LEPE
mm! m'
ni *
nn nr les formules qui définissent (1), n(1) donnent, en conséquence,
En — Er — À, IL vient par suite AM Nan —(T— S)EY, AN (T — S,)E0 — North, B'=(T+S)nD — NEW, Bj— NE — (T + S,) nf, Ci = Sy — SEE, Ci = SE — Sin,
et six formules analogues pour P;, Q;, R;’, avec des lettres en italique dans les seconds membres. En portant ces valeurs dans les relations (40) et (41), on aura les équations relatives aux efforts et moments de déformation et aux forces et moments extérieurs, sous la forme qu'elles prennent avec les nouvelles auxiliaires ({).
On peut évidemment donner aux composantes de l'effort et du moment de déformation des désignations analogues à celles qui sont en usage pour la ligne déformable. Ainsi, on peut appeler les composantes N;, N, de l’effort des efforts de tension ; les composantes T — S;, T + S; sont des efforts tranchants dans le plan tangent à la surface déformée ; les composantes S;, S; sont des efforis tranchants normaux à la surface déformée. De même les composantes %,, Y, du moment de déformation peuvent être regardées comme des moments de torsion ; les composantes © — %,3, © + 4; ont le caractère de moments de flexion; les composantes %,, S, pourraient s'appeler moments de flexion géodésique.
36. Remarques relatives aux composantes S, S, S, et %, 2, S. — À l'égard des expressions S4, S>, Ss, et des analogues 1, %, 3, faisons explicitement la remarque suivante, que l'on a utilisée plus haut pour écrire les équations transformées.
(1) On remarquera que le coefficient de S3 dans la troisième de ces équations est nul.
Soit, d’une façon générale, un segment dont les projections sur Ox, Oy,
z sont
4 ùz L'ÉTAT LA RSR CUT d: UT ds Bi d?; Ai dP; Ci dPi B d?; Ai;
en envisageant ce segment comme le moment d’un vecteur (A;, B;, C:;) appli-
Mn AE dZ f = e ses projections sur Mzx’, My', Mz qué au point (ee , 5, ep on voit qu pro] 2
seront riCi Sr tB;, GA} — EC/, EB; — mA, et sur Mx;’, My’, Ma, nDCr, — &UC;, EUB; — nOAÎ.
Il résulte de là, que le segment dont les projections sur Ox, Oy, Oz sont
% ç — À TS RES) 2 Fe Sir dP: B), 2 u 2 dPi G}s > dPi “. dP: Sk u 4 i aura pour projections sur Mz', My’, M:’,
D GC! —Æ GB;), DC = &C/), d'EB! En riAi), i | i i )
et sur Mecs, My’, Mz;' :
Drocr=as, — Vino as, YGB — PA) = 248.
i i i Une proposition identique a naturellement lieu pour les lettres en italique. On en déduit que les conditions :
Sy —= 0, S> = 0, S3 = 0
reviennent aux suivantes :
Dec —EB) 0, JA — EG) —0, YEB' — mA’) —,
et que les conditions :
SE 0; 4; = 0, $ —\o
se ramènent à
2 AE 26 Pi — &R;) — 0, D EC — Pi) = 0:
On arrive, dans les deux cas, à un système de deux conditions qui ne dépend pas du choix du trièdre Mx,'y12,'.
Si les conditions S, — 0, S, — o, S; — o sont des conditions qui résultent de la forme de W, alors W vérifie les trois équations aux dérivées partielles :
ZE PEU —0, Zi TE ru , )=e, X(: ni) —=0,
ce qui entraîne que W ne dépend de !;, r;, &; que par l'intermédiaire des expressions
6 — (4 rit, F = Eit2 + mine + ÉiGas = 2 + nè + Li.
