DD — PP

GD + 8D — 2FD (1 + gr — apgs + (1 + p'} à == $ Ê À (GES Ps à LS Nous retrouvons les deux expressions bien connues de la courbure totale et

de la courbure moyenne. Le cas que nous avions en vue est donc celui dans

lequel De est une fonction + de p1, p et des deux expressions :

LAN 1 1 GD + 69 — 23 D en Cat a À ,

où R4 et Ra désignent les rayons de courbure principaux. La formule, qui résume les équations de la statique de la surface déformable, s'écrit, en prenant x, y comme variables :

à [f+ Vi +p?+q? dxdy + ff (M Èz+UYIy +Zoôz) Vi+p?+ 09° dxdy—0. La fonction sous le signe j ile dans la seconde intégrale est :

Dia Sp EU 2} Pa +36 Fe. Ye D ee + Be LI + +4,

et par conséquent les équations du problème seront, puisque + ne renferme pas les dérivées de p;, Ps,

ee Vitp+g), __ ooevi+p+g), ox? or ay 2q

BRUIT FT 0, CAN Parme meme | 2x AE RP AE + p +9) + (as, © a CT a Vi +P arr , doit Ca 2 DC CRETE RE MIRE +95 + (s60 2€ +0 av P 1

Supposons, en particulier, que e ne dépende pas de p,, p2 et dépende uni-

| 0 PPhenr £

quement de Re et de A : il vient les équations : A UETET) al ee agir af Éyx Me ET Het a VIi+p +9 B—=0,

%L == O, Vo = ©.

On peut écrire :

- re O A 2 À a(x,y) , A — & XVI HP +, [+ F4 (Ls+-Nop)| ne [ + (Mo+-Ng) |

x 2(P1:P2) A 2f ,A o [A 3(cY),

Aio= fx Yo mn ECC EE RENUEA TITI SS À af ,A o F ,À Len) .

A0 = Fan 20 | 2} [r FX (Lo+-Np)] ss 2x [r A (Moon) | 2(P1,P2)

Nous pouvons combiner les deux équations %, — 0, Ÿ — 0, avec celle qui . les précèdent ; par exemple, nous pouvons nous arranger de façon à introduire la combinaison Y%, + Y"Uo + Yo, en prenant :

EST) OR à VI PE 9 2 (160 1 Yo+Y'T) =.

Si les données sont convenables, dans l’équation que nous venons d'écrire ou dans telle autre combinaison, p;, p pourront ne plus apparaître, et on

aura ainsi, par l'équation précédente, une équation relative à la surface, les équations

%o = 0, Vo — 0 servant à définir p;, p, en fonction de x, y (ou inversement) et pouvant être laissées de côté, si on fait abstraction de l’état naturel. Considérons le cas particulier, dans lequel la fonction + est une fonction

linéaire à coefficients constants par rapport à ( + x) et à z a , C'est-àdire une fonction de la forme

L 1 \? 1 A(a +2) +8 +0 où À, B, C sont des constantes. La constante B disparaît de la question, d'après une remarque faite d'abord par Poisson, dans son mémoire sur les

surfaces élastiques (!), puis reprise et généralisée par Ocnpe Ropriques (2), et, dans le cas où toutes les forces extérieures sont nulles, nous résumons l’équation de la question dans

1 D? —— ——— de LR St [+ vi FPE dep + @ [| V1 + p? + q° dxdy — 0,

ce qui est alors la conclusion à laquelle Poisson est arrivé dans ses recherches.

Observons, en terminant, que les développements généraux de ce paragraphe conduisent facilement, par la considération de la déformation infiniment petite, aux théories de Taomson et Tair (*) et de Lorn Rayzereu (*); nous laissons au lecteur le soin de faire ce rapprochement et d'étudier en détail le cas (*) où ils se sont placés.

47. Dynamique de la ligne déformable. — La dynamique de la ligne déformable se rattache à l’exposition précédente, où il suffit de regarder l’un des paramètres, p, par exemple, comme le temps {; on a alors une action simultanée de déformation et de mouvement. Sous l’influence du trièdre, la vitesse d'un point de la ligne déformable entre dans W par les trois arguments &,, 7, +, et l’on se trouve en présence de la notion d’anisotropie cinétique déjà envisagée par Rankie, et qui s’est introduite depuis dans plusieurs théories de la Physique, dans la théorie de la double réfraction et dans celle de la polarisation rotatoire, par exemple.

Même si W est indépendant des rotations et conduit à des moments extérieurs nuls, l'argument de pure déformation £? + n? + ©? et l'argument

?2+ n? + C?sont généralement accompagnés de l'argument E,ë, + nina + Gibar un tel genre d’argument n'est pas non plus nouveau dans la Mécanique et apparaît notamment, comme nous le montrerons plus loin, dans la théorie des forces à distance.

Quand W ne contient pas l'argument mixte &,£, + ni%3 + Cia, il faut, en général, considérer l’état de déformation et de mouvement infiniment voisin de l’état naturel, pour se trouver dans le cas de la Mécanique classique, où l'action de déformation se sépare complètement de l'action cinétique. On obtient alors le principe de »’Azemserr en supposant la force extérieure et le moment extérieur nuls, c’est-à-dire en exprimant que la ligne déformable n’est soumise à

(1) Poisson. — Mémoire sur les surfaces élastiques, lu le 1°* août 1814 (Mémoires de la Classe des Sciences mathématiques et physiques de l’Institut de France, année 1812, seconde Partie, p. 167-225); un extrait de ce mémoire a d’abord paru dans le Bulletin de la Société Philomatique, puis dans la Correspondance sur l'Ecole Polytechnique, T. II, p. 154-159, 1815.

(2) Ronmieuss. — Recherches sur la théorie analytique des lignes et des rayons de courbure des surfaces et sur la transformation d’une classe d’intégrales doubles, qui ont un rapport direct avec les formules de cette théorie. Correspondance sur l'Ecole Polytechnique, T. IL, p. 162-182, 1815 ; voir en particulier p. 173 et suiv..

(3) Taowson Er Tair. — Treatise, Part. II, n° 644.

(4) Loro Rayzriem. — Theory of Sound, vol, I, 2° édit., 1894, p. 852.

(5) Il s’agit de la déformation infiniment petite d’une surface primitivement plane.

aucune action du monde extérieur, et en introduisant, par suite, la notion fondamentale de système isolé, dont nous avons parlé au début de cette note.

La dynamique de la surface déformable pourra s'établir de la même manière, au moyen de la théorie du milieu déformable à trois dimensions, que nous allons maintenant exposer.