RE = Le (Qi — 22) + —— TX dP2 d
Pour obtenir cette identité, sous la forme que nous venons d'écrire, nous avons utilisé les relations{!) ;
26 26 3: = 9 (88; + FS;), EFA = 2(68: —+ FE), REX. OU dF 26 TT a MNT TPE li ent eil : dG 5 = 2(90; + GS), Lè — 2 (F8; + GE),
qui, résolues, donnent les valeurs des symboles de CuriSTOrrEL Xi, Xo, 23, 81, @, 63, ou inversement les valeurs des six dérivées de 8, #, G, et permet-
1 : ; LR log À L (‘) Nous avons aussi continué à utiliser à 5 = 6, + 2, : Fe Fe = 8: + 53.
tent d'éliminer ces dérivées de 8, 3, G; nous avons aussi utilisé les relations (!) :
0) — ZE, — L) np ie Ge ART d?x dx à = 0, — SANS } Av 9271999 ? 29, + 23 + T'Ay, d?x ox dx j ba 0 2 FX
qui permettent d'éliminer les dérivées secondes de x, y, z et qui donnent lieu à deux séries de formules analogues obtenues en remplaçant x, Y par y, y etz, Y’, les cosinus directeurs y!, y” étant définis par des formules qui se déduisent par permutation circulaire de celle relative à y.
Considérons les différentes expressions qui se sont présentées dans le calcul précédent.
Soit d’abord ZA ere 26 8 dF = g 28 or, " CE à 292 CERN 291 dx dx dT 2A6 dpi Pi di RC RE ie 2AZ;ox Z:
25e 5 ( dt a PART DPAdPi 2OPodPI OP 7 63 2p1 A6\7on ‘ox AË
CHA LE GSN— dr 2 PLUG) ps ES E TE
7 6? op AB\S2n 22% A8 d on a d'autre part gg do Ç de or Gr Ç0e que D OP OP DPidPr prop POP | Of Da ea 8(0, +s)+ ] AE ÂE AE? m4 (68, + FE &(e 7 22 + gay) — 2 (70,+G+68+95) 705 oo e DRE RE dpi . BE
A6 reg 0e
d’où résulte :
5,A CPE
& rater A dy LISTE
(:) Dansocx. — Leçons, T. IL, n° 702, p. 251.
On a de même
Le Ë e 2G ‘G 28 sde 2 A Su AU n de tor 2x 2A6 20! è21 CERN : dx dG 1 ox 8 g d?x ___ 2Z2Aeèr =, ( 2 Lot 201 21 2 dpi 00 2P,092 x à 6? à A8 ÿ 291 +) AË h 2150 © (88,+F5,)-Fre (Ç 2) ETAIENT Fe (64 op ET 0: rer AE mais d'autre part 27 __Lox|E 26 2x DT dF 0x DT "02 dx e E——5 ——— ——$%$ TE D D 292 dpi prop ‘207 pros DPAdPo dps pi | 8(82+ Es) + 22 Aë pr A6 ce A6? ; , d?x 2 ROLE Ce +35 =. +9'A de (88:+F53+F0:+G2)—F AT + A8 CE 292 di gg À (6 (0: + 23) + 2(88, + F2)], d’où résulte Z2A dt dx 8 Di one :
NS, a CEA d22 A6 Y dP1 On a encore :
AZ; 28 a NS :
= eee DR eut ë U d92 221 291 dE Cas Co 26 002 d22 222 d?x 1 ox 26 D Ne ie RL CL JL 25f 2 ps > A6 | on dpi : 8(e, A 7. PAT) (E@:+5:) — — 1 (e CE = Te Su LR "5 —Ÿ Fa LE 299 221 AG ati d Aë;, £ 2G 26 des : 8 9 d?1 d£2 3 2x dT 2A8 092 d92 d92 g dr __1 ox 26 Ex ( 52) J DPidp2 2 Dps 269 FRA dP2 2: A6 dx dx rA 27 .
Tes 2e —T(88,+35, Dies: mor are Ÿ) a ORES Dre 7 A6\ 5% ‘ap A8 rare.