Si les conditions %; — 0, 4, — 0, Y; — o sont des conditions qui résultent de la forme de W, alors W vérifie les trois équations aux dérivées partielles :
Zn — ui) = c AE op he = 9, Er no) 0,
ce qui entraîne que W ne dépend de p;, qi, r; que par l'intermédiaire des trois expressions :
Pabs + Qi + rire PaËa + Gina + l'aGa + Pabs + Qanis + latus Palo + aa + labos
expressions qui, lorsque &, — &, — o, se réduisent aux coefficients de do?, d:,do, et de do? dans l'équation des lignes de courbure de (M). | Observons encore que si l'on pose simplement les conditions
cela revient à dire que le segment, dont les projections sur Mx’, My’, Mz'ont les valeurs indiquées à la page précédente, est parallèle à Mz,', ou qu'il est perpendiculaire à la fois aux deux vecteurs (£,, n,, &,) et (£,, n,, %,), ce qui donne les conditions :
E (iaCs — KB) + n3 (GaÂe — EC) + 6 (62B2 — M9À 3°) — 0, EC — LB) + nm (GA — 6,07) + QG (KB; — n,À;) = 0, qui s’écrivent :
(nita — Gino) As + (Gba — Ets) Ba + (Gina — 3%) G' = 0, (nas — Gina) A4! + (Gibs — Eto) Bi! + (Gina — 1h) Gi = 0, et, sous cette forme, expriment queles vecteurs (A,, B;' , C')et (A, B,',C:’ } sont perpendiculaires à la normale Mz;,'; on trouve ainsi deux condilions qui sont indépendantes du choix du trièdre Me, Y:'4/, et que l'on vérifie immédiatement a posteriori, en se rapportant à la signification des eflorts tranchants
S,, S,. Si les conditions S, — 0, S, — o sont des conditions qui résultent de L forme de W, alors W EE les es spa aux dérivées Le
(ata — ti) © T + (its — AA ie (Es — nds Fe ==0,
JW (n1Qa FE Gina) n + (Rita — EE) + (Eine — m6) de (6),
ce qui entraîne que W est une fonction qui ne dépend de £;, r:, &; que par l'intermédiaire des trois expressions 8, #, G. Le même raisonnement prouve que les conditions :
ie Os Ps = 0
reviennent à deux conditions indépendantes du choix du trièdre Mx,'y,'z, que l’on peut écrire finalement
(nes =— K,n)P, d En (Ce E, — — ft) Q,' Ci (Em x To) Ra —= 0, (rite — Giro) Po! + (be — Bite) Qo + (ns — Tibs) Re = 0.
Si les conditions #, — 0, $, — o sont des conditions qui résultent de la forme de W, alors W vérifie les deux aux dérivées partielles :
doW
(n1$e — en) + (Qiêe — Et dE + (Gina — 182) dr, — O, W GE Gr Es + (GE —E AE Hi (Eins nt) = 5 =:
ce qui entraine que W est une fonction Es ne dépend de p;, qi, ri; que par l'intermédiaire des quatre expressions :
PaËs + Qui + lib Piba + aa + labas Pal + Gant + l'abus Paka + Gina + rabae Envisageons de même la condition S; —0;
elle exprime que le segment, dont les projections sur Mz’, My’, M2’ ont les valeurs indiquées à la page 1034, est perpendiculaire sur Mz,', ce qui donne la condition :
(nat = Cine) > GriCi! es tiB;') ce (KE A) » (GA a EC;) é <= (Eine = nb) ee (£B/ = mA) —= O,
qui ne dépend pas du choix du trièdre Mx;'y1'z;', et qui conduit à une équation aux dérivées partielles vérifiée par W, lorsque la condition S, — o résulte de la forme de W ; cette équation est :
(E8 er M D + (128 ee 9 TON D + (G8 Cr 9 RTE + (6:27 — HG) 2 ee + (NF — r1G) ? + (67 — t1G) 2 us = 0 qui s'intègre facilement, car elle admet les intégrales particulières formées
respectivement par 6, #, G.
