AGEN +ES), ACER
Len oz OW oz oW C = A, (2 A NA re U h
ox oW x dW dy oW dY dW
Ma (Em) Ba (T 2e) dz dW dz 0W
Dao de)
soit encore à :
dA,;" 1 " " LA 2
DCE +avor—rpB)= ax, = Ad ad, : 0
> Œ + riDAS — PC) = AY G = Br ge prier,
EC rm) man mari ot So 0
ds ds où l’on a :
F2 2) 2W oW : oW W As = À (at 5 + 4) %) Be 0 (antp ES + 14) 3) Gr = à, (ax 2 + tt au” : 2W 2W W A = À CE Le + 264) — FA 1): B;> — Ao (a oi. + 27,0) al Gr a, (28 2x9 2) à soit enfin aux équations :
à [NE TRES EG N, GT LT a "0 [nn | + 5% or = sun, |= ax, à |[T &® ) N, EH) EU T Et N 2: N si | Ste r{ Fe 7% | 32» er N: | + rt) nt T | =— AY N, EU) OT (1) (1) 1 ë EU N " ji x + Si} | T n( | FPE [5 n, | so n | ni d F'R=VN UT, GR ENT + UN, Ho,
où l’on a :
A oW to W N=2% ESA ENCORE ‘
— À 2W 2W 2W T — + 28 (Dr) de (Ent) +. Er) + Jon PHAPTE) Fa È
N=—2 2e (n®} + nn) 2 + (n(9) us 4 Ainsi que nous l'avons dit, l'effort est dans le plan tangent à la surface déformée; N, et N, sont des efforts normaux, c’est-à-dire des efforts de tension ou de compression ; T est un effort tangent à l’élément linéaire sur lequel il s'exerce, c’est-à-dire un effort tranchant.
La considération de la déformation infiniment petite, appliquée à la surface précédente, permet de retrouver la surface ou membrane étudiée par Poisson et Lamé (!).
Observons que nous avons, en outre de la formule déjà utilisée qui donne A, les suivantés :
BE — (EU) + (RO), GS EDED + nDnD, GC EDR + (HU),
en vertu desquelles N;, T, N; peuvent être considérés comme des fonctions terminées de p1, p2 et de Elf), EU), 4), n(1).
Un cas particulier intéressant, que nous appellerons le cas de la surface fluide, s'obtient en supposant, à l'égard des trois fonctions ainsi définies, que l’on a :
Si nous observons que l’on a les identités (?) : GUY G — 2 EE + EU) 6 — 4°,
EDn(DG — (ADN + En) F + EUr 6 = 0, (nD}2 G — ann F + (ND) 8 — 4°,
qui résultent des valeurs :
8 — (ED)? + (ND), F—EUUED + ntnD, G = GO HG
des expressions 8, 7, G définies par les formules (32), on voit que les deux conditions que nous venons de poser reviennent aux suivantes :
2aW oW oW 6 dF Der oG ; a mt | Pa (1) Porsson. — Mémoire sur le mouvement des corps élastiques, p. 488 et suiv., Mém.
de PInst., T. VIN, 1829 ; G. Lam, Leçons sur la thévrie mathématique de l’élasticité des corps solides, 2° édition, 1866, g° et 10° Leçons.
(?) En vertu de la seconde de ces identités, si T mL on est amené aux conditions qui suivent, et par suite N1 de poser T = o.
quel que soit l'élément linéaire, — N;; on peut se contenter
qui entraînent que W ne dépend de 8, #, G que par l'intermédiaire de la
quantité A — V/8c g, et est par suite une fonction de p:, p» et de
u = — 1. En continuant de désigner par W l'expression de W au moyen de P4, Pas 4, On aura : h.
NN er" CT
IL est facile d'obtenir la forme particulière que prennent les différents systèmes d'équations examinés, qui ne sont d’ailleurs que des combinaisons ou conséquences simples de l’un d’eux; en particulier le système de la page 1048 prend, en vertu des équations vérifiées par les E(), … rl), et en désignant
: W à par N l'expression . , la forme suivante :
, 2N oN rG 2 . ar x 32 = AoX" oN à HEULEE s- + ES = A,Y,", tira). Ao gr R' 1 A, A en utilisant la formule :
I I ph — pHED + ae qi) — que, CR KA re ent) == Ent)
dans laquelle figurent les rayons de courbures principaux @, et R, de la surface déformée (M).
