Action euclidiennne de déformation sur un milieu défor

mable. — Conservons les notations du $ 49, et introduisons la quantité connue A définie par la formule : $ É LE Lo Yo 970 es Dé) | roy Moy ay D(t, Yo» 20) dTy Yo 2 |

oz Z ÔZ

dTo dYo 020

et dont le carré, formé par la règle de multiplication des déterminants, s'exprime, en fonction de €,, £,, €, Y, Y+r Ya, par la formule :

nd Y2 = | 1 2% Vi Y2 Yi LT 26;

Considérons une fonction W de deux positions infiniment voisines du trièdre Mz'y'7', c'est-à-dire une fonction de x, yo, z, de æ, y, z, a, f, Y, «', B', y', a”, B”, y’ et de leurs dérivées premières par rapport à æ,, yo, 2. Proposonsnous de déterminer quelle doit être la forme de W pour que l'intégrale

‘1 1 ‘E Wdz,dy5dzo,

étendue à une portion quelconque de l'espace (M,) ait une variation nulle, quand on soumet l’ensemble de tous les trièdres du milieu déformable, pris dans son état déformé, à une méme transformation infinilésimale quelconque du groupe des déplacements euclidiens.

Il s’agit en définitive, de déterminer W de façon que l’on ait :

ëW — 0,

lorsque, d’une part, l’origine M du trièdre Mx'y'z' subit un déplacement infiniment petit, dont les projections ôx, ôy, ôz sur les axes Ox, Oy, Oz sont

dx — (a, + w,: — w,y)il, (51) èy = (a, + 3e — w47)94, à: — (a; + w,y — w,t)ôl,

où 4), dy, dy y, Wa, w, Sont six constantes arbitraires et ô{ une quantité infiniment petite, indépendante de x,, 5, Z et lorsque, d'autre part, ce trièdre Mx'y’z' subit une rotation infiniment petite, dont les composantes suivant les axes Or, Oy, Oz sont

w Ôl, w2ôl, w,5l.

? a. a a Observons que, dans le cas présent, les variations dE, On, dE; Op, Vis Ôri des dix-huit expressions !;, m;, &3; pi, qi, ri sont nulles, comme cela résulte de la théorie bien connue du trièdre mobile, et comme nous pouvons d’ailleurs

le vérifier immédiatement au moyen des formules (49) et (50), en y remplaçant Or, dy, dz; àr, 5, dr’ par leurs valeurs actuelles. Il en résulte que nous obtenons une solution de la question, en prenant pour W une fonction arbitraire de x,, ys, z, et des dix-huit expressions £;, r;, 3: Pis, qi ri3 nous allons maintenant montrer que nous obtenons ainsi la solution générale (!) du problème que nous nous sommes posé.

Remarquons à cet effet que les relations (44) permettent, au moyen de formules bien connues, d’exprimer les dérivées premières des neuf cosinus a, a/, ..…, ÿ" par rapport à æ5, Yo, 2, au moyen de ces cosinus et de Pa Qùw ri D'autre part, les formules (43) permettent de concevoir qu'on exprime les neuf cosinus a, +, …, y’ au moyen de &,, n,, &, et des dérivées premières de æ, y, z par rapport à x,, ou au moyen de £,, n,, &, et des dérivées premières de x, y, z par rapport à y,, ou enfin au moyen de #3, n3, & et des dérivées premières de x, y, z par rapport à z,. Il est d’ailleurs inutile, dans ce dernier cas, que nous fassions une hypothèse sur le mode de résolution ; car il est clair que nous n’obtenons pas une forme plus générale que celle dont nous sommes partis, en supposant finalement la fonction W que nous cherchons, une fonction quelconque de x,, y, z,; de æ, y, z et de leurs dérivées premières par rapport à 2, Yo, Z et enfin de &;, ri, Gi, Ps, qi, ri, ce que nous'‘indiquerons, au moyen des notations p, — ty, P, — Yo, Pa — 29 en écrivant :

ù z W = W (25 T, Y> Z; . = £,, Tiis LP Pi Qi ri).

Les variations 5£;, Ôr;, t;, Ôp;, èq;, dr; étant nulles, dans le cas actuel, ainsi qu'on l’a remarqué il ÿ a un instant, nous avons finalement à écrire, pour la nouvelle forme de W, que l’on a, en vertu des formules (51), et quels que soient 4, &;, @gs W,, W,, Wy,

2W..., Was. oWe Ÿ oW ox aW ay oW , oz ne TU AT Se TN) et di d — > à — dP; dPi di

ae s Remplaçons x, ôy, dz par leurs valeurs (51) et à -—, 5 —, 29 dpi Pi leurs qu’on en déduit en différentiant ; égalons à zéro les coefficients de di, A3, 3 W4, &,, © ; il nous vient les six conditions suivantes :

Y oW 37 2W »y is D oW ox 2W oz

dm | oz oi y 29;

(:) Nous supposons, dans ce qui va suivre, que le milieu est susceptible de toutes les déformations possibles, que, par suite, l’état déformé peut être pris absolument arbitraire.

qui sont des identités, si nous admettons que les expressions qui figurent dans W ont été réduites au nombre moindre,

Les trois premières nous montrent, ce que l’on pouvait prévoir facilement, que W est indépendant de x, y. z; les trois dernières expriment que W ne dépend des dérivées phières de x, y, z, par rapport à æ, Yo, %o, que par l'intermédiaire des quantités e,, «,, &s, ,, Y2, Y: définies par les formules (45); nous voyons donc finalement que la fonction W cherchée a la forme remarquable :

W(xo Yo Zo» ë;, Vis Ci Pi Qi, r;),

analogue à celle rencontrée déjà pour la ligne déformable et pour la surface déformable.

Si nous multiplions W par l’élément de volume dx,dy,dz, de l’espace (M), le produit Wdx,dy,dz, obtenu est, dans le groupe des déplacements euclidiens, un invariant analogue à l’élément de volume du milieu (M).