Le même raisonnement s ‘applique à la condition
qui correspond encore à une condition indépendante du choix du trièdre Ms y:'z, et qui conduit, lorsqu'elle résulte de la forme de W, à l'équation aux dérivées partielles
dW dW rm dW (E6 a (26)) DA + (08 — 119) dqi + (6 — UF) Ex
oW dW dW + (6:93 — 6,6) ms + (n2F — 116) 5 + (GF — 66) ec dont l'intégration est immédiate.
87. Equations obtenues en introduisant, à l'exemple de Poisson, les coordonnées x, y comme variables indépendantes à la place de p1, p2e — Proposons-nous, en poursuivant une certaine analogie avec ce que nous ferons pour le milieu déformable à trois dimensions, de former des équations analogues à celles du $ 35, mais dans lesquelles les variables indépendantes seront x, y.
Pour abréger l'écriture, désignons pour un instant par %,/, Uo'; Zo'° Lo’ Ab’, Ty les premiers membres des relations à transformer, c’est-à-dire posons :
= MAX VB Ye gi = Re — Ab et ES AT
Nous pouvons résumer les douze relations du $ 35, dans lesquelles on a rapporté les éléments aux axes fixes, dans la suivante :
Rz ff es dir, Vo’ 2 + Dos + Lots + Mo 2 + Votes) doidoz CRAN M GI EPR ge + BA DE) 2
dso d dP2 ge) + (marc) + (Pit PE) #
d : dez qe) + (5 — Q, da + Q: Fa Hi (Ko — R ds: be ds Fe \
où À, À, Àgs Us le, ps sont des fonctions arbitraires et où les intégrales , , , , , ; SRE sont relatives à la courbe C, de la surface (M) et au domaine limité par
elle.
Apliquant la formule de Gneen, la relation que nous venons d’écrire devient la suivante :
ST 15E (Xo }1 + Yohe + Zos + Loi + Mon + Nous) À dei do; SE fe + Goes + Hohs + Lois + Joue + Kous) dso dk da le C “ea d — ff (a? Fes + DE en B;- Des + BE CE A D Go a ET Pad pa SRE:
d9 dpe
+ JFG +
dz dz dT dt ne [f ER e Hi — 5 Cp des dos
EB+ EE — DA seb ait (a AUS ENT — LA) des de: — 0
Cherchons la transformée de cette dernière relation, lorsqu'on prend pour nouvelles variables les fonctions x, y de p4, P2. Si l’on désigne par o une
fonction quelconque de p1, p2, qui devient une fonction de x, y, les formules élémentaires du changement de variables sont :
db
d De ce Hs
PT
è — — B; — E Be as d?4 de
Se #07, dP, dpi ÙY dpi RNA d92 OZ Pa dY da
Appliquons ces formules aux fonctions A1, +, À3, pus Mo us3 C indiquant toujours la courbe de (M) qui correspond à la courbe (C,) de (M), désignons de plus par X, Y, Z, L, M, N les projections sur Ox, Oy, Oz de la force et . du moment extérieurs appliqués au point M et rapportés à l'unité d'aire de - la surface déformée (M), et par F, G, H, I, J, K les projections sur Ox, Oy,
Oz de l'effort et du moment de déformation qui s’exercent au point M sur C, rapportés à l'unité de longueur de C. Introduisons enfin douze nouvelles auxilaires AG), BU), CU) ; : AG), BG), CG) ; PE), Qu, R() st QG. R°), par les
formules
à AU = A ÎE + A, LPH=P EE pt 1 2
À d2: 23e ; de" SAS AN +A, À ee PER ä; de Pr À, ‘à * 2
et par les analogues obtenues en remplaçant
As, A2, AUD, AU), Pi, P2, PQ), PG)
respectivement par B;, B;, BU), BG), Q:, Q:, Q, Q(),
puis par Cis Co, CU), CU), Rs, R, RO, RU).