Si nous envisageons le cas Er dans lequel W ne dépend que de p, et dans lequel (M) ne figure pas explicitement, nous nous trouvons en présence de la surface considérée par Lagrance (‘), dont l'étude a été reprise par M. Duuex (?) ; nous avons à faire ici des observations absolument analogues à celles que nous avons présentées à propos du fil flexible et extensible de Laëraner. Si, comme le supposent Lacrance et M. Dune, la surface (M,) ne figure pas explicitement, cette surface (M,) ne figure que par la quantité p ; son existence n’est plus révélée que par cette quantité ; si l’on suppose que la fonction W est donnée, à la quantité y, que nous pouvons introduire comme inconnue auxiliaire dans les problèmes habituels, nous pouvons substituer l'inconnue N; si la fonction W est cachée, N devient encore une inconnue auxiliaire, mais dont la connaissance ne donnera plus rien à l'égard de (M,).
Dans le cas où la surface (M,) ne figure que par la quantité u, on peut prendre, au lieu de p,, pe, deux autres variables quelconques, ‘x, y, par exemple, et si W est donnée, on a deux inconnues et trois équations ; si W étant cachée, p ne figure que dans W, on est dans le même cas ; dans le pre-
(1) LAGRANGE. — Mécanique analytique, 1°° Partie, Section V, Chap. IN, $ IE, a°s 44-45, p. 158-162 de la 4° édition. |
(2) P. Dunem. — Hydrodynamique, Elasticité, Acoustique, T. II, p. 58 et suiv.
mier cas, la remarque faite par Poisson est rappelée par M. Duuex (t). Développons explicitement cette remarque, en mettant les équations sous la forme donnée par Laërance et plus explicitement par Porssox et M. Dunen (©).
Résolvons les équati écé 2N TAF quations précédentes par rapport à > et par rapport à 30
nous obtenons :
doN
aN oN A, dp4
A ; M sn "h):
mais, en introduisant, pour un instant, les cosinus directeurs L, l', l" de Mx,', ! V4 m, m, m' de My,', n, n', n' de Mz,' par rapport aux axes fixes, on a :
dx d = 0ÿ2 A y et 1 OŸ mr ES ++
d2; dx ù oz em 0 TE À nee . A4 m D + m ee + m Si j dæ ù èz D —n 19 ne (4 n 5; + n ds + n dx et OUT TRE TNT ES di 7. ùz, 0 0 + Yo'nl dent de fo Le système précédent s'écrit :
oN A, dx dy dz nd 0 72 | oN NN dx ù oz Pet On la IE pérya 2 a), De A | D 02, 05 I À N(g-+ = Xn + Y,n + Zn); a+ ag) = 2 Gen + Yon + Zn)
c'est celui que l'on trouve, aux notations près, à la page 86 du Tome II du livre déjà cité de M. Duuex (le sens de la normale à (M) est seul changé).
Introduisons les variables x, y, au lieu de p;,, p: ; observons à cet effet que les deux relations, qui renferment les dérivées de N, peuvent se résumer dans la suivante :
aN = Ÿ° (Xude + Yody + Zud),
ce qui correspond, dans le cas particulier où y figure seul, à la remarque faite par M. Duxew en haut de la page 90 du Tome II de son ouvrage.
(1) P. Dursu. — Même ouvrage, T. IL, p. 92, en haut de la page. (2) P. Dumeu. — Même ouvrage, T. II, p. 86 et 9r.
Si æ, y sont pris pour variables, nous avons le système
qui n’est autre, aux notations près et avec une convention convenable sur le
sens de la normale, que celui des équations (31) et (32) de M. Duxew. A
Si nous considérons, avec Porsson et M. Dumeu, le cas où Fs F À à PA
. Z, sont des fonctions données de x, y, z (nous pourrions même supposer
aussi des dérivées de z), nous avons trois équations renfermant deux inconnues N, z.