De même que la valeur commune des intégrales :

4 if ÿ | A | dx,dyodzs, f il dxdydz,

prises respectivement à l’intérieur d’une surface S, du milieu (M) et à l’inté-

rieur de la surface correspondante S du milieu (M), détermine le volume du :

domaine limité par la surface S, de même, en associant dans l'esprit la notion d'action au passage de l’état naturel (M,) à l’état déformé (M), nous adjoindrons la fonction W aux éléments de définition du milieu déformable, et nous

dirons que l'intégrale J 4 if Wdx,dy,dz, So

est l’action de déformation, à l’intérieur de la surfaceS, sur le milieu déformé.

Nous dirons d'autre part que W est la densité de l’action de déformation en un point du milieu déformé, rapportée à l’unité de volume du milieu non déformé, et que ra est la densité de cette action en un point, rapportée à l’unité de volume du milieu déformé.

52. La force et le moment extérieurs ; l’effort et le moment de déformation extérieurs; l'effort et le moment de déformation en

un point du milieu déformé. — Considérons une variation quelconque de l’action de déformation à l’intérieur d’une surface S du milieu (M), savoir :

ô 11 ie Î. Wdzx,dy5dzs

4e oW,. oW WA 0 WE M SW au 1 W, 3 = [TL EC D tp Pt ag 0 Dr dd

Nous pouvons l'écrire, en vertu des formules (49) et (50) du $ 50 :

W a? + a > [TS Wdæodyod hs Dre Es (rèr" Es t:93 + si eq 2z — 1; y) oW + —

(Er — Er + 2 Y + rÔoœ — pd: :) Ti 29 vé re à tr = us — Tv + = + pÊ'y — qox) At Pi dP; dqi D?

oW /oûr , O3! — QÙI dx,dy,dz (ee 199 VE )f 04) 047 0-

Appliquons la formule de GR&EN aux termes qui renferment explicitement une dérivée par rapport à une des variables p,, p,, P,; il vient, en désignant par L, mo, nr les cosinus directeurs, par rapport aux axes fixes Ox, Oy, Oz,

de la normale extérieure à la surface S,, qui limite le milieu avant déformation, et par do, l'élément d’aire de cette surface :

> ff 1 Wdxod) od29 — AC Re 5 La QUE do 2 33.

oW oW oW\. oW W AA + (LE + m2 no =) 29 + “de de megane 27 )0e oW oW aW\., oW oW oW\., FA (te Pine eoRs Vo Up, jo +. (e FARMMOETE TO ) di

o oW oW oW Ÿ

ii | EC. a en on) | 8 do oW oW oW\l!., F [Z pe En 2) | :

si

o oW oW 2W ER +r |

di dË; o oW oW oW oW oW Sr 2e [EEE + qi ne. Ti ETA Gate 2, 4 2] M n 2W oW oW oW oW\l:

+ ue .— = D; — [4 i !

b> 2; Pi di ‘ api ‘or; * ot; dt; )| “

o0W, 2W oW .,2W oW\1] | | + or; Dr, Pi no) | K { drodyodo.

Posons :

RE ne no.

M = Le DE + mo D + me KL, en me D + 2, =D a 0] da =D + nl

nm +].

EN) RAPPEL EEE) ETS

dP; dQ; dPi P or; Ad:

sad a oW oW oW aW oW N, DE Dr; MT GE. pl Er USE ,

nous aurons :

s [FT Ward [ [ (F0 x + Go 0 y +8 24101 + J 3 +Ko'èr')do, 0 S Eee Jiie (X,/ 9x —+ Y,' dy a AE as L,/àr M," + N,'ôK!) dx dyod2.

En ayant d’abord égard à l'intégrale triple, qui figure dans l'expression de

ô JL Wdzx,dyodz,, nous appellerons force extérieure et moment extérieur au s

point M, rapportés à l'unité de volume du milieu non déformé, les segments ayant leur origine en M et dont les projections sur les axes Mz’, My’, MZ’ sont respectivement X,/, Y,/, Zo', et Li’, M;', N;'-

En ayant ensuite égard à l'intégrale de surface qui figure dans

na ô J di 4 War, dyod2o, So

nous appellerons effort extérieur el moment de déformation extérieur au point M de la surface S, qui limite le milieu déformé, rapportés à l'unité d'aire de la surface S,, les segments issus de ce point M et dont les projections sur les axes Mx’, My’, M:' sont respectivement — F;', — Gÿ', — H,'et — TE

— J,', —K;'. Ces six dernières quantités, en un point déterminé M de(S), ne dépendent que de la direction de la normale extérieure à la surface (S) : elles restent invariables, si la région considérée de (M,) variant. cette direction de la normale extérieure ne change pas, et elles changent de signe si cette direction est remplacée par la direction opposée. Supposons qu’à l'intérieur du milieu déformé limité par la surface (S), on trace une surface (£), circonscrivant, soit seule, soit avec une portion de la surface (S), une partie (A) du milieu et désignons par (B) ce qui reste du milieu en dehors de la partie (A). Soit (2,) la surface de (M,) qui correspond à la surface (£) de (M) et soient (A5) et (Bo) les régions de (M,) qui correspondent aux régions (A) et (B) de (M). Séparons par la pensée les deux parties (A) et (B) ; on pourra regarder les deux segments (— F,/, — G;',— H;')et(—1,;', — J,', — K;,') déterminés pour le point A et pour la direction de la normale menée à (£;) vers l'extérieur de (A,) comme l'effort et le moment de déformation extérieurs au point M de la frontière (2) de la région (A) ; on pourra regarder de même les deux segments (F,', G'. H,') et (F;', J;', Ko) comme l'effort et le moment de déformation extérieurs au point M de la (route (£) dela région (B). En raison de cette remarque, nous dirons que — F,', — G;/, — H,' et — 1; — J;', — K,' sont les composantes suivant les axes Mx’, My", M’. de l'effort et du moment de déformation exercés en M sur la portion (A) du milieu (M), et que F,', G,/, H,', et I,'.J;', K,' sont les composantes suivant les axes Mz’, My’, Mz' de l'effort et du moment de déformation exercés en M sur la portion (B) du milieu (M).