Nous appelons A, l'analogue de À ; nous posons donc :
Nous obtenons la relation transformée
— (fans etu + Ne, A1 dx dy + fau +e+m+iu sus Kus) ds “ CREME NP ET Enr ed 1 0x ? dy dx * dy L'on 2 y) dt du. Le dH\ - | — ff (vs He +QUE 24 QU) nue + RÉ FR UE Jar dy - ffcy-Erv- spy} er de q ( Ne À dy
où les intégrales sont relatives à la courbe C de la surface (M) et au domaine limité par elle, ds désignant l'élément d’arc de C.
Appliquons de nouveau la formule de GREEN aux termes qui renferment les dérivées de A1, À+, À3, His Ho, Us, par rapport à æ, y, ; il vient, puisque À, À, À Ps Ba, Hs, sont arbitraires,
UML ES amd awE, Re us DU EAN (1) B(1) d d . + — A, Ÿ, GB — BUT dCU) oC) d dx + = 2, n= cp Ÿ— cu,
dy dx
dP() 2P(4) dz dZ p{(1) — ui) ns Re y —- = À, L, 1= Py —? à Ge?
2Q() Fo Se AU + ZAU—-CH=AM, J— Qw? — QO 7 ds (4
dt dy = ) R() d EE . + BH — AW—AN, K—ROT y TROT.
Ces formules peuvent se déduire a posteriori de celles données précédem-
ment ; prenons, par exemple, celles de droite ; on a vu {8 35, 1) que F, G, H peuvent s’obtenir en remplaçant dans
do do;
d AP—-AT, Be
ds
doi
hi
do; dos :
les expressions De ne respectivement par
Lee LME en ee a el a | NAT UTE dP4
en désignant par À, mu, v les cosinus directeurs de la normale extérieure à C,
ce qui donne d
et de même
ce qui revient à dire que l’on a :
dz dz RU Re ES do tdi dt CAT Or ces dernières relations résultent de ce que les formules dx dy dz dz 22 AT HER +R ® pl be entraînent de dy d Re A 1 Æ | Dauue Ge RU CD RER CES
le signe du dernier rapport correspondant au sens de parcours de C, qui beue dans l’emploi de la formule de Ge.
88. Introduction de nouvelles auxiliaires fournies par la considération des trièdres non trirectangles formés de Mz,' et des tangentes aux courbes (f1) et (p2). - Dans le $ 35, 3, nous avons envisagé un trièdre trirectangle Mx;'y;z;', dont l’axe Mz;’ est normal à (M). Les formules donnant F,”, G;', H;', I}, J;', Ky', nous ont conduits à introduire de nouvelles auxiliaires ; mais nous pouvons aussi considérer les équations indéfinies et les rapporter au trièdre, qui n'est plus généralement trirectangle, formé par l’axe Mz,', et par les tangentes aux courbes (,) et (6). Ceci se fait aisément en utilisant les calculs déjà effectués par l'intermédiaire de Mz/y;'z. Il nous suffit de partir des équations obtenues à l'égard de ce dernier et de mettre en évidence les combinaisons
Ko + Yon, XD + Yo TE, LED Mon), Lo’ + Monty, Posons Ji" — El) As + 10) Bi, A," = EU) A," + nl B, Bi" ur EU) AE es PU br B" ee EU) À," ne 7) be
et quatre formules analogues pour £;”, 9,”, £;", 2"; nous en déduisons :
NV DE EE md RS EE HR mL 1
pr EDR" —Ep mt po ED JW — EN B LÉ A , 2 — x
et des formules analogues pour P;", Q;", P;”, Q.". Les équations s'écrivent :
ah. oh .
