IV.— STATIQUE ET DYNAMIQUE DU MILIEU DÉFORMABLE
48. Milieu déformable. Etat naturel et état déformé. — Les théories de la ligne déformable et de la surface déformable que nous venons de faire connaître conduisent d’une manière très naturelle à envisager un milieu déformable plus général que celui considéré habituellement dans la théorie de l’élasticité, qui nous paraît atteindre le but qu'ont poursuivi Lorp KeLviN et Hecuuorrz dans les théories de la lumière et du magnétisme.
Considérons un espace (M) décrit par un point M,, dont les coordonnées sont To, Yo par rapport à trois axes rectangulaires fixes Ox, Oy, Oz : nous pourrions regarder ces coordonnées comme des fonctions de trois paramètres Pi» Par PA Choisis d’une manière quelconque ; mais, pour simplifier, nous supposerons que ces coordonnées sont prises pour variables indépendantes. Adjoïgnons à chaque point M, de l’espace (M) un trièdre trirectangle dont les axes Mr, Miys, Moziont, par rapport aux axes Ox, Oy, Oz des cosinus directeurs qui sont respectivement 4ç, «4, «5 ; Bo, 86, Bo ; Yo, Yo Yo, et qui sont des fonctions des variables indépendantes x, Yo, 20-
L'ensemble continu à-trois dimensions de tels trièdres M,x,/yo'z," sera ce que nous appellerons un milieu déformable.
Donnons au point M, un déplacement M,M ; soient x, y, z les coordonnées du point M par rapport au trièdre fixe Oxyz. Imprimons en outre au trièdre M,xo Yo 20 Une rotation, qui amènera finalement ses axes à être ceux d'un trièdre Mx'y'z! que nous adjoindrons au point M ; nous définirons cette rotation eni nousj donnant, par rapport aux axes fixes Ox, Oy, Oz, les cosinus directeurs &, a’, «"; B, B', 8’; y, y', y’ des axes Mx’, My’, Mz.
L'ensemble continu à trois dimensions des trièdres Mx'y/z/ sera ce que nous appellerons l’état déformé du milieu déformable considéré qui, dans son état primitif, sera dit'à l’état naturel.
49. Eléments cinématiques relatifs aux états du milieu déformable. — Pourjila commodité de l'écriture et des notations, nous introduirons parfois dans ce qui va suivre, au lieu de x, Yo, Zo, les lettres p,, p;, Pas
ce qui ne constituera qu’un changement commode de notations, exprimé par * les formules
Lo — Pis Yo — Par Zo — Ps
qu'il suffira d’avoir présentes à l'esprit.
Désignons par #(9), n(°), &t®) les composantes de la vitesse de l’origine M, des axes Mix, Moys', Moto’ suivant ces axes, quand p; varie seul et joue le rôle du temps ; soient également p®, q@, r() les projections sur ces mêmes
axes de la rotation instantanée du trièdre M,r,/y,'2, relative au paramètre p.. Nous désignerons par Ë;, r;, &; et par Ps, qi, r; les quantités analogues pour le trièdre Mx'y'7’, lorsqu’on le rapporte, comme le trièdre M,x,'y,/2,' au trièdre fixe Oxyz.
Les éléments que nous venons d'introduire se calculent à la façon habituelle ; en particulier, on a :
re Ê .
7 où + «a Sun 3’ DEN 35,57 Die Ra pe SAT NT:
(4 a Per B 22 Se 32’ (44) Le 5:00 Y dPi 2x dy 2z 22 2$
t = ! ( Pos . — — — — =.
- ro LES (Qu D 2° 5
L'élément linéaire du milieu déformé (M), rapporté aux variables indépendantes 4, Yo, Z est défini par la formule :
- ds? — (x + 22,)dr? + (x + 22,)dyà + (x —+ 2e,) dz? + 2yidyodzo + 2Yad20dt0 + 2Ysdr0dyo,
OÙ Ej, Ep Egy Ya» Ya Ya Se calculeront par les doubles formules suivantes : le, A] (#) — Ptit Aa [ (2) a (Z si EVA “lo CRUE 1 F/ox\? (æ) Ex | 1 ; ; D M (NA Late —:1), LE és 2Yo 270 sa
(45) qe fa js Ai sa (E) + | = (B+ni+t—n,
OT De nr SR RTE nent ie 2Yo 220 2Yo 22 2Yo 22% ns 2 RES à èz à A É2 MRT LOC O PA En at SIRET A RETIRE EURE AR
dX dx dy dy RCOEN TN t Ra ue ELA — no + Cia CET 3% dÿo 27, do 192 112 172
Désignons par x, y’, z les projections du segment OM sur les axes Mz', My’, M7, en sorte que les coordonnées, par rapport à ces axes, du point fixe O seront — x', — y, — z'. Nous aurons les formules connues :
ox’ 2y' des ENS PAM (46) Al ee, —rx'+pz—0, ft; . py +42 —=0 qui donnent de nouvelles expressions de Ë;, ns Gi.
50. Expressions des variations des vitesses de translation et de
rotation du trièdre relatif à l’état déformé. — Supposons qu'on imprime à chacun des trièdres de l’état déformé un déplacement infiniment petit pou-
vant varier d’une façon continue avec ces trièdres. Désignons par Ôx, Ôy, ôz : ôx', dy', 07 ; da, dx, .…, dy" les variations respectives de x, y, z; x’, y’, 2’; a, a, .…, y”. Les variations Ôx, da, .…., dy" s'expriment par des formules telles que la suivante :
(47) dx — Bôk' — vos’,
au moyen des trois auxiliaires ür', J', dx’, qui sont les composantes suivant Mz', My’, Mz' de la rotation instantanée bien connue attachée au déplacement infiniment petit considéré. Les variations dx, ôy, ôz sont les projections sur Ox, 0y, Oz du déplacement infiniment petit éprouvé par le point M ; les projections Ô/x, d'y, d'z de ce déplacement sur Mzx', My’, Mz' s’en déduisent immédiatement et ont pour valeurs :
(48) d'x—dx/ +705 —Vôr, 0'y—dy +x'ôn 201, 'z—07 + y 01x07.
Proposons-nous de déterminer les variations d6;, ôn;, 06;, ôp;, Ôq:, dr; éprouvées respectivement par 6, n;, G, pi, qi, ri. D'après les formules (44), nous
avons :
= > (À À + y 2, èqi =D (3 0x + a 2) = (8 +822)
Remplaçons ô« par sa valeur 5x — yôs', et a’, …, à” par leurs valeurs analogues ; il vient ;
s __ dr s 293! 1. __ or’ N (49) pe ES +qôr' ris, ôq— 22 +rièr —piôx", ère ps —q\.
Les formules (46) nous donnent de même trois formules dont la première est :
+ 02 — rôy! + 20; — y'Ôdr;;
remplaçons ôp;, ôgi, èr; par leurs valeurs données par les formules (49); il vient :
DE — nr — V5 + En + qù'x — r;5y, (50) Be Gr — tôt + T4 rdy — pie, e Ôt; == Es! —— roL! + FE + pid/z — qi x Fr
en introduisant, pour abréger l'écriture, les trois symboles Ô'x, Ô’ y, d'z définis par les formules (48).
