au trièdre Mix yo Z0, de la normale extérieure au contour C, qui vient d’être considérée, on peut donner aux deux expressions précédentes, qui doivent être substituées à dp, et d>,, les formes respectives suivantes ES
(GB9) — (029 + ponQ + vr' T2) dso
De, QE + porn + nt) de -en vertu des formules : :
A : d9 dP ) ù x! — E(0) Ti (0) Ta — 04 p OR dp d = Et a + EC mr = n(® use n(® oi. = to) He + çoQ re qui déterminent À;/, bo', vo.
Posons, en désignant par ds, la valeur absolue de l'élément d’arc du contour C, tracé sur la surface (M) :
oW dep, dW dp oW d doW d F=A (ST ), Go a, (ON Ses Wu), : °\o, ds, dr dso/? Re ee ds, da ds pen) NULS qe):
Es e- ds, dt: ds,/’ oW dp oW do oW d oW d PURES MINE EMEA AE :), es É LP CLARA dat 0 A ( “+ o — À 5g, ds, — 0qs do PT T0 22 __dW dp, Ko — Au É ds, dr, a) les signes de ds, et do, étant précisés par le sens de parcours indiqué plus haut de l'intégrale curviligne, ou encore les valeurs de d», et d>, étant celles que l’on vient d'indiquer et où figure la normale extérieure au contour C, située dans le plan tangent de (M). Posons en outre :
L=0 oW oW oW ; DA EAOR EEE mit 1 mn t
2 Lg (ae) ne nd 264
2 (T)+na =
2 [are (a) + En pe + LE ra
(:) On a naturellement des formules analogues en introduisant les cosinus directeurs x, pu, v, par rapport au trièdre Mx'y7, de la normale extérieure au contour C qui correspond à C,.
nous aurons :
ô jh il W Aodpidp> — 1 (Fed + Goo y + Ho èz + 19/81! + dus! + Ko/8k')d0
Go 0 — ff (Ko/èx D. Yo y “e Ze d'z + L,'à a Mdr + No/ôr/) Aodo id. Co En ayant d’abord égard à l'intégrale double qui figure dans l'expression
de à FL WAdpidp2, nous appellerons force extérieure et moment extérieur au Co
point M, rapportés à l’unilé d'aire de la surface non déformée, les segments ayant leur origine en M et dont les projections sur les axes Mx’, My’, M7 sont respectivement Xs/, Yo, Zo et Li’, Ms, No. En ayant ensuite égard à l'intégrale
curviligne qui figure dans à * ff WA,doidp», nous appellerons effort extérieur Co
et moment de déformation extérieur au point M du contour C de la surface déformée, rapportés à l'unité de longueur du contour GC. les segments issus de ce point M et dont les projections sur les axes Mx’, My", M2’ sont respectivement — FF, — Go, — Hi, et — 1, — J;, — Ki.
Ces six dernières quantités, en un point déterminé M de C, ne dépendent comme on l’a vu, que de la direction de la normale extérieure à la courbe C, menée au point M, dans le plan tangent de (M;) : elles restent invariables, si, la région considérée de (M5) variant, cette direction de la normale extérieure ne change pas, et elles changent de signe si cette direction est remplacée par la direction opposée.
Supposons que, à l’intérieur de la surface déformée limitée par le contour C, on trace une ligne Z circonscrivant, soit seule, soit avec une portion du contour C, une partie (A) de la surface, et désignons par (B) ce qui reste de la surface en dehors de la partie (A). Soit 3, la courbe de (M;) qui correspond à la courbe = de (M), et soient (A;) et (B) les régions de (Mi) qui correspondent aux régions (A) et (B) de (M). Séparons par la pensée les deux parties (A) et (B) ; on pourra regarder les deux segments (— F4, — Gy/, — H/) et (— Lo, — J;', — K,/), déterminés pour le point M et pour la direction de la normale menée à 2, dans le plan tangent de (M;) et à l’extérieur de (Ai), comme l'effort et le moment de déformation extérieurs au point M du contour Z de la région (A); on pourra regarder de même les deux segments (Fo'; Go’, Ho!) et (L/, Jo’, K;') comme l'effort et le moment de déformation extérieurs au point M du contour > de la région (B). En raison de cette remarque, nous dirons que — Fo, — Go, — Hy/ et — Li, — J,', — K;/ sont les composantes suivant les axes Mx’, My’, Mz' de l'effort et du moment de déformation exercés en M sur la portion (A) de la surface (M), et que F4, G;', Hs’, L', J', Ko sont les composantes suivant les axes Mx’, My’, Mz' de l'effort el du moment de déformation exercés en M sur la portion (B) de la surface (M).