Dans le cas particulier où les fonctions données de x, y, z, dont il vient
d’être question, sont telles que à (X,dz + Yody + Z,az) est la différentielle
totale d’une fonction V, le système de trois équations, qui s'écrit, comme nous l'avons dit,
aN — Po (Xude + Yody + Zde), NÉ NT (+) = Go + où + Zn”),
revient au suivant :
N — V — const. — C,
I r\ida iv AA ren N(g+g)=nt+n Ro D!
N se calcule par la formule N—=V+cC,
et la surface (M) vérifie l’équation (:) :
14 ; V+O(r+g)=" HN — + nn —
43. La suriace flexible et inextensible des géomètres. La surface fluide incompressible. La surface de M. Daniele. — Nous ayons
(1) Comparer Dumex, Elasticité, etc., T. Il, p. 92, qui s'est inspiré des pages 179 181 de Porscox, Mémoire sur les surfaces élastiques, lu le 1°° août 1814, publié par extrait dans le n° de mai 1815 du Tome III de la Correspondance sur l'Ecole Polytechnique, p. 154-159, puis dans les Mémoires de l'Institut de France, année 1812, seconde Partie, qui ont paru en 1816.
considéré le cas particulier où W ne dépend pas de p;, qi, r; et différentes particularisations de ce cas ; nous allons montrer comment, par l'étude de déformations particulières, on peut parvenir à diverses surfaces déjà considérées, au moins en partie, par les auteurs.
Partons d’abord du cas simple dans lequel le trièdre est caché, c’est-à-dire en définitive d’une surface simplement ponctuelle et supposons que ce soit d’abord le cas général dans lequel W est une fonction quelconque de p,, b;, 6, #, G. ;
1. Nous pouvons concevoir que l’on porte l’attention uniquement sur les déformations de la surface pour lesquelles on a :
6 — 6,, F—=S%,, G—= Go.
Il suffit, dans les définitions des forces, etc., d'introduire ces hypothèses, et si les forces, etc., sont données, d'introduire ces trois conditions ; dans ce dernier cas, les problèmes habituels, correspondant à la donnée de la fonction W et au cas général où 8 — 8,, F — %,,G — G, ne sont pas nuls, ne peuvent se poser qué si les données sont particulières.
Si nous supposons que seule la fonction W,, obtenue en faisant 8 — 8,, F— 5%, G — G, dans Wi(o,, P,, 8, F, G), est donnée, que l’on ne connaisse pas les valeurs des dérivées de W par rapport à 8,9, G, pour 8—68,,7—9%,, G = G qu’ainsi W soit cachée, nous voyons que N,, T, N, deviennent trois auxiliaires que l'on doit adjoindre à x, y, z, de sorte que, dans le cas où les forces agissant sur les éléments de surface sont données, nous avons six équations aux dérivées partielles à six inconnues ; on n’a alors un problème déterminé que si l’on adjoint des conditions accessoires. Si la figure déformée est assignée a priori, on a trois équations entre les fonctions inconnues N,, T, N..
Les équations, auxquelles nous parvenons, sont celles qui définissent la surface flexible et inextensible des géomètres.
2. Nous pouvons concevoir que l’on cherche à définir une surface déformable sui generis, dont la définition tient déjà compte des conditions
86, =, G = Go-
Pour définir la nouvelle surface, en restant dans le même ordre d'idées que précédemment, nous définirons encore F,', G;', … N,' par l'identité
J fl S(WA,)do de, — 1 (F dx + Go y +. + K'èr')ds, co Co
— ff (X 8e + Y,/0y + … + Nj'ôx") Ajdo,dp, :
Go
mais cette identité ne doit plus avoir lieu qu'en vertu de B—6,, F=9,, G—= Go:
en d’autres termes, nous envisageons une surface dont la théorie va résulter de l’adjonction a posteriori des conditions 8 = 8,, — %, G — Gÿ à la con-
naissance d'une fonction W(e,, P,, &, #, G) et de trois fonctions auxiliaires Lis Mas Lo de P,, P,, au moyen de l'identité :
f[ [ÈW + 0 (8 — 85) + pô (F — F) + m5(G — Go)l Adp,d?,
È = re Eyeka ds ff (Ko a+ Y, 0 y +... +N/ôr") Acde1do. Co Co
Ceci revient à remplacer, dans la théorie générale qui précède, W par W=W+p(E—8,)+u(F— 9%) + (6 — Go), puis à faire 8 —6,, F — F,, G = Go
Nous revenons, on le voit, à la théorie de la surface flexible correspondant à la fonction W, de p,, gs, 8, F, G, dont on se borne à étudier les déformations qui correspondent à 8 — 8,, 4 — %, G — Go.