L'observation faite à la fin des S$S 9 et 34 au sujet du remplacement du trièdre Mx'y'z' par un trièdre qui lui est invariablement lié se répète ici sans note

53. Spécifications diverses de l'effort et du moment se déiormation. — Posons :

QUE dÙ:

pie pen Lt Pi e dqi ? 1 Fier:

A’, B;, Ci et P;, Q;, R; représentent respectivement les projections sur Mz’, My', M7 de l'effort et du moment de déformation qui s’exercent au point Msur une surface qui, avant déformation, avait pour normale intérieure au point M, la parallèle à celui des axes coordonnés Ox, Oy, Oz qui correspond à l'indice i ; il suffit, en effet, de se rappeler qu’on a déjà convenu de remplacer par p,, Ps, P, les lettres x,, y,, 5 qui correspondent respectivement, d’après cette convention, aux indices 1, 2, 3. Cet effort et ce moment de déformation sont, rappelons-le, rapportés à l’unité d’aire de la surface non déformée.

Les nouveaux efforts et les nouveaux moments de déformation que nous

venons de définir sont liés aux éléments introduits dans le $ précédent par les relations suivantes :

Fo = LAs + mA + nd, LP) + mp! +nP,, Go =RB+mB+nB, J'—4Q+mQ+nQ,, He = QC + m0) + m0, Ko = LR! + mR) + nR.

CE < qiCi == rB:) — X,' == 0,

oB/ 2 FA = rÀ;! — pGi) — Yo — O,

dP}; re + qi — rQ + nC! — 259) — L;'— 0, 2Q;

dPi

oR;' c ! ! ! \ DAS + PQ; == qiP: —+ &B; — ri ) — N;' =,

+ rP;/ — ph} + rA;/ — ëci) — M; — 0,

On peut se proposer de transformer les relations que nous venons d'écrire, indépendamment des valeurs, calculées au moyen de W, des quantités qui y figurent. Ces relations ont lieu, en effet, entre des segments attachés au point M et auxquels nous avons attribué des noms; au lieu de définir ces segments par leurs projections sur Mx', My', Mz', nous pouvons tout aussi bien les définir par leurs projections sur d’autres axes ; ces dernières projections seront liées par des relations, transformées des précédentes.

Les relations transformées s’obtiendront d’ailleurs immédiatement si l’on remarque que les formules primitives ont des interprétations simples et immédiates (‘) par l’adjonction aux axes mobiles des axes qui leur sont menés parrallèlement par le point ©.

1. Bornons-nous à la considération des axes fixes Ox, Oy, Oz; désignons respectivement par X,, Ye, Z et par L,, M,, N, les projections sur ces axes de la force extérieure et du moment extérieur en un point quelconque M du milieu déformé, par F,, G,, H, et par I,, J,, K, les projections de l'effort et du moment de déformation sur une surface dont, avant déformation, la normale intérieure a des cosinus directeurs L,, m,, n, ; par A;, B;, C;et par P;, Q,, R;les projections de l'effort (A;, B/, C;') et du moment de déforma-

(*) Une interprétation intéressante à noter est l’analogue de celle donnée par P, Sanr-Guicmex à propos de la dynamique du trièdre.

tion (P;, Q;, R;). Les transformées des relations précédentes sont évidemment :

F, = Lo en MoÂ>2 —+ noÂ3, I, = LP, —+ moP> Ge noP:,

Go = LB: + moB2 + n0B3, J = Qi + mQ2 + 00,

H, = LC: —+ moC> —+ nos, K — LR: + mMmoR2 + noRs,

oA, dA» dÂ; x PES 2 er TS == O, 27 F5 2Yo FE EEA .

ob, ROLLER ==0, Lo dYo d= 0Gr OC 0G SR En nt Et ee 17 ven je dm L 2ÿo Re cs oP, oP, oP dy c,Y CLR TR TER L AE = 2 -. Es 2 mms D —— RE — 0; QE VASE dZo LA US 3ÿ ne Épes Zo 13% *2ÿo EE L ou 2Q2 A AA CE GE 2 M =° —— — ——C,—— CC, ——0C,-—-—M,—=o

de, 7 de. os Les ETAT 33 12 pe 332 : H oR 2R; . dx D dy

DS BE BE + CA D — A 7 — A TN, — 0, 2% are d20 OL dYo dZ9 dLo E A dZ0

relations qui sont des généralisations pour trois dimensions, des équations de Loxp Kezvix et Tair pour une et deux dimensions.

2. Observons maintenant que nous pouvons exprimer les neuf cosinus x, x’, y’ au moyen de trois auxiliaires ; soient À,, À, À, trois telles auxi-

liaires. Posons :

Drds = — Ÿpdy = wdh + md + wydh, D'ady — — DXTE = Ya di + y2dh + 3 dd, DE = — DXTE = CAIN —+- 2 dho + sde

Les fonctions 5}, y, s/ de À4, À, À3 ainsi définies satisfont aux relations :

Cor dow 1 oh; HAN D us dY;/ oi DE A + dmf — sjui = 0, (j) = 1, 2,38.

dc 5;!

DE Nr Rte et l’on a oÀ de À à —= rer HPEA d9: dPi di oÀ oÀ où Nr het ! 2 Sul 3 U —— = — Hu, +2 a A 3? (où &5 — Pas Yo —P» 20 — 3) ok dk 2À r, — 0j + où! + go) NP RS

Désignons w;, /;, s; les projections, sur les axes fixes Ox, Oy, Oz, du

segment dont les projections sur les axes Mx’, My, Mz' sont 5}, 4j, 9; ; nous aurons :

De a —— Y'a da = wdh + md; + w,d)3, da'ds = — d'a = yadhs + pad + y3dh3, Dada! = — d'a da = sud, —+- S2dho + o3d};,

en vertu desquelles (!), les nouvelles fonctions &;, y, s; de À4, À, À; satisfont aux relations :

DURS) nn

27 j OYS ee :

ol UP Le er 0; 9;

= op — Sy.

dk à); d

Nous ferons encore la remarque, qui nous servira plus loin, que si l’on désigne par ÔÀ,, 8A+, 0), les variations de À, À, À3 qui correspondent aux variations 2, 0%, .… 0" de x, x!, ..… Ÿ’, on aura :

La 01 —= wi 011 + m0 + wy 0), 0 = y1 A4 + 2 02 + Ya das dk" — 040 + 07 ÔÀ2 + 03/03 81 — aùr + Bôs + Jr — m0), + wÔÀ + w30À3, 83 — 0/01 + B'ôs + y'Ôr! — Yaôk + Y29h9 + ak, or = ad + P'ôy + JO — Ôy + or + AS

où àr, 5, àx sont les projections sur les axes fixes du segment dont les projections sur Mz’, My’, MZ sont ôr, ôy, dr’, Posons maintenant D = Si l + 4439 + Ko — Gil + Yido + 51Ko o—= © l) + xd) + Ko = + ko + Ko, Ro = 03) + 43 Jo + 3 Ko = wo + X3lo + c3Ko, L = SL + x Mo + S'No — GiLo + xiMo + so, Mb, = w> Lo + xMo + No — ml, + x2M + oo, Vo = 83 Lo + x M,! + 03 No — SLo + XiMo + 53No.