L'observation présentée à la fin du 8 9, au sujet du remplacement du
trièdre Mz'y/2' par un trièdre qui lui est invariablement lié, se répète ici sans modification.
35. Spécifications diverses de l'effort et du moment de déformation. — Posons :
EL
De re et TUE Va Ve UV Ge
pectivement les projections sur Me M y’, Mz' de l'effort et du moment de déformation, qui s'exercent au point M sur une courbe qui admet même tangente que p1 — const. ; cet effort et ce moment de déformation sont rapportés à
a lunité de longueur du contour non déformé. A l'égard de p>— const., At et le
Des Q;’, Vas R;' représentent res- Go
moment de déformation ont respectivement pour projections
os » = B;’ , VS C3 et —— = cit ’ VE Tee FR 60 Les nouveaux ae : les nouveaux moments de déformation que nous
venons de définir sont liés aux éléments introduits dans le $ précédent par les relations suivantes :
2 ( + qGi — rB!) — AX;!, F/—=A, de AR.
> (È + — pO) = AY" GB; 8, de,
DE + pB! — qi) = AZ, H, =, % cd
De + qiRi — rQ; + n:C/ — «Bi ) A L' Pi dm P, de,
D (+ riP; — piR} + GA! — EC !) —AM;, J/— QŸ QE,
d D er + pQ; — qiPi + 6B; — r;A; )= ANo' K,' =R Re
où, si l’on veut, do, et do, sont à remplacer, dans les équations de droite, par les valeurs (39).
On peut se proposer de transformer les relations que nous venons d'écrire, indépendamment des valeurs, calculées au moyen de W, des quantités qui y figurent. Ces relations ont lieu en effet entre des segments attachés au point M et auxquels nous avons attribué des noms ; au lieu de définir ces segments par leurs projections sur Mx’, My’, Mz', nous pouvons tout aussi bien les définir par leurs projections sur d’autres axes : ces dernières projections seront liées par des relations, transformées des précédentes.
Les relations transformées s’obtiendront d’ailleurs immédiatement, si l'on
remarque que les formules primitives ont des interprétations simples et immédiates (!), {par l’adjonction aux axes mobiles des axes qui leur sontmenés parallèlement par le point O.
1. Considérons d’abord les axes fixes Ox, Oy, Oz; désignons respectivement par X,, Y,, Z, et par L,, M,, N, les projections sur ces axes de la force extérieure et du moment extérieur en un point quelconque M du milieu déformé; par F,, G,, H, et par I,, J,, K, les projections de l'effort et du moment de déformation qui sont relatifs à la direction (do,, do,) de la tangente d’une courbe C, qui sont rapportés à l’unité de longueur de la courbe non déformée C,, et qui ont été définis précédemment ; par A;, B;, G; et par P;, Q;, R:; les projections de l'effort (A;, B;, C;) et du moment de déformation (P;', Q;, R;). Les transformées des relations précédentes sont évidemment :
DA A, de, de de dBée ct Ra dB, dB, 7 | dP; do, DA = A6) = DS A 2G, , dC, dp dp ne i2 , nor A,2,, H=GT7— Cp Pa th, 10 dy dy ùz dz d? d Er er esnoe es Ps Dar ri UE ne 130, Ba. — ob, PE. DES dQ, àQ, dz dz dx dx do de ee CEE == Ü2 LÉ dPy dP #5 13, 299 Fr Ga — AM, Jo mr Em dR, oR, dx dx à d be DITES Ne CRUE T0 r __n db; dei.
à, do, 190, de A, A re a AN; Ky— pet dé di eg La doi ds, et de doivent être remplacés respectivement par I ( dT, do dz I dx d ù — HA, bp, 0 + ), x ENT Yo "Ze A, \”° 5 Ho ®, Vo P, À, À 5, RO TE Ve PJ’ d do, sed Par De
I ( da dy dz PACE d d Det ANR ONE A to" D se) à ( dpi en dp "+ à, /” a désignant par },, Bo» Yo les cosinus directeurs, par rapport aux axes fixes, . . la normale extérieure à Css et par À, a, y ceux de la normale extérieure à Ces équations donnent, en particulier, les équations relatives à la déforma- Se nue petite d'une surface plane dont se sont servis Lonp KeLvin et AIT (?).
2. On peut donner aux équations relatives aux axes fixes Ox, Oy, Oz une
(?) Une interprétation intéressante à noter est l’analo : gue de celle donnée par VariGnoN à PIÈEe de la statique et par P. Sanr-Guiruex à propos de la anne (2) Treatise on Natural Philosophy, vol. I, Part. II, $ 644, P. 186-188.