Si nous nous plaçons dans le cas du W, caché, en supposant que l’on connaît simplement la valeur W,(o,. 2,), que prennent simultanément W et W, pour 8 — 8,,# — 3%, G — Gy nous retrouvons la théorie classique de la surface flexible et inextensible.
Observons que si, pour constituer la surface flexible et inextensible, nous tenons, par un changement des auxiliaires, compte a priori dans W des conditions 8 — &,, 3 — %,,G — Go, nous sommes conduits à remplacer, dans les calculs relatifs à la surface déformable générale, W paru, (8—8,)+u(3—%) + H3(G — G), et nous tombons sur des formules qui ramènent encore à l'étude d’une surface flexible, dont on se borne à étudier les déformations qui correspondent à 8 — &,, F — %,, G — G, ; ces formules, en supposant u,, Has (3 RON connus, nous ramènent encore à la surface flexible et inextensible des géomètres. À ce dernier point de vue, nous retombons identiquement, sur l'exposition donnée par Becrraur, dans le $ 2 de son Mémoire bien connu. Nous pouvons observer que, dans le cas où X,, Y,, Z,, exprimés au moyen des équations, sont les dérivées partielles par rapport à x, y, z d’une fonction © de »,, p,, æ, y, z, les équations, dans lesquelles figurent X,, Y,, Z,, ne sont autres que les équations des extrémales du problème du calcul des variations, consistant à déterminer un extremum de l'intégrale
Ji Acdp,do,,
ÉEE;, F—=Y,, G = Go-
sous les conditions
Plaçons-nous dans le cas où la surface (M;) disparaît des données et ne se présente pas dans la question ; les variables p,, p, apparaissent comme un système de coordonnées auquel est rapportée la surface ; si ces variables ne figurent pas dans les données, on peut alors introduire à volonté deux autres variables à leur place. En se mettant à ce point de vue, qui est celui généralement adopté, les équations précédemment établies donnent, à titre de cas particuliers, les diverses équations connues étudiées par les auteurs, pour les-
quelles nous nous bornerons à donner quelques indications bibliographiques dans le $ suivant.
Supposons que nous partions de la surface formée au moyen d'une fonction W de p,, p,, À, ou, si l'on veut, de Pi, petden— à — 1. Concevons
que l’on porte uniquement l'attention (!) sur les déformations de la surface, pour lesquelles on a :
on se trouvera alors dans le cas de la surface fluide incompressible. T\suffit, dans les définitions des forces, etc., d’introduire cette hypothèse, et, si les forces sont données, de poser cette condition ; dans ce dernier cas, les problèmes habiluels, correspondant à la donnée de la fonction W et au cas général où n'est pas nul, exigent que les données soient particulières.
Si nous supposons que seule la fonction W,, obtenue en faisant y — 0 dans
W(P,, P2 &), est donnée, et que l’on ne connaisse pas la valeur de 7 pour
u = 0, qu’ainsi W soit cachée, nous voyons que l'expression N devient une auxiliaire que l'on doit adjoindre à x, y, z, de sorte que, dans le cas des forces données, nous avons quatre équations à quatre inconnues.
On peut encore partir d’une fonction W, qui peut renfermer les E;, ri, €; aussi bien que les p;, q;, ri, et chercher la forme qu’elle doit avoir pour que l'effort s’exerçant sur un élément linéaire quelconque lui soit normal et de plus soit dans le plan tangent de (M). Il faut et il suffit que W ne dépende des £;, ns G que par l'intermédiaire de l'expression À — V EG — F2.