ie 2 SN Es" — 8,8," —6,8,/ — AD C;"—AD'C.'—A, (El) Xo + lo),
dP1
dP2
BB pp 5" 0,8 — 0,8" AD; — AC, —A CEUX SET UY
di 1 2 1901 2902 LE 2 A4 A0 +), Ci" 20" 892, ,, GD—D 4, ED TD à GD—ID Do À y D os LA ETS DM ile AE VE ie AE 2", per se" 68,9/0,9 AYR;-APR,—AC'—A(EUL + UM,"
D Ro ir 1 2 1 =A(EGL "+ ru oh 29," 22 L®," “ 1 8,9,"—8.,9,/ZADR.'—ADR 1 AC, —A (ŒUWL 1 ErCOM 1) D do tt ee 1 2 2 —Aÿ(SL, + ), 2R," 0R" 60 —9D,, GD—FDn ED — FD Don GDF à
“5h æ, he À CA SEE VR } DIFATSS D a me À 9,
= À No,
de ET si. 51 fr B:") — GR"
Dans ces formules, on désigne par Z,, 2, 23, 8,, 8, @3, les six symboles
de CHRISTOFFEL :
26 0 26 26 26 +2 29 CET dot TT api PO E Z1 —= 24? , 1e 2? , 2G g 26 26 __L2G dpi 292 Ÿ 3 dP4 Sa — Ë PTE ‘ 2 — 21?
26 2G g CT 26 __ 2 : dp2 see dp1 ' d 92 #47 $ dP2 ÿ 251 d2 23 — 24? È LVerR 24? è
et par A°®, 429, A? les trois déterminants définis par l'identité (!) :
DÉIOT OE 2 d°?x
dpr pa op F1 + pipe
2°? 2° A° (Ode? + aDdpide, + Das) —| 2 © DH dot +272 deudes + dei
: dre desde + > x dei
DP1 Po PS d92
2 DZ d?z D Tres 0% EL — do? + 2 dodo: 2 — di dP1 DP4 dPf dP1dP2 dp3
Pour les calculs précédents, nous avons utilisé les relations : pt) — END — 199, qu = D — 199, pU END END, qÜ = 09 — 1%,
dE: O,E, -H LE d$2 To dé: nar2 = O1 + DE D Na = Dhs TT 252 de on 2 2 252»
dP1 ee ‘à ATP: dp2 Ê
+ — nor = 03% + Esbo,
dr1 dTo dT1 “ a + Era —= Oins + Lire, dr + br and Eure —= Opra + Zoe, l & © dT2 > S. + 22 — O5 + Zsro.
39. Travail virtuel extérieur; théorème analogue à ceux de Varignon et de Saint-Guilhem. Remarques sur les auxiliaires introduites dans les $S$ précédents. — Nous donnerons le nom de travail virtuel extérieur sur la surface déformée (M), dans une déformation virtuelle quelconque, à l’expression :
°C. —— — [. (Fs'ôx + Go Ô'y —+ H,'9z Ce ro L,'or —+ dé'or + K;/ôr') do So
LE il J (Ko dx + y + Z/8z + Li + M,/ôs No'ëk!) Ao des do. Co L
On peut donner à cette formule d’autres formes, en introduisant d’autres éléments ; supposons, par exemple, que l’on introduise les expressions X5, Yo, Zo, Lo, Mo, No: Fos Go, Ho, Los Jos Ko- À cet effet, désignons par Ôr, às, èk les projections sur les axes fixes du segment dont les projections sur Mx’, My', Mz' sont àr, ôs’, èk’, en sorte que l’on a, par exemple,
— Sr — x"Da/ + 6'og" 28 ydy ss 2 (a/a” Le g'ag" Les +37),
en supposant toujours les axes que l’on considère de même disposition. Il vient alors :
8e — — [ (Foôxz + Goèy + Hoôz + Lôr + Joôs + Koÿk) dso
Co + \l J oz + Yèy + Zoëz + Loôr + Moès + Noôx) AodPid. Co
(1) Comme nous le répéterons plus loin, nous désignons ici par A°®, A°4), 1°qy, les quantités que M. Darsorx désigne par D, D', D”.