Modifions l'identité que nous avons obtenue et qui nous en donnera deux analogues en remplaçant x, ÿ par y, Y, puis par z, y”.
Nous allons développer les parenthèses de façon à mettre en évidence les premiers membres des équations de la statique de;la surface déformable, abstraction faite des forces ; nous utiliserons à cet effet les relations (1) :
dy __ FD —GDox FD — ED dx
3P1 2p1 A op oY __FD'—GD'ox FD — D dx Po À TT d21 À d92
qui donnent lieu à deux systèmes analogues obtenus en remplaçant x, y par y, x puis par z, y”, et qui entraînent :
À JD —GDor D—E6D or +.
SPA LE te A? 397 À (ge
JD—GD ox ID—EV ox + Es SN D IUT eo Al
Fr. œ Ge æ je Fa EN dy nn É dP1 221 dP2 O1 + 2 de 1? À? A?
Sir œ Ge x Ç% pe OP go dat res
Nous arrivons ainsi à constater que, si l’on désigne par U:, U,, V, W les premiers membres des équations de la statique de la surface déformable, l'expression que nous venons de considérer reproduit tous les termes indépendants des forces et moments extérieurs, qui figurent dans :
Le changement de x, y, en y, y’, puis en z, y” donne deux résultats analogues. D'autre part, l'équation W— o s'écrit :
d04 227 dP2 à om op: dp2
2 (WA) h. 9 2(Wo4o) 2 (Woo) + AN; = 0.
om
\1) Darsoux. — Leçons, T. III, n° 698, p. 244-245.
On voit donc que si l'on pose :
RE = o A dx dy CR Ra: 291 À Bot AoX + À | r 99 (1,2 + ME + N, 5) 5 Mk
l À, LE en æ)].
mr" [: À (Le op, Map, Nez,
et deux formules analogues obtenues en remplaçant %,, X,, x, y respective-
; ox ment par %,, Y,, y, Y, puis par 5, Zo, 2, Ÿ’ (en dehors de L, NE. et
de L, e + …), les équations de la statique de la surface déformable peuvent
se résumer dans la relation suivante ({) :
[frovearde + [faste + YÈy + F0: — Nj'Èm)dpidoe = 0,
où l’on n’a égard qu'aux termes qui, finalement, se présentent sous le signe d’intégrale double.
Le résultat précédent peut se généraliser ; supposons qu’on exprime &, M1 &, n2 en fonction de m, 8, #, G par les formules :
> & — V8 cos (m + u), Een nn ne onto) VE VE : F . A nm=Vésin(m+u), n,—= <= sin (m + u) + — cos (m + u), Ve "Ve où u désigne une fonction quelconque des seules lettres 8, #, G ; l'équation A — o peut encore s’écrire :
2 2(Wo4o) | 2 2(WoAo) 2(WoAo) | AN, — 0 op om 2} OM om dPi dP2 En formant la combinaison MR Mu ENS 0e à 32 à 5 EN = ( x 2U, Pa x3 Pa U, | RCE NE | No. 292 dP, ou 2 ou en) A6 x : +) se dP1 dPa
| (*) Cette relation est analogue à la formule de !(ÔT + U'jdt = o que Tisseram donne p. 4 du T. I de son Traité de Mécanique céleste, pour le principe d’Haizron
et les deux analogues obtenues en remplaçant x, ÿ par y, y’, puis par z, Y’, on trouve trois équations dont la première est :
à Woo) 2? (WA), 2° a(W,A,) à a(W,As) à (WA)
Di 0m | prop DR of of om a op 2e ‘00
3 312: 3 ° 2er Lo
en posant :
dx g dx | A ox à 2z ou 0 Do AB —A,X, + > æ( 2x ay ou ___ 2P2s 7 op A 0%0— À Cd YA ne ue. ae 2e RE AN dP4 __2è{(.,4 dX ay dY 2z au ; mr (re +M + N À) — 5œ AoNo :
dP2
es quatre équations peuvent se résumer dans
JT. {5(W;A) + Ao( x + Yôy + Eoôz — N,'ôm) È doide; — 0, So
où l’on n’a égard qu'aux termes qui, finalement, se présentent sous le signe d’intégrale double.