Nous mentionnerons aussi la surface qui se déduit d’une fonction WP: Pa 8, #, G) par l’adjonction des conditions 8— 8,, G—G, ; dans le cas où W ne dépend pas de #, on arrive à une surface dont l'étude a été commencée par Dance (?). Le cas où W dépend de % peut être rapproché d’une manière intéressante de celui de la surface flexible et inextensible ; il paraît correspondre mieux que ce dernier à ce qu’on peut appeler les surfaces armées, ou aux enveloppes, telles que celles des aérostats, formées d’une substance élastique, dans laquelle se trouve noyé un tissu à fils inextensibles.
4%. Quelques indications bibliographiques relatives à la surface flexible et inextensible des géomètres. — La surface flexible et inextensible des géomètres a déjà donné lieu, au point de vue mécanique, à un grand nombre de travaux. Il nous a paru utile de rassembler ici les indications bibliographiques suivantes, qui se rattachent à cette surface.
LaGrance. — Mécanique analytique. 3° édition, 1"° Partie, Section V, Chap. III, $ 2, p. 138-143; Note de J. BErTraxD, p. 140; 4e édition, Tome XI des Œuvres de
(*) Ce point de vue parait être celui auquel s’est placé M. Duew, dans son ouvrage : Hydrodynamique, etc. ; voir p. 91 du Tome II, les quatre dernières lignes, et p. 92 la fin du $ 6. | a +=
(2) E. Dameze. — Sull’ equilibrio delle reti, Rend. del Circolo matematico di Palermo,
Lacrancz, 1° Partie, Section V, Chap. III, $ 2, p. 156-162; Note de M. Darsoux. “p- 160.
Poisson. — Mémoire sur les surfaces élastiques ; lu le 1°* août 1814; inséré dans les Mémoires de la classe des sciences mathématiques et physiques de l’Institut de France, année 1812, 2° Partie, p. 167-225.
Cisa DE Gnésy. — Considérations sur Péquilibre des surfaces flexibles et inextensibles (Memorie della R. Accademia delle scienze di Torino, vol. XXIII, Parte I, p. 259-294, 1818).
Borpon. — Sull’ equilibrio astratto delle volte (Memorie di Matématica e di Fisica della Società Italiana delle Scienze, residente in Modena, 19, p. 155-186, 1821); Memorie dell’ I. R. Istituto Lombardo di Scienze, Lettere ed Arti, 9, p. 126-142, 1863 ; Sulla stabilità e l’equilibrio di un terrapieno (Memorie di Matematica et di Fisica della Società Italiana delle Scienze, residente in Modena, 24, p. 55-112, 1850); Considerazioni sulle svolte delle strade (Memorie dell’ I. R. Istituto Lombardo di Scienze. Lettere ed Arti, 9, p. 143-154, 1863).
Mossorri. — Leziôni di Meccanica razionale, Firenze, 1857.
Brioscai. — Inlorno ad alcuni punti della teorica delle superficie (Annali di Tortolini, 3, p. 293-321, 1852).
Jeccerr. — On the properties of inextensible surfaces (Transactions of the Royal Irish Academy, 22, p. 343-378, 1853).
Mainarni. — Note che risquardano alcuni argomenti della Meccanica razionale ed applicata (Giornale dell I. R. Istituto Lombardo di Scicnze, Lettere ed Arti, 8, p. 304- 308, 1856).
Lecornu. — Sur l'équilibre des surfaces flexibles et inextensibles (C. R., 914, p. 809- 812, 1880 ; Journal de l'Ecole Polytechnique, 48° cahier, p. 1-109, 1880).
BELrraMI. — Sull’ equilibrio delle superficie flessibili ed inestendibili (Memorie della Academia delle Scienze dell’ Istituto di Bologna, Série 4, S, p. 217-265, 1882).
Kôrrer. — Ueber das Gleichgewicht biegsamer unausdehnbarer Flächen, Inaugural Dissertation, Halle, 6 février 1883 ; Andwendung der Abelschen Functionen auf ein Problem der Statik biegsamer unausdehnbarer Flächen (Journal für die reine und angewandte Mathematik, 403, p. 44-74, 1888).
Morera. — Sull equilibrio delle superficie flessibili ed inestendibili (Atti della Reale Accademia dei Lincei, Transunti, Série 3, 7, p. 268-270, 1883).