LA SURFACE DÉFORMABLE gr
nouvelle forme. Nous pouvons exprimer les neuf cosinus a, «’,.… y’ au moyen de trois auxiliaires ; soient À,, À,, à, trois telles auxiliaires. Posons :
d'ra8 = —Ÿ par = 0, d\, + w,'d), + w;d),, Det = —D'yde = y d + pd + xd, Dsda = — Va — 0,4), + o/d\3 + ojdhs.
Les fonctions 5;/, x, s/ de À,, X,, À, ainsi définies satisfont aux relations :
= DV LV du x x + ofm/— sjm!—0o, (i j— 1, 2, 3), ES etl'ona:
= + à s' ut, = Di <& + 2
Désignons par w;, x;, s; les projections, sur les axes fixes Ox, Oy, Oz, du segment dont les projections sur les axes Mz', My’, Mz' sont w;, 4;, 0; nous
aurons :
Dada — — V'oda — di, + 5,0, + dk,
Dada = — ads = ad, + dl, + xd, d'adr! — —Ÿ dx = s,dÀ, LE sdÀ) + odks.
en vertu desquelles (:) les nouvelles fonctions w;, 4;, s; de À, À,, À, satisfont
aux relations :
EN à Os; ©:
dj à? HR dY; d s — E — CD; — CjOis (sy) — 1, 3, 3), d0; do:
dk dk ° 34
(2) Ces formules peuvent servir de définition directe aux fonctions wi, 4i, siet être
substituées à ; ; wi = ami + Byi + yoi
x=ami +R$y'+yoi (ir, 2,3) si=ami + P'yi +yoi.
Nous ferons encore la remarque, qui nous servira plus loin, que si l'on désigne par 3À,, 3À,, dx, les variations de À,, À,, À,, qui correspondent aux variations 0x, da... dy’ de a, a’... y”, on aura :
à = m0 + m3 0: + w3 0) y, 05 — 41 014 + x2/ 9e + YX3'0s OK — 04 dÀy + 07 0e + G3 0Àgs dr — aùr + Por + yôr — mi0À, + w0À + mb, 03 — «dr + B'ès + Y'Ôr — yaôli + Y0do + Y30Às dr — cd + Ps + Y'ôr — oÔA + où, + oy0Xs, où &1, 3, ôx sont les projections sur les axes fixes du segment dont les projections sur Mz’, My’, Mz' sont Ôr', Ô3, dx’. Posons maintenant = + 40 + Ko = mil + Y1do + Ko, Vo = lo + X2do + 59K9 = lo + Xedo + 52Ko, Ro = S3l + Xido + 03 Ko = Slo + Xslo + ko, :
L = Le + XMo + No = mio + X1Mo + ciNo, Nb = SL + X2Mo + SN) —= wo + X2Mo + No, Vo = D Lo + X3Mo + No = SiLo + XMo + o3No,
Introduisons en outre les notations suivantes :
IT = oP; + Ka Qi + SR; = w,P; + y1Q, + 51R,;, X;— 0/P; + X/ Qi + SR! = mp; + yQ; + oh, 2 = PP} + 43 Qi + SR! — mp; + YQ: + SR;
nous avons, à la place du dernier système où figurent soit P;, Q;', R;. soit P;, Q;, R;, le suivant :
dI; 1 ! !
L DE — Al (ini — 21 6) — Bi (oi — fé) — Ci (ar — mini) t — P; (ee Dre FCI iY à 1) Lys Q; es + roi! — Pisi à / d6,” | —R, (E + pi! — qi |
avec deux équations analogues. Si l’on remarque que les fonctions £;, n;, &;,
Pi Qu ri de À4, Xe, À ea ; us, : donnent lieu aux formules ; “ + KG — sn de, JE — L + qe) —rx;, dÀ; .
x + oh —m/h—0o, “ —— % + roi — pis}, S +Sj— jh 0, EC = + pili — qui
qui résultent des relations de définition des fonctions 5}, x, si et des neuf identités qu'elles vérifient, on peut donner au système précédent la nouvelle forme :
dU; dE; dn; dE; dD: À ; dl AUS RO US CNDIPE Oro pr M “ 2 dP; À: ds B, d G dk4 Pi ds Fo R “|
avec deux équations analogues.
3. Au lieu de rapporter aux axes fixes Ox, Oy, Oz les éléments relatifs au point M, envisageons, pour définir ces éléments, un trièdre trirectangle Mz;'y:'z" mobile avec M et dont l’axe Mz;', est normal à la surface (M) en M. Pour définir ce trièdre Mx;'y1/z', rapportons-le au trièdre Mx/y/z', et soient, par rapport aux axes de ce dernier, l, l', l’ les cosinus directeurs de Mx;', m, m', m’ ceux de My;’, et n, n', n° ceux de Mz,'.