Introduisons en outre les notations suivantes :

0; = w/P} + x1'Qf + R;/ = mp; + y1Q; + iR;, X; = 0 P}/ + y Qi + Y'R; — DP; + 4Q: + oh; = 0$P/ + 43 Qi + SR; = SP; + 4aQ: + oh,

(1) Ces formules peuvent servir de définition directe aux fonctions wi, Li, 5: el élre

substituées à ’ = ami + Pi + Yoi, Xi = au + 8'x; + voi, (i = 1,92, 3) = am + P'xi + Yo.

nous avons, à la place du dernier système, où figurent soit P}, Q;, R', soit P;, Q;, R;, le suivant :

a D [8 (PR gr) 0H (0 pro) (rt)

HA; (Gua't — si") + B; [CAF — oj't;) + C/ (CAC = 2] :

avec deux équations analogues. Si l’on remarque que les fonctions ë;, n:, 6

d11 dÀ

oÀ :

, —?, — donnent lieu aux formules :

Pi Qi ri de À, Ào, À 3 dP,” 22° op

2; dp; dv) :

ML me TD eu J 3 rt

co) 24; dx;

PRE le Ne LU

ab; or; CLÉ

Se +o/m— y;h =0, VE — de + Pi — io; J

qui résultent des relations de définition des fonctions ©}, y; s/ et des neuf .

identités qu’elles vérifient, on peut donner au système précédent la nouvelle forme :

re CE LEL ou M V5 ri PAC 1 ri 1 Ti % =}, [2 D dl ie .. hi oh ‘os hi 2 |

avec deux équations analogues.

3. Les équations que nous avons introduites précédemment constituent aussi la généralisation de celles que nous avons développées dans un travail . antérieur (1) ; nous pouvons les transformer de façon à obtenir la généralisation des équations bien connues de la théorie de l’élasticité qui sont relatives à l'effort ; il nous suffira, à cet effet, de reprendre la méthode déjà employée dans le travail que nous venons de rappeler.

Pour abréger l'écriture, désignons, pour un instant, par #5, Y'o, &'o, Los Ab'5, W’, les premiers membres des relations à transformer, qui renferment respectivement X,, Y,, Z,, L,, M,, N, et observons qu'on peut résumer les douze relations que nous avons établies dans la suivante :

Î J (%o M4 + Vo hs + Dos + Lol + Abo + To U3)drody5d20

— ff LUS — Ai — moÂo — ns) + (Go — LB: — moB2 — n9Bs)la + (H, — LC — m9Cz2 — no Cs)À3 + (L, — LP: — moP — noP3) bi zx (To — Qi — mo Q2— 1003) + (Ko — Ra — MR —noRs)ls Ÿ de, 10;

où À, À, À3 His Bas ds, sont des fonctions arbitraires et où les intégrales sont relatives à la surface S, du milieu (M) et au domaine limité par elle. Appli-

(1) E. et F. CosseraT. — Premier mémoire sur la théorie de l’élasticité; Annales de la Faculté des sciences de Toulouse (1), 40, p. I, — L,,5, 1896.

quant la formule de Green, la relation que nous venons d'écrire devient la suivante :

JL (Koh + Yoda + Zohs + Lots + Mot + Nots)dtodysdzo

m5 ffœx + Gode + His + Lt + Ju + K,t:)ds,

À dÀ oÀ 2À À À ee (a D AI À 2 DB Rio 2 pen Jf L 2To ” 2Ÿo LAN 27 PA 2To di 2Yo nb 2Z5

2H: 2H ob CIS Ces 2H + (P see LES 26 + O, 243 He JinE Dar. M y | TA + Q& UN dH3 23 23 +R +R DE RE Jrad

— fff(c HO + Bi DE + Br + Bs dE) mdridyodro 0 14 0 0 2Z9

a MANN C0 CE C [If (ai 27, = À2 TA + À; >, = C: 27, = C: A + G D Jeedeodyodes

is Ê A hs, 27 a jy IC 32, + B; 2ÿs + B; 32 + A, 3%, —+ À: A + A2) tsdxody,dz5—0.

Cherchons la transformée de cette dernière relation, lorsqu'on prend pour nouvelles variables les fonctions x, y, z de x, Yo, 2. Si l’on désigne par » une fonction quelconque de x,, ÿo, z qui devient une fonction de x, y, z, les formules élémentaires du changement de variables sont :

d9 __ d? dT 29 dy 29 27 dTo DL dLXy dY dTCo dZ dX, DA OT AT 7 ae PT, 2Yo 2T Yo 2Y2Yo 27 do RTS SERA ADS LS

07 OT 02 dY dZ9 22 do

Appliquons ces formules aux fonctions A4, A2, À3, H1, Ur, Us3 S indiquant toujours la surface du milieu (M) qui correspond à la surface S, de (M), désignons de plus par X, Y, Z, L, M, N les projections sur Ox, Oy, Oz de la force extérieure et du moment extérieur appliqués au point M et rapportés à l’unité de volume du milieu déformé (M), et par F, G, H, I, J, K les projections sur Ox, Oy, Oz de l’effort et du moment de déformation, qui s'exercent au point M sur S, rapportés à l’unité d'aire de S. Introduisons enfin dix-huit

nouvelles auxiliaires Pzes Pyxs Pzxzs Prys Pyys Psy Przs Pyss Ps Azxs Qurs Tzxr rys Quur Azur Ass Aus Az: par les formules :

ox x dx 2x 2x 2x LE —— RE À — À; dus —+ 5 es = —— —- —— Apr à 279 * 2Ÿo À 22)? qe = P: dTo 2? 3y Pa Se dy 2y Y 2y 2y 24 Apy: = Ài = + À + À, =. PE ENT NE LR ECS Pa ox à it Ad le 2To 2 Ps 220 z ez 2 27 27 z AP:: = A — + A, -— + A; —, Ag, —P, — — + P, — Le 0} "27" Æ "To * ao ü CE

et par les analogues obtenues en remplaçant :