. La force (X$', Yé, Zo') où (Xo, Yo, Z+), le moment (Lo', Mo, No’) ou (L;, M;, No) sont rapportés à l’unité d’aire de la surface non déformée ; l'effort (Fo', Go’, Ho') ou (F5, Go Ho) et le moment de déformation (L', Jo’, Ko) ou (Lo, Jo, Ko) sont rapportés à l’unité de longueur du contour C, non déformé. Partons de la formule :
Jf ô (WA) didpz — — 00,, Co
appliquée à une portion quelconque de la surface déformable limitée par un contour C.
Comme 5 (WA) doit être identiquement nul, en vertu de l’invariance de LA W et de À, dans le groupe des déplacements euclidiens, quand les variations x, dy, dz sont données par les formules (9), page 960, savoir : 5e — (ai + w27 — w3y) di, Ô = (a + WT — wyz) ÔÉ,
5 ôz =— (as + O1Y rs WT) ôt,
et quand êr, ès, èk sont donnés par
" a S n GT — OI, CIO) 0 Le OR — 52,
et cela quelles que soient les valeurs des constantes a;, &, &3, wi, w2, w, nous en concluons, d’après l'expression précédente de &®,, que l’on a :
1 Fodso — ff XoA0d21d22 — O, 1 Gods, — ff YoAod1dp2 10; Co Co Co Co ï H,ds, — ff ZoAod21d52 — 0, CA CS
il (L + YH = 2Go) dso — ff (L —+ 72 — A0) Aode:dp2 = O, Co Go
et deux formules analogues.
Ces six formules se déduisent facilement de celles que l’on écrit d'ordinaire au moyen du principe de solidification (*). On peut concevoir, dans ces formules, que le contour C, est variable.
Les auxiliaires introduites dans les $$ précédents ne sont pas les seules que l’on pourrait envisager : en nous bornant à leur considération, nous ajouterons simplement quelques remarques faciles.
Nous avons, en définitive, introduit deux systèmes d'efforts et de moments de déformation relatifs à un point M de la surface déformée ; les premiers sont ceux qui s’exercent sur les courbes (?,) et (p2) ; les autres. sont ceux qui
(1) Le passage des éléments rapportés aux unités d’aire de (M5) et de longueur de C, aux éléments rapportés aux unités d’aire de (M) et de longueur de C est tellement immédiat qu’il suffit de se borner, comme nous le faisons, aux premiers, par exemple.
s’exercent sur des courbes orthogonales de définition arbitraire et à préciser, et dont les tangentes Mx,', My;', ont des directions arbitraires rectangulaires et à préciser, dans le plan tangent en M à (M). ;
Les formules que nous avons indiquées donnent les derniers éléments au moyen des premiers et inversement les premiers éléments au moyen des seconds. |
Supposons maintenant que l’on introduise la fonction W ; les premiers efforts et moments de déformation ont des expressions déjà indiquées et on en déduit immédiatement les expressions relatives aux seconds. Mais, dans ces calculs, on peut rendre explicites les fonctions que l’on veut mettre en évidence suivant la nature du problème, et qui seront, par exemple, x, y, z et trois paramètres (?) 14, À, À; au moyen desquels on exprime 2, me tee
Si l'on introduit x, y, z, M, À, 3 et si l’on continue de désigner par W la fonction portant sur p;, P», sur les dérivées premières de x, y, z par rapport à Ps Pa, Sur À, À, À et sur leurs dérivées premières par rapport à Ps, Par . obtenue en remplaçant dans la fonction W(2:, E, mi, Li, pi, qi, ri) les différentes quantités E;, n:, G, pi, qi, ri par leurs valeurs données au moyen des formules (30) et (31), on aura :
oW oW We Les ON eo mure Ai Ado, de Gr Me I; — À, ; dk? PA DA Z;— À Û où F di à dx . di dP: dP; dP;
40. Notion de l'énergie de déformation. Etat naturel de la surface déformable. — Envisageons les deux états (M) et (M) de la surface déformable limités par les contours C, et C, et considérons une suite quelconque d'états partant de (M,) pour aboutir à (M); il suffit à cet effet de considérer des fonctions x, y, z, a, «,... y" de 2,, ?, et d’une variable qui, pour la valeur o de la variable k, se réduisent respectivement à x,, y,, zo, %, se. Vo» et, pour la valeur h de h, se réduisent respectivement aux valeurs x, Y, 2, a, d,... y’ relatives à (M).