VozrErra. — Sul! equilibrio delle superficie flessibili ed inestendibili. Nota I et Nota II (Atti della R. Acc. dei Lincei. Transunti, Série 3, 8, p. 214-217, 244-246, 1884); Sulla deformazione delle superficie flessibili ed inestendibili (Atti della R. Accad. dei Lincei, Rendiconti, Série 4, 4, p. 274-278, 1885).
Maccr. — Sull” equilibrio delle superficie flessibili ed inestendibili (Rendiconti del R. Istituto Lombardo di Sciense ed Lettere, Série 2, 17, p. 683-694, 1884).
Parova. — Ricerche sull equilibrio delle superficie flessibili e inestendibili, Nota I et Nota II (Atti della R. Acc. dei Lincei, Rendiconti, Série 4, 4, p. 269-274, 306-309, 1885).
Pexxaccmierrr. — Sull equilibrio delle superficie flessibili e inestendibili (Palermo Rend., 9, p. 87-95, 1895). Sulle equazioni di equilibrio delle superficie flessibili e inestendibili (Atti Acc. Gioenia (4), 8, 1895), Sulla integrazione dell’ equazioni di equilibrio delle superficie flessibili e inestendibili (Atti Acc. Gioenia, (4), 8, 1895).
RaxHMAMNOV. — Equilibre d’une surface flexible inextensible (en russe). (Recueil de la Soc, math. de Moscou, 49, p. 110-181, 1895).
Leconxu. — Sur l'équilibre d’une enveloppe ellipsoïdale (Comptes rendus, 422, p. 218- 220, 1896 ; Annales de l'Ecole normale supérieure (3), 47, P- 501-539, 1900.
De Francesco, — Sul moto di un filo et sull’ equilibrio di una superficie flessibile ed inestendibile, Napoli Rend., (3), 9, p. 227, 1903 ; Napoli Atli (2), 42, 1905.
45. La surface déformable obtenue en supposant que M: est normal à la surface (M). — Nous nous proposons d'introduire la condition que Mz' est normal à la surface (M) ; nous pouvons concevoir cette introduction, soit en partant de la surface déformable précédemment définie, et en étudiant les seules déformations de cette surface qui vérifient les conditions
soit en définissant une nouvelle surface déformable, dont on développera la théorie, par analogie avec celle de la première, mais en ayant égard aux conditions (42).
Plaçons-nous au premier point de vue et étudions les déformations de (M) qui vérifient les conditions (42) ; supposons en outre (!), en vue de l'étude de la déformation infiniment petite et afin de pouvoir former une suite continue de surfaces à partir de (M), que l’on a &(9) — &(9) — o.
Il suffit d'introduire les hypothèses (42) dans les formules des $$S 34 et suivants, pour obtenir les expressions des différents éléments qui figurent dans la théorie. Inversement, si on nous donne, pour fixer les idées, les forces et moments extérieurs, on devra adjoindre aux six équations qui résultent de cette donnée, les deux équations (42), ce qui montre que si la fonction W, qui sert de point de départ, est donnée, on ne pourra pas se donner arbitrairement les forces et moments extérieurs.
Mais observons qu’en limitant l'étude des déformations à celles qui vérifient les (42), nous avons surtout en vue de constituer une surface particulière ; nous sommes donc amenés, en suivant cette idée, à distinguer trois cas : r. la fonction W est cachée, et nous ne connaissons que la fonction W, relative aux déformations particulières mises en évidence et constituée avec les éléments essentiels de ces déformations ; 2. la fonction W étant encore cachée, (c’est-à-dire non donnée), nous connaissons des relations (différentielles, par exemple), qui relient W, et les traces (ici trois fonctions) de la fonction W ; 3. la fonction W étant toujours cachée, nous connaissons, partiellement ou totalement, les fonctions qui nous rappellent l'existence de W.