A A2 À35 Pons Pyer Per Pis Pas Pas Ques Quer User respectivement par :

B:, B, B3, Dry Pyys Pays Qus Qos Qse Ary Qu zur puis par :

Ci, Co Co, Pass Pysr Pszs Ris Ras Ras Qrss Qui Qzse

Nous obtenons la relation transformée :

JE (Xi + Yh + 21 + Lu + Mu + Nu) drdydz

—— [fe + Gh + Hi + lu, + Jus + Kus)do

ak oh al Te sa + [TF te co ay Ps De Pa a ay + P:y 2z

ax a} aÀ —+ Pzs Se cu Py= 7 = P>=: +) dxdydz

QU 2H 2H: dH2 dH2 dH2 + [ff (a OR Ge one or ln,

Lo 6 + 0 2 drdyde + Qz: ox y + 92: VE )dedyde

— [fur nr (pe — Pzz) He Ste (Pzy E— Pyx) ts } dxdyd: = O,

où les intégrales sont relatives à la surface S du milieu (M) et au domaine limité par elle, ds désignant l'élément d’aire de S.

Appliquons de nouveau la formule de GR£Ex aux termes qui renferment les dérivées de À, À, Àgy His Vas Hs par rapport à æ, y, zet désignons par l, m, n les cosinus directeurs, par rapport aux axes fixes, de la normale exté-

LE MILIEU DÉFORMABLE 137 L] rieure à la surface S ; il vient, puisque À;, À2, À pi, bo, H3 sont arbitraires :

= lp>z + MPyr + NPzz L= lQzz + My + N:rs G= lpey + Mpy + Rey J— lu + My + NQzy 5 = Ipz: + My: + NP: K — (gs: + My: + N::, Paz + dPye + OP

dx dy 2 Pay + Pay Yo dT dy (74 :

Ps: | OPys | OP: Æ er dy oz Go

+ Pys — Psy — L = 0,

dx dy oz Vry , Vyy à dy ss ox | y WF: Pere =;

Oz | dus | ds 2 ‘ y èz

+ Pey — Pys — N= 0.

La signification des dix-huit nouvelles auxiliaires p,., .…., Qzsr +. résulte immédiatement des relations que nous venons de trouver. Il est clair, en effet, que les coefficients p.,, Psy, Pr: de | dans les expressions de F, G, H représentent les projections sur Ox, Oy, Oz de l’effort qui s'exerce au point M sur une surface dont la normale intérieure est parallèle à Ox, et que les coefficients q,, Qryr 4: de l dans les expressions de I, J, K sont les projections sur Ox, Oy, Oz du moment de déformation en M relatif à la même surface. Les coefficients de m et de nr donnent lieu à une interprétation analogue à l'égard de surfaces dont les normales intérieures sont parallèles à Oy et à Oz.

Les auxiliaires que nous venons d'introduire et les équations qui les lient ne paraissent pas avoir été jusqu'ici envisagées sous une forme aussi générale ; à notre connaissance, elles n’ont été considérées que dans le cas particulier où les neuf quantités q., ..…, q.. sont nulles, et le premier travail qui traite alors de la question semble être celui de M. Voicr (!).

(:) Warnemar Voicr. — Theoretische Sludien über die Elasticitätsverhälinisse der Krystalle, 1, II, Abhandlungen der kôniglichen Gesellschaft der Wissenschaflen zu Güllingen, Bd. 34, 1887. Le premier paragraphe intitulé : Ableilung der Grundgleichungen aus der Annahme mit Polarität begabter Moleküle, a 49 pages (3-52) ; le deuxième intitulé : Untersuchung des elastischen Verhaltens eines Cylinders aus krystallinischer Substanz, auf dessen Mantelfläche keine Kräfle wirken, wenn in seinem Innern wirkenden Spannungen längs der Cylinderaxe constant sind, a 48 pages (53-100). On pourra également consulter le travail de M. Voicr : L'état actuel de nos connaissances sur l'élasticilé des cristaux (Rapports présentés au Congrès international de Physique réuni à Paris en 1900, T. 1, p. 277-347), où il est fait allusion à Porsson, Mém. de l'Acad., T. XVDI, P- 3, 1842 (voir p. 289). Consulter aussi Larwor, On the propagation of a disturbance in a gyrostatically loaded medium (Proc. Lond. Math. Soc., nov. 1891) ; Love, Treatise on the mathematical theory of Elasticity (Camb. University Press, 1° éd., 1892, 2° éd. 1906) ; Cowsesrac, Sur les équations générales de l'élasticité, Bull. de la Soc. Math. de France,

T. XXX, p. 108-110 et p. 242-247, 1902.

Nous pouvons observer en terminant que si, dans les six équations qui renferment À, Y, Z, F, G, H, on effectue un changement de variables de façon à introduire les variables primitives y, Yo, 20, On trouve immédiatement des équations dont les trois premières constituent la généralisation d'équations établies par M. Boussinese.

54. Travail virtuel extérieur ; théorème analogue à ceux de Varignon et de Saint-Guilhem. Remarques sur les auxiliaires introduites dans les $$ précédents. — Nous donnerons le nom de travail virluel extérieur sur le milieu déformé (M), dans une déformation virtuelle quelconque, à l'expression

86, — — ff (F,dx + G/0'y + H,0'z + L'or + J''ès + K,'ô'")do, + [ff (Xe + Vo dy + Lo /8z + L'or -+ M,'ôr + N''èk')drdy,dz.