La forme résumée à laquelle on vient de parvenir, et qui doit être traitée suivant les règles du calcul des variations, est particulièrement commode pour effectuer les changements de variables.
En supposant les expressions %,, 4,, 3,, N,' de forme particulière, on aura les équations des extrémales d’un problème du calcul des variations.
Plaçons-nous dans le cas particulier (*) où W,A, ne dépend pas de r;, r; et ne dépend de &,, &, n1, n2 que par l'intermédiaire de 8, #, G ; ceci revient à dire que l'expression finale de W,A, ne dépend pas de m, EE . est une fonction de p;, p2 et des six fonctions
des dérivées premières et secondes de x, y, z.
Supposons en outre que N,' = o; si %, Yo &, ne dépendent pas de m, nous avons finalement trois équations relatives seulement à x, y, z, qui peuvent se résumer dans la formule :
1h di S(Wo4o) dPidpe + JE A (Bd + Voèy + F08:)dPidps — 0. Co Co
(1) Ce qui va suivre peut s'appliquer aussi au cas où W,A, est quelconque ; l’hypothèse essentielle est celle faite sur L,, M,, N,; on pourra aussi envisager le cas où W,A, est du premier degré par rapport à ri, r», les coefficients de ces derniers étant constants ou plus généralement indépendants respectivement de p2 et de p1.
Dans le cas particulier où, U désignant une fonction de p,, p: et de x, y,7, Y e FAIRE y", on a en outre :
7 As 2(Ps, a) oU oU oU A Tate 0. dy 02 oU A oU oA oU 34 D: ABC VE DE EE | dÿ2 dP9 d?2
y m2 fe A oU o4 oÙ oA Lo + Mo + No FRE o7 y NES , dP1 dP4 dP:
Liy + Moy! + Noy” = 0, on a alors :
AR __ a(UA;) à a(UA;) 2 Ua) Et dt oTAERon 2 | 3 , 3&-? d?1 dP2
et deux formules analogues, et on obtient les trois équations des extrémales
relatives à l'intégrale Je AWo + Ujdpide: ;
les formules précédentes reviennent à poser :
y oU ro L=7Y ET 57!
oU oU M, — Y dy son ay , aU aU No = + 2Y —Ÿ ER " 2Y tout ceci résulte de ce que y, y’, y’ vérifient les systèmes suivants définissant une fonction F de 22, 2} AU __ dP1 dP1 292 oF aF aF 2F aF aF 3 dy dZz 3 2 ay 2z D 2 Mme dt D LE An met | Y F4 v ere \" ’ Y — y — y °
Un cas particulier intéressant du précédent est celui dans lequel l'expression AW : | à *, lorsqu'on prend x et y comme variables, ne dépend, en outre de x, y,
que des dérivées de z par rapport à x, y; il est facile de trouver la forme de W:.
Observons que les deux expressions
dx? + dy? + de?, — (dydx + dy'dy + dy"d)
peuvent s’écrire Edp? + 2Fdpidps + Gdoi, A(Ddp? + 2Ddpidps + D'de?),
d'où résulte que, en vertu des formules :
de = : dpi + g. Pas
dy = PE go. dPs + 2 7 dPas on a les identités
6def + 2Fdpidps + Gdpè = (1 + p’)de? + apqdxdy + (1 + q°)dy?
A(Dd?? + 29 doidp: + D'dp?) — Heure (rdx? + 2sdxdy + idy?). I + p° +
D'après la théorie des invariants des formes quadratiques, on a :
gr (+r + [en ,
d(P1, p2) ga — pr "ts [e(zy) A (DD æ?) TROT + D? Cm q° É AE
2r + (1 + pt — 2pqs [ a(x, y) |?
A0) D SD 270) ur EMpitEe spqs Ra(s, y) (ED + 279) vi + p? + q? Éceal
et par suite, en passant aux invariants absolus,