En faisant varier le paramètre À de o à À d’une façon continue, nous obte nons une déformation continue permettant de passer de l’état (M,) à Pétat (M). Envisageons, dans cette déformation continue le travail total effectué par les forces et les moments extérieurs appliqués aux différents éléments superficiels de la surface et par les efforts et moments de déformation appliqués aux différents éléments du contour; il suffit, pour obtenir ce travail total, d'intégrer de o à k la différentielle obtenue, en partant de l’une des expressions de 56, du $ précédent, et en y substituant aux variations de DV, 2% æ,.. y" les différentielles partielles qui correspondent à l’accroissement dh de
h; la formule ôG. = — ff S(WA) deidps Co
(*) Comme telles auxiliaires 4, À+, Às, on peut prendre, par exemple, les compo-
santes de la rotation qui amène les axes Ox, Oy, Oz à être parallèles respectivement à Mz', My’, Mz.
donnant, pour la valeur actuelle de ô&,, l'expression — J ik 2 AD hderdes,
nous obtenons, pour le travail total,
=f (JL Tadaud) dh = ffio. — (Wao)uy ] deidoz-
Le travail considéré est indépendant des états intermédiaires et ne dépend que des états extrêmes considérés (M,) et (M).
Ceci conduit à introduire la notion d'énergie de déformation, qui doit être distinguée de celle de l’action envisagée précédemment; nous dirons que — W. est la densité de l'énergie de déformalion, rapportée à l’unité d’aire de la surface non déformée. à
Ces considérations ne sont que la répétition de celles que nous avons présentées dans le $ 42 ; de même les observations relatives à l’état naturel de la ligne déformable, qui font l’objet du $ 43, peuvent être reproduites à l'égard de la surface déformable.
41. Notion du trièdre caché et du W caché. — Dans l'étude de la surface déformable, il est naturel, comme dans celle de la ligne déformable, de porter l’attention d’une façon particulière sur la surface géométrique dessinée par la surface déformable ; ceci revient à envisager à part x, y, z et à considérer a, a/,.….. y" comme de simples auxiliaires ; c’est ce que nous pouvons également exprimer en concevant que l’on ignore l'existence des trièdres qui déterminent la surface déformable et que l'on ne connaisse que les sommets de ces trièdres. En nous plaçant à ce point de vue, pour envisager les équations aux dérivées partielles auxquelles on peut être conduit suivant les cas, nous pouvons introduire la notion du trièdre caché, et nous sommes conduits à une classification résultant des diverses circonstances qui peuvent se présenter dans l'élimination de «, «/,... y’.
Une première étude qui se présente est donc celle des réductions qui peuvent se produire dans l'élimination de 4, «',... y"; dans les cas particuliers correspondants, où l'attention est portée d’une manière presque exclusive sur la surface ponctuelle dessinée par la surface déformée (M), on pourra même parfois faire abstraction de (M), et, par suite, de la déformation permettant de passer de (M,) à (M); c'est à ce dernier point de vue que nous pourrons retrouver la surface dite flexible et inextensible des géomètres.