Reportons-nous aux notations du $ 50, et désignons de plus par 1, Ô5, Ôk les projections sur les axes fixes du segment dont les projections sur Mz’, M)", Mz' sont r’, Ô3', ôr’, en sorte que l’on a, par exemple :

— à aa! + BB + YO — — (a'da" + BOB + 07),

en supposant toujours les axes que l’on considère de même disposition. Gela étant, supposons au $ 53 que l'on attribue aux arbitraires À,, À, L, Lis Be, B3 la signification définie par les formales :

Li = ôr, à — ôy, À3 — ùz, Hi Ô, Bi ôs, Hs — ôK. Nous voyons alors que les relations obtenues précédemment entre les nouvelles auxiliaires introduites ne font qu’exprimer la condition suivante :

Quels que soient les déplacements virtuels du $ 50 imprimés au milieu

déformé, le travail virtuel extérieur ÔG, est donné, soit par la relation :

d9x à où ÔBe =— ff. — + P Pr = FH Pa = Par ae + Pa DT

se Pes 2 + Pi us P:z >) dædydz

a où oÔ1 E D05 Pit Se + Le y AR LEFTE PE 1e — = du

= me viv8 ES + ss =) dxdydz

ce f ff + CPys — Pa) + (Pie — Pay) 05 + (Pry — Pys)ÔR Ÿ drdydz,

où les intégrales sont étendues au milieu déformé, soit par la relation :

Sp [ ( dôæ dx | à ox ooy dy p, où e [If in 2 pe Re De ne

d0z dôz d0z = C — C A st GC | dxdy5d2o oût o01 dÔI d03 d0 A) == PAR D D — Ce Her Se JP or, * 20 er 2Z9 + @& 2To + @ 2Yo ME 2Z9

ëx

ds az dx dx ox \,

+ [ff (A2 +A> CA ne —C; SAP T0 2) ès dx dyodz, Los Le dX } 2ÿ n 2Y à 2Y\x

+ {ff (8, dTo Bay, ET pi To 0 Age jxdadyleo

où'les intégrales sont étendues au milieu non déformé, car la formule

3G,—— [ ils (Fo de + Go y + Hd y + LL + Jr + K,'ôk')do, s0

+ fÎT. (Xo 8x + V0 y + 2/02 + L,/èr + M,/65 + N'èr') dr dyodz,

donnée plus haut, pour servir de définition au travail virtuel extérieur, peut aussi s’écrire :

00, — — ff (ère + Gôy + Hz + Lèr + 3 ès + Kôk)do, so + [ff (X dr + Yèy + Zoôz + Lo + Môs + Nôx)drodyçdz, So en vertu de la signification de X,, Y,, … N4, Fo, Go, … K,, et également

00, — — ff (Fôx + Gôèy + Hôz + Iôr + Jô5 + Kôk)dos s

+ ff. x + Yèy + Zôz + Lü + Môs + Nôk)drdydz,

en vertu de la signification de X, Y, .… N, F, G, .. K. Partons de la formule :

ÿ If Ff SWdrçdyodz, + 90e = 0, so

appliquée à une portion quelconque ‘du milieu limitée par une surface $,.

Comme SW doit être identiquement nul, en vertu de l’invariance de W dans le groupe des déplacements euclidiens, quand les variations ôx, ôy, ôz sont données par les formules (51), savoir :

x — (ai + w27 — wyy)Ôl, dy —= (az + WT — w1z)Ôl, Ôz — (az -+ w,y — w2T) 0f,

et Ôr, Ôs, Ôr par Ô1 — w{Ôl, 85 — w,0t, ÔK — wô,

et cela, quelles que soient les valeurs des constantes &;, a, 43, wi, 2, 3, nous en concluons, d’après les expressions de 0G,, sur lesquelles (‘) nous venons d’insister, que l'on a :

ii Fdey — fl if X,dr,dydzy — 0,

s0 So

ff (Lo + Hoy — Goz)des — [ff (Lo + Zoy — Yo7)drody5dz — 0, so So :

et quatre équations analogues. Ces six formules se déduisent facilement de celles que l’on écrit d'ordinaire au moyen du principe de solidification.

On peut concevoir, dans ces formules, que la frontière S, est variable.

Les auxiliaires introduites dans les paragraphes précédents ne sont pas les seules que l’on pourrait envisager ; en nous bornant à leur considération, nous ajouterons simplement quelques remarques faciles.

Nous avons en définitive introduit deux systèmes d'efforts et de moments de déformation relatifs à un point M du milieu déformé ; les premiers sont ceux qui s’exercent sur des surfaces qui, avant déforraation, ont leur normale parallèle à l’un des axes fixes Ox, Oy, Oz; les seconds sont ceux qui s’exercent sur des surfaces qui ont leur normale parallèle à l’un des mêmes axes fixes Oz, OY> 07:

Les formules que nous avons indiquées donnent les derniers éléments au moyen des premiers ; mais, par une résolution immédiate, sur laquelle nous ne nous arrêterons pas, on obtient inversement les premiers éléments au moyen des seconds.

Supposons maintenant que l’on introduise la fonction W ; les premiers efforts et moments de déformation ont des expressions déjà données, et on en déduit immédiatement les expressions relatives aux seconds. Mais, dans ces calculs, on peut expliciter les fonctions que l'on veut mettre en évidence,

(?) Le passage des éléments rapportés aux unités de volume du milieu non déformé et d’aire de la frontière S,, aux éléments rapportés aux unités de volume du milieu déformé et d’aire de la frontière S est tellement immédiat, qu'il suffit de se borner, comme nous le faisons, aux premiers, par exemple.

suivant la nature du problème, et qui seront, par exemple, «, y, z ou x’, y',2' et trois paramètres (1) 14, À, À;, au moyen desquels on exprime «, æ .… y”.