Développons cette indication, en entrant dans le détail des calculs. Par le fait des conditions (42), le trièdre, au lieu de dépendre des six paramètres æ, Y, Z 15 Ro, Às, ne dépend plus que de quatre paramètres, par exemple x, y, z, m, en désignant par m l'angle défini par la formule :
n1 HUE
qui représente un des angles faits par l'axe Mx’ avec la courbe (p.) de (M). Désignons par A2, A, A9) les déterminants définis par l'identité que nous avons écrite au $ 38, page 1042, qui ne dépendent que des dérivées de x,
(‘) Les conditions &(9) = &(9) — o peuvent être omises dans notre exposition actuelle et ne figureront en somme que dans l’étude de la déformation infiniment petite.
y, zet sont indépendants de m et de ses dérivées ; rappelons en outre les formules du même paragraphe (symboles de CHRISTOFFEL\ :
ê d FE dS4 dP1 nd 2 A? ; nn Lu DS dpa tes, 2 2 A?
et, d’après les conventions faites,
—= Eine + anse
On a, pour déterminer les rotations Ps, Qi l'a» Par Qas Far les formules suivantes (*) :
pi = 42 — 69, qi = m2 — 9,
P2= t19" A ED, Q2 — 112" Cr n29), ne om , ZA,
He Se Fo — &
Les translations se calculent au préalable par le système :
F — tg m, f° + n? = 6, AS + me = #, + ri — G- Les translations, on le voit, s'expriment au moyen de m et des dérivées premières de æ, y, z ; les rotations Pi, q1, Pa, g» s'expriment au moyen de m et des dérivées premières et secondes de x, y, z; enfin les rotations ri, r2 s'expriment au moyen des dérivées de m et des dérivées premières et secondes de x, y, z.
Si l’on porte ces valeurs, dans la fonction obtenue en faisant & — & — 0 dans W, fonction que nous allons désigner, pour éviter toute confusion. par W°, nous obtenons la fonction W, de P;, P2, m, a de x, y, z et de
LD Ï ù
leurs dérivées premières et secondes, qui dépend par suite des expressions m, om ve ss ° :
“—, .… par l'intermédiaire des neuf expressions indépendantes :
dpP1 m, 6. F, G; Ti T2 ?, D 2.
ou ce qui revient au même, des neuf expressions indépendantes Ë,, n,, Ë», +, Fred, DEP.
Désignons par W\,' la fonction de ces neuf dernières quantités qui, après substitution de leurs valeurs, donne W, ; W,' résulte de W° par la substitution de p1, Qi Pas Q2
Nous avons une fonction W;' qui, en dehors de p;, p> renferme les neuf arguments qui viennent d’être énumérés, alors que W, en dehors de p4, p2, &1, Ÿ», renfermait les dix arguments &,, n1, Ex, no, Pa, Qu» l'a, Pa, Qas ra.
() M. Darsoux, Leçons, T. IL, p. 363, p. 378-379, n°° 495 et 503 donne des formules identiques ou équivalentes ; nous représentons par A°®, A2), A2q) les quantités que M. Dansoux désigne par D, D’, D”,
LA SURFACE DÉFORMABLE 107 Nous devons nous arrêter sur ce point important qui, en définitive, résulte de la considération de l’une des équations auxquelles M. Darporx donne le nom d'équations de Copazzi, savoir Pate — Qi2 — pans + 2 — 0, et étudier les équations de la statique de la surface déformable, dans le cas où nous nous plaçons. 1 La fonction W,' se déduisant de W® par la substitution des valeurs de. Pi. is P2, 2 Pa = t1D' — 9, di = ND — 129, Pr: = 4129" — ED, = nŸ — n39, il en résulte que l’on a :
We Le y We We 3We oWe We dË1 251 dPi dpP>2 £ 252 252 2P1 dP2 AN ON row: ao 2W;' ___oW° on? dus oVV° q CR ST be er on an où ER 2W,' oW° 2W,;' 2W° OP me orpe dr2 dr> 2Ws'u. <oW° aW° 2W,! oW° aW° SDÉTLES “op £2 2qi N2» 39" $1 2p n1 32 2W,!__, aW° aW° NP ON ESA = fi pr + ap; soi A Na 0
en continuant de désigner par W° le résultat de la substitution de p:, p:, q1, a.