Nous définirons d’une façon précise les cosinus n, n’, n” par les formules :
1 I RE A (anate — ik, = Â (és — GE), n= A (ira — Es)
Nous admettrons que le trièdre Mx{y{z{ a même disposition que les autres, et nous ne ferons pas pour le moment d’hypothèse particulière sur les autres cosinus.
Désignons alors par El!), n(1), x(1) les composantes de la vitesse de l’origine M des axes Mr!, My{, Mz; suivant ces axes, quand p; varie seul et joue le rôle du temps: soient également pl), ql?}, rl) les projections sur ces mêmes axes de la rotation instantanée du trièdre Mx;y'z{ relative au paramètre p; ; dans ces dernières définitions, le trièdre Mx/y/z{ est naturellement rapporté au
trièdre fixe Oxyz. Nous aurons :
En) = li + ln; +0, nt) = mi; + nn + mé, gt) =n;+ nr; + nf —=o, et trois formules telles que la suivante :
po = lp: + lqi+ l'r: +Ÿ nr us
les trièdres considérés ayant même disposition.
Désignons respectivement par X,”, Y,”, Z,’et par L,”, M’, N;'les projections sur Mx,', My,', Mz,', de la force extérieure et du moment extérieur en un point quelconque M de la surface déformée, rapportés à l’unité de surface de la surface non déformée, par F,”, G;”, H,/ et par 1”, J;", K,” les projections sur les mêmes axes de l'effort (F,, G,, H,) et du moment (L,, J,. K,), par A;, B;, C/' et par P/, Q;’, R" les projections de l'effort (A/, B;, C;')et du moment (P;, Qi, R/) précédemment définis.
Les transformées des relations précédentes (ou des relations primitives) sont évidemment (!) :
dA;" " = 7 »d?; 1do 2 !—rB;) = Axe, FA, ! ds, à RSA ” 423 42, DE + rWA/ — poG:)= AY; Gb, FF — B, Pre " l # de, re + pUB} — qAr) = AZ"; H'= CR — C, Fr (DR? — (1Q "+ nC!\— AL," I," —P, nds P, r ds + q'i l'ENA UE DL ]—= Ab; 45 re se r(WP, " — PUR; Cas EC = ssl EU AA 0: ee QE ; dR? Det " 1 " 1 " d, " d 9; SM pngpnrrasnne pa) ane Ken nd Nan
Au lieu de remplacer, dans les équations de droite, dp4, ds, par les valeurs (39), ou par les analogues relatives à (M), nous pouvons, en désignant par (4”, k”, 0) les cosinus directeurs, par rapport au trièdre Mx;'y,'2;', de la normale extérieure au contour C, prendre les valeurs suivantes :
= QA'EU) — pr, 0) “e (71) + A) = :
nous obtenons ainsi :
| F," D = U ECDA;" + EUWA," + pi n(DA4 + TYA2, S A A (41) ride nr EDP," + EGP," NU SU + -n6 IP; GO Me EP E n — 9 ér Fine A Us Lo
et deux systèmes de deux formules analogues.
Ces formules conduisent à substituer aux douze auxiliaires A/, B;",C;", P;, Q;". R;", douze nouvelles auxiliaires qui seront les coefficients de À” et 4”, dans les expressions précédentes des efforts et moments rapportés à l’unité de longueur de C, ou qui seront liés à ces coefficients d’une façon simple. Nous poserons :
BA st AS" 0x AA + OA" TS HR A Ter nait clique dr dE ER
A > A an EG" + EDG ç 1 DC" + DC PU oc Lame set
(!) Il suffit de remplacer E;, … A, … par Eilt), ... A, ..… et de tenir compte des hypothèses &(1) — o ; pour un trièdre quelconque de sommet M, on aurait les mêmes calculs.
LA SURFACE DÉFORMABLE êI
en introduisant six premières auxiliaires N,, N:, T, S1, 9x S3, et de même
G)Pp 7 (1 # :
Rte = Tu, PEER EU, ENQ:" + EQ;" 11)0Q," (ex ns —=6+% ie je free To», EUR," + EUR?" — Ÿ, AOR + OURS
À 2) AS 1 mit
en introduisant six autres auxiliaires bi, VTbz, ©, Va, Vos La Les douze équations que nous venons d'écrire peuvent être résolues immédiatement par rapport aux auxiliaires primitives A/, B;, C/, P;, Q;, R’. Observons que, en vertu de l'hypothèse faite sur la disposition commune de tous les trièdres, on a :