Si l'on introduit æ, y, z, A, à, À, et si l'on continue de désigner par W la fonction portant sur æ5, yo, 2, sur les dérivées premières de x, y, z par rapport à Toy Jos Zo Sur À, À, À et sur leurs dérivées premières par rapport à Zos Yo, Z, Obtenue en remplaçant, dans la fonction Wx,, Yo, 20 ti, ist, Pa di, ri), les différentes quantités £;, n,, G, p;, qi, ri par leurs valeurs données par les formules (43) et (44), on aura :

EE ALLUME AE AM AU Dire ee ie Rs

2To 2} WTA

W 1 k B; — © , B— 2, me 2 — 2 s 2

dTo 2Yo dZ

2 Vi au 2W PO ea ee Fgnae ui Ps L EG 2Yo 22

FREE aW ao 2aW 4 a F à DV ? : DU <

— d — 2 dPi d?i dPi

55. Notion de l'énergie de déformation. Théorème qui conduit, comme cas particulier, à celui de Clapeyron. — Envisageons les deux états (M) et (M) du milieu déformable limités par les surfaces (S,) et (S), et considérons une suite quelconque d'états partant de (M,) pour aboutir à (M): il suffit à cet effet de considérer des fonctions x, y,z, «, a’, .… y” de x,, Yo, 2 et d’une variable À qui, pour la valeur zéro de la variable h, se réduisent respectivement à To, Yor Ze» Co» C0» +++» Yo” et pour la valeur h de h, se réduisent respectivement aux valeurs x, y, z, a, a, .… y’ relatives à (M).

En faisant varier le paramètre h de o à À d’une façon continue, nous obtenons une déformation continue, permettant de passer de l’état (M,) à l'état (M). Considérons, dans cette déformation continue, Le travail total effectué par les forces et les moments extérieurs appliqués aux différents éléments de volume du milieu et par les efforts et moments de déformation appliqués aux différents éiéments superficiels de la frontière ; il suffit, pour obtenir ce travail total, d'intégrer de o à h la différentielle obtenue, en partant de l’une des expressions de èG, du paragraphe précédent, et en y substituant aux variations de x, y, z, a, a’, …, y" les différentielles partielles qui correspondent à l'accroissement dh de h ; la formule

5G, — — [ ik \ 0Wdzxodyodz, So

(:) Comme telles auxiliaires À4, À,, Às, on peut prendre, par exemple, les composantes de la rotation, qui amène les axes Ox, Oy, Oz à être parallèles respectivement à

Mx', My, M7.

donnant pour la valeur actuelle de ô©, l’expression — ff ‘ 2 dhdxdyod2o,

nous obtenons pour le travail total

é oW fe - L ( ff f . dites) dh = — f[ qe — W) dr,dyod20- S So

Le travail considéré est indépendant des états intermédiaires et ne dépend que des états extrêmes considérés (M,) et (M).

Ceci conduit à introduire la notion d'énergie de déformation, qui doit être distinguée de celle de l’action envisagée précédemment ; nous dirons que — VW est la densité de l’énergie de déformation, rapportée à l’unité de volume du milieu non déformé,

La proposition que nous venons de rencontrer, qui détermine le {ravail tolal, effectué par les forces et les moments extérieurs, ainsi que par les efforts et les moments de déformation appliqués à la frontière, donne, par la considération de la déformation infiniment petite et par la particularisation du milieu, le théorème de CLapeyron (‘). En effet, introduisons d’abord simplement l'hypothèse, sur laquelle nous reviendrons au $ 58 sous forme plus générale, savoir que W est une simple fonction de £,, €, £3, Yi, Ya Ys ; nous pouvons alors envisager les formules :

Lei oW aW 2W

Q = — = — a — = — 1 EPA , Q; 25 ) 3 253 , 1 dY4 ?

54 oW Dod(a2 0Y3

> comme définissant un changement de variables remplaçant les lettres &;, €», es, Yu Ye Vs par les lettres Q;, Q:, Q, Æ,, =;, Z3. En vertu de ce changement de variables, W devient une fonction W''de Q;, Q:, Q, ui, Æo, 3.

Ceci posé, passons à la déformation infiniment petite, et plaçons-nous dans le cas envisagé au $ 34, p. 74-76 de notre Premier Mémoire sur la théorie de l'élasticité ; W et W' deviennent des formes quadratiques W, de e, ex, es 91, 92 gs et Wa de Vi, Vo, Voz, Oir Os Os, cette dernière étant au facteur

. près ce qu'on appelle la forme adjointe de W, ; nous obtenons, pour le tra-

vail total dont il a été question, et dans le cas de la déformation infiniment

petite, l’expression .. 1 ch W:dzodyodzo,

Particularisons encore et supposons que l’on ait (?) : ; À , We: gi) ——(: 4) (+ er+ es) — E(g? + q32+ 93 — leses — heze; —hese),

(1) C’est Lamé qui semble s’être chargé, dans sa Note des Comptes rendus, T. XXXV, p. 459-464, 1852, puis dans ses Leçons sur la théorie mathématique de l’élasticilé des corps solides (1r° éd., 1852, 2° éd., 1866), de faire connaître le théorème de CLapEyrox ; ce n’est que le 1°* février 1858, en effet, qu’a paru la note suivante : CLapeyrox, Mémoire sur le travail des forces élastiques, dans un corps solide déformé par l'action de Jorces extérieures, Comptes rendus, T. XLVI, p. 208, 1858. Consulter aussi TopHuNTER et Prarsox, À History of the Theory of Elasticity, etc., &S 4041 et 4067-1070.

(?) E. et F. Cosserar. — Premier mémoire sur la théorie de l’élasticité, p. 77.

nOUS aurons (RE) EI ET ART), Gi À tes 2H 24 31 + au mn

! Le Wa (Te, G)=—; (Moi +-Toa-+- Vos) — 2 Ts + Th — co|

2 ee On voit que l’on retrouve exactement le résultat de Lamé, si l'on remarque que, dans le cas de la déformation infiniment petite, le travail total des forces extérieures et des efforts à la frontière se réduit évidemment à l'expression

qu'il indique.

56, Etat naturel du milieu déformable. — Dans ce qui précède, nous sommes partis d’un état dit naturel du milieu déformable, et nous nous sommes donnés un état dit déformé ; nous avons indiqué des formules permettant de calculer la force EE létiouse et les éléments analogues dès que, au milieu déformable, est adjointe la fonction W représentant l’action de déformation en un point.

Arrêtons-nous un instant, comme précédemment, sur cette notion d'état naturel.

Ce dernier est jusqu'ici un état qui n’a subi aucune déformation. Concevons que les fonctions x, y, z, «, x, … y”, qui déterminent l’état déformé, dépendent d’un paramètre, et que, pour une valeur particulière de ce paramètre, on retrouve l’état naturel ; ce dernier nous apparaît alors comme un cas particulier de l’état déformé, et nous sommes amenés à essayer de lui appliquer les notions relatives à ce dernier.