Supposons qu'on introduise, dans ces formules, les expressions des lettres
au moyen de m, F … et que l’on tienne compte des (42). Observons que les formules oW cent C': — À, ->ne permettront pas de calculer C;/, C>' si W est caché, car il faut tenir compte des (42); mais les autres formules donneront les autres expressions 1’, .…, au moyen des valeurs des dérivées de W°: on a, en effet, par exemple : k sai ‘aW __oW?° Ft Les neuf formules que nous venons d'écrire donnent donc actuellement :
W ’ À, —=A/+®P;/+2P;, A, ER — A; — DP,;' — DP:, W 1 A, QuF = B;' Ste D'Q;' LE D'Q}, À, . TT. B; — DQ;' DE DQ:', QUE 2 2oW oW, LR.
0 Lu a, Lo, à aW !
A 2 = — EP — QU, A ne = EP + iQ B ae = Pi + mQ: — Ps — n2Q7,
où nous mettons W, au lieu de W,' pour indiquer que l’on doit remplacer les arguments £;, ..... D" par leurs valeurs en fonction de m, D Re
Nous n’avons plus, pour calculer les dix auxiliaires A;', …, autres que CG; C:', que neuf équations, lorsque la fonction W, est seule connue ; il restera donc, en définitive, lorsque W, sera seul connu, trois arbitraires.
Pour étudier le système des équations de la statique de la surface déformable, appliquons au trièdre Mr’y'z' les formules relatives autrièdre Mx'"y,'2;",
dans lesquelles figurent les auxiliaires définies par les formules :
J:’ = A + AoB1'; D,’ = EA,/ SF 5.B;!,
R,' —= 61 A1 ae n1B:', Be! = A," ce mB;', et par les quatre analogues pour £;, 9,', &,', 9,': les neuf formules précédentes s’écrivent :
a (ere +n ne J=m+92 +98, À per Eros Te ) = 9%, —92), aie INCALE + ne )=8. /+99,/+99,, ae 1. Dr) 1 99, —99,, oW al ; À ar, AE Ao ds R;’, W, F M ; ne dore, as
Considérons les six équations d'équilibre données au 8 38 ; les deux premières du second groupe donnent AC,' et AC:! :
AC,'— ee +585) 0,9, 09) APR, —ATR, AL) + mM,') —AC, = er a CA —5,®,—0,9, 18,9, — — ADR; ADR, — A, (EL, +n,M,)
Porto ces valeurs dans les trois équations du premier groupe ; écrivons la troisième équation du second groupe, et il nous reste le système :
Den Cu + DR DR) + PAU, — 9e.) + D — 97 —+- ? si +9 (2 —L3)—2(%, +92,/+92) —2(M)—D2,—92)
—e,(B" +992, NT ete )+2(229 595,92) — (8,D — 2 8,9 + 8,9") (9,' — E>)— A(DD' — D?')R,' —A, (EX + reYo!) + AoŸ (&Lo’ + n2M,') — AD (iLs' + n,M;') — 0,
= 0) , M ne) re) U on = PQ, + D 9.) + a: (B' — 2? —— d9,') +9 re (2,' se 8)
n A y / Hg Elo Ro —E (UHR +D'E) EDR DE) —0,(8,/+09,+90/)—6,(8/ —D9;—29;)+a(—18,9 +8, 9'-+6,9)9, (25,9 — 2,9" —2,9)(9,/— 0) + ADD — DR) — A (EX Y,/) + 409 (Lo + 72M)— AD (EL, + n,M) — 0,
Y=! (Qi) 08; @i+222®) Eof) 52 api 21 02 dp A ppt a & à
SE . 2 (Rs! + DE + DE) + ST e on (B1! + DD + #9) rie Fe (ou = 98, — ve, + 9 IT (a; — 20, — 997)
Los 2 2 .
CEA (PR + DPR;) + 3 (PR; + DR) — 3 [4 (Lo + M | —- £ on E LEZ M, !
3% a Elo + 0) | — AoZ0 —= 0, — 2R;' oR> & !
Honor re a (Jos! + DEL, + DE) z / !
+ KL -02 9 8 —(81 +001 + 90,)- 4 (B/—D2/—-D 2) AN —0, en remarquant, pour la formation des trois premières équations, que les équations de Copazz sont, avec nos notations actuelles (!),
dD do
— — — D — 2 5,9) — Ée v + 2D — 229 + 2,9 — 0, 2 oŸ ; ;