Le trièdre peut être employé d’une autre façon ; nous faire sur lui des hypothèses particulières, et de même sur la ne M ); tout ceci revient à envisager des déformées particulières de la surface PERS libre. Si les relations que nous imposons sont de simples relations entre En: QG, Po 5 ri, comme ce sera le cas dans les applications que nous aurons à étudier, nous pourrons tenir compte de ces relations dans le calcul de W et déduire de W des fonctions plus particulières ; la question intéressante qui se posera sera d'introduire simplement ces formes particulières, et de considérer, en quelque sorte, comme cachée, la fonction W générale qui aura servi de point
9h THÉORIE DES CORPS DÉFORMABLES
de départ. Nous aurons ainsi une théorie qui sera spéciale aux déformées particuhières mises en évidence par les relations données entre E;, n;, G, pi, qi r
Nous verrons que l'on peut ainsi, au moyen de la théorie de la surface déformable libre, rassembler à titre de cas particuliers et comme provenant d’une même origine les équations qui sont le résultat des problèmes spéciaux que l’on a seulement abordés jusqu'ici. Dans ces derniers, on se place quel quefois dans des circonstances propres à éviter la considération des déformations ; en réalité, ils ont besoin d'être complétés ; c'est ce que l’on peut faire, dans les applications pratiques, en envisageant la déformation infiniment petite.
Prenons le cas où la force et le moment extérieurs ne renferment tout au plus que les dérivées premières des inconnues x, y, z et 4, À, À, ; les dérivées secondes de ces inconnues ne seront introduites dans les équations aux dérivées partielles que par W ; or les dérivées de x, y, z ne figurent que dans£;, r;, *:. et celles de À4, À, À; ne se présentent que dans p;, qi, ri. On voit donc que si W ne dépend que de #;, ;, &, ou ne dépend que de p;, q;, ri, il y aura réduction dans les ordres des dérivées entrant dans le système d'équations aux
dérivées partielles. Nous commencerons par examiner le premier de ces deux cas.
42. Cas où W ne dépend que de p1, 22, 1, m1, Qi, », n2, &. La surîace qui, dans le cas de la déformation infiniment petite, conduit à la - membrane étudiée par Poisson et Lamé. La surface fluide reniermant comme cas particulier la surface envisagée par Lagrange, Poisson et M. Duhem. — Supposons que W ne dépende que des quantités Pis Es ni G et non des p;, qi, ri; les équations se réduisent aux suivantes :
DAS UE ie 20e dr LT RE pre dpi dp2 ùo d(WA;) ùo o(WAo) oW 30, 2 à —+-- 5 PET === AY, —+ Abo — O, d21 d22 os (WA) —+- nu > (WA) == AZ, dW —- A5 —— O, dy ns Os ns 0 UE dpi 22
dans lesquelles W ne dépend que de 4, fs, Sp À, À, À; elles nous
+ montrent que, si nous prenons le cas simple où X,, Y,, Zo, Los Abo, 1% sont ss La LT dz des fonctions données (1) de p1, p+, x, y, z, et , A4» Ào, da, les trois 51 2
équations de droite peuvent êlre résolues par rapport à À, À,, À:, et on obtient finalement trois équations aux dérivées partielles ne renfermant, avec nos hypothèses, que p4, ps, x, y, z et leurs dérivées premières et secondes.
(*) Nous supposons que X,, Y,, Z,, €, Abo, Yo ne renferment pas de dérivées de
À4, 2, Às pour simplifier l'exposition, et pour indiquer plus facilement ce à quoi nous voulons faire allusion.
Bornons-nous au cas particulier, dans lequel les fonctions données Lo Ab, Te, sont nulles; il en sera de même pour les valeurs correspondantes des fonctions de l’un quelconque des systèmes (L,, M,, N,), (L,', M,, N,'), (L;", M;”", N;'). Il en résulte que les équations
2W : 2oW oW reviennent soit à
d dZ d dZ
CB CG, Bo,
doi dpi dP9 dP2
dZz dx dz dx