On peut, sans changer les valeurs des éléments définis par les formules du $ 52, remplacer la fonction W par cette fonction augmentée d’une fonction déterminée quelconque +de x, Yo, Z et, si on se laisse inspirer par l'idée d’action que nous associons au passage de l’état naturel (M,) à l’état déformé (M), on pourra, si l’on veut, supposer que la fonction de xç, 5,

définie par l'expression :

War Jar Zen EP, nt, 40, pl, gl, rt)

est identiquement nulle ; mais les valeurs obtenues, à l'égard de l'état naturel, pour la force extérieure et pour les éléments analogues, ne seront pas nécessairement nulles; nous dirons qu'elles définissent la force extérieure et les éléments analogues relatifs à l'état naturel (*).

L'état naturel se présente, dans ce que nous venons de dire, comme l’état initial d’une suite d'états déformés, comme un état à partir duquel nous étu-

{*) Nous pouvons parler alors de force, d'effort, etc., parce que nous regardons l’état naturel comme la limite d’une suite d’états pour lesquels nous savons ce que © ’est que la force, l'effort, etc., la force, l'effort, etc. n'étant définis pour nous jusqu’ ici que lorsqu ïl ya déformation capable de les manifester et de les mesurer.

dions la déformation ; on est par suite conduit à se demander s’il n’est pas possible de faire jouer à l’un des états déformés le rôle que nous avons fait jouer à l’état naturel, et cela de façon que les éléments définis au $ 52 (force et moment extérieurs, effort et moment de déformation extérieurs), calculés pour les autres états déformés, aient la même valeur, si on rapporte les premiers de ces éléments à l'unité de volume du milieu déformé. et les seconds à l'unité d’aire d’une surface déformée. Cette question ne peut recevoir une réponse que si l’on introduit et si l’on précise la notion d'action correspondant au passage de l’état déformé à un autre état déformé.

L'hypothèse la plus simple consiste à admettre que cette dernière action s'obtient en retranchant l’action correspondant au passage de l’état naturel (M) au premier état déformé (M) de l’action correspondant au passage de l’état naturel (M;) au second état déformé (M). Si nous désignons, à l'égard de (M'), par Ë, ni. C, pi, qi, ri les quantités analogues (1) à E;, r;, &;, pi, qu ri relatives à (M), on est alors conduit à adopter, comme action de déformation relative au passage de l’état (M’) à l'état (M), l'expression

(52) [f I WtoP2torstopaqur)—WN(toTotott sn t{opé sql} dxodyod20 0 So

que l’on peut écrire, si A’ est la valeur de A pour (M) :

(53) jh Wo'(&os Yo Zo» E;, Vis Ci, Pi is ri) | A' | dx,dy5d2,, So

en désignant par S’ la surface de (M’) qui correspond à S, de (Mi), et par Wo (Los Yos Zor Eir Di Vs Pi Qu ri) l'expression

: I AUCT Vos Zos Bis Mis Ge Pas Qu) — WiSos For Zos Es né pi, ls ri) [AT

On pourra d’ailleurs, si l’on veut, d'après la remarque faite au début de ce paragraphe, substituer à l'expression (53) la suivante :

(53) { il 'f Wie 2 en GT) Ad dn so

où W'(to, Yo, 2e Bi ni, Gi Pi qu ri) désigne l'expression W (tos Jos os Es Ni Gi Pi Q ri) A $ Si l’on remarque que l'on a, par exemple,

[A'| 2W'(ts, Yo Zo° TRES ri) ge DW(to, Yo Zos Eir see 13)

il est clair que l'application des formules analogues à celles du 8 52 à l’expression (53) ou à l'expression (53'), en partant de (M’) comme état naturel, mais

(1) On doit remarquer que ?/, r#, ti, p/, q{, ri ne sont pas les analogues de. EU, 50), C@, p@), q@), rU), car ils ne sont pas formés au moyen des coordonnées æ', y, z' de (M') de la même façon que EU), (9), CO, p@), g(@), r(9) le sont au moyen de %,, Yos Zo-

en supposant (M) rapporté au système de coordonnées x,, y, 2, et en admetlant qüe les formules du $ 52 sont modifiées en conséquence, donne les mêmes valeurs de la force et du moment extérieurs relatifs à l’élat (M), rapportés à l'unité de volume de (M), ainsi que les mêmes valeurs de l'effort et du moment de déformation rapportés à l'unité d’aire de (S).

Ainsi, nous pouvons considérer (M) comme un état déformé dont (M') serait l'état naturel, pourvu que la fonction W associée à l’état (M) soit actuellement (*) W;/ ou W'.

Supposons que, conformément à ces indications, la force et le moment extérieurs soient, pour fixer les idées, donnés au moyen de simples fonctions de ty, Yo Z et des éléments qui fixent la position du trièdre Mx/y'z'. Supposons aussi que l'état naturel soit donné. Nous pouvons considérer les équations du $ 52 relatives à la force et au moment extérieurs comme des équations aux dérivées partielles relatives aux inconnues x, y, z et à trois paramètres À4, À, À, au moyen desquels on exprime «, a’, .… y"; les expres-

sions Ë;, M5 G, Pi Qi r: sont alors des fonctions de os Rs 7 À, da, À 21, 2h où nie, . (en posant toujours p; — To, Pa — Yo, ps = 29), que l’on calculera au moyen des formules (43) et (44).

Supposons que X,', Y,’, Z,', L;', M,;', N,', ou ce qui revient au même X 4 Yos Zo> Lo: Mo, Nos Soient des fonctions données de x,, Y5, 20%, 2, 13 ha, Xge L'expression W est, après substitution des valeurs de &;, ;, ti, Pi qi ra tirées des formules (43) et (44), une fonction déterminée de x, Yo, Zo ea ACER ER À» 2; Às 2h FO 2h que nous continuerons à désigner par W, dT 2Z dTo DA et les équations du problème peuvent s’écrire :

D 'ARUEE ES à EVER oW

= X, DEL OT UD Cor 00e 2To 2Yo 2Zo à 2oW à oW DAT " DE DT UN DT) OT 2e 07e. 0Ÿ Li CEA 2Ÿo 220 à oW a oW à doW