LS

en désignant par % l'expression formée uniquement au moyen de 6, #, G et de leurs dérivées premières et secondes, qui représente la courbure totale de la surface, et en remarquant aussi que

à log À à log A ——. — 8 Z ——2— — 8; D 2P 1 + 2 3P2 2 + 239 ; À 2° log À et que, par suite, en égalant les deux valeurs de D— , dP10P2 6 01 __ 22 25 dP1 dP2 dP2 dP1 ou 2 2 do Z ( o 6: e) &) I (ee 28: ) — EE — = —— = — —< — — — 0,7, 8,2 dps À op1 À 20 À 2P1 À A\dpy 22 LA Si | 1/02 oz: ) | Jetbs, +0, ).

A dP4 UE

(t) Ces équations se déduisent immédiatement de celles données T. III, p. 246, 248, des Leçons de M. Dansoux, en effectuant le changement de notations et en observant que

olA 6, +15, CEA 6, +5.

dP1 dP2

4€. Réduction du système du $ précédent à une forme analogue à celle qui se présente dans le calcul des variations. — Il résulte du calcul précédent, ce qui est aussi une conséquence a priori des considérations habituelles au calcul des variations, lorsque les expressions des forces et des moments extérieurs ont des formes données particulières, que les auxiliaires A:',..., ou, ce qui revient au même, les auxiliaires %;',..., s'éliminent toutes quoique leur nombre soit supérieur d’une unité à celui des équations.

Nous allons mettre les équations, résultant de cette élimination, sous la forme que l’on pourrait déduire du calcul des variations, dans le cas où les expressions des forces et moments extérieurs sont données sous une forme particulière.

Commencons par remplacer dans W, les arguments E,, n,, £:, n2en fonction des arguments m, 8, 3, G, par leurs expressions déduites des formules :

E =tem, E + n°? — 8, EiËa + nine = F, EE +n — 6) auxquelles nous adjoignons la formule déjà utilisée : EaTo — Es = À,

qui ne fait que préciser le signe de E:, 12.

Nous déduisons de là :

= g À & = VE cos m 9 = —— COS M — —— sin M 1 ’ Ë ve VE ’ n1 = VE sin m, nos m + 2e m,

en désignant par V& une détermination du radical. En désignant, pour un instant, par [W,] la fonction de p,, ç2 et de m, 8 F, G ra re, D, D, D ainsi obtenue, nous avons les relations :

AW,]7 (2 W,,. oW, 2) 1/,.0Ws, WW, G [;oW oW 6 —2@\t: NA T4 dm: a 22 Fe on )a(e = L, ).

W,]1 ( 2W, ,;2oW,

” # dË2 12 d2 }

26 —2A dÉs /?

ol W oW oW oW oW pi o] + ns + — ns — 0 om CU ab: or, 2$2

Posons, pour abréger l’écriture, = di + DE, + pe, aÿ — Jos — DE; — DE, b' — 8; + #9, + po,, b! = B — D9,' — 99,';

nous avons les relations :

: 2Wodd) |, (Wal) (WA) >(WA) PAR Lo van am à D 5 een

à (WA) o(W;4) va o(W,A o(W,A) BD ds pe 200) 4 9, 2e) Lo,

d'où nous déduisons les expressions suivantes des dérivées de (Woo) :

2(Wo4o) __ mb — ma 2(Wos) mobi — aa A

2(WoAo) __ Ei@i! — Exbs 2(Wodo) : ta! — Eb, 9% À é CA Pari A .

qui nous permettront de calculer, au moyen de a;’, b,', a;/, b;!, les différentes combinaisons formées avec les dérivées de (WoAs). Nous obtenons ainsi :

A 2EWo]l__ G ÿ 8 g2 JC.

A et — gui + Ea(— u+qa)=z RU HER — 5 EAs02 [W g En a[ W DR ae — En, o[W 6 ,; 4 ; RNCS + Ya! —b)—$07,

d’où l’on déduit :

A 'TW As F a! — # à, St + 99A, À Vo] + GA LM b' — 264 sW + À, a ; a; — AA, % “aa 4. et :

D SAX, 8° Na ah Le ï de sorte que, si nous désignons par W, la fonction [W,}, les dix auxiliaires autres que C;’, C;/ sont définies par les neuf formules suivantes :

à 2(Wo) | ,g 2(WoB9) + ç 204), om à:

Ji’ + p'æ,' —+ DE! = g

Bi + DO, + DO) — 28 nt 20%, a) Ô

2 (Woo)

, W,A M — 98! — 92 Ag Aer 2 (WoAo) dG

B; — DO, — DO) — A 6 Ne) re oW, À oW,

GY== 2 —= 5 ET» 9 or,

Cj— A

Définissons les cosinus directeurs y, y’, y” de la normale M7 à (M) par les formules :

1 d(y,2) tres 1 2(2,x) ot)

A à (04, Pa)” mr (ps P2)” 7 A D(P1, Po)

Nous avons d’abord l'identité suivante, dans laquelle nous introduisons, au lieu des dérivées de W,, les notations que nous venons d'indiquer à l'instant,

2°? d (Wo Bo) | 2? 2(WoAo) | d? (Woo) Lu d(WsA5) La 2(WoAo) 0)

221? ox TEE CRE F3 d?x d2:; 2x - 229 dx n) 1 3— FIRE NS 2 dP10P2 2? d?1 22 mé ee HET »#(ïe,) »[t 2, —2,)| » (12 + 2Wode) (42: AE Pa) 2° 2x 2p? DP10P2 2p?

CHA GT dx LT d 40 d?9 21: 2 d?2 d1n1 +— C — ee C d?1/ 231 8 ; dP2 £6A /

AU À. b;' Fa; FG 2 ( Fax 4) dT CT me EE

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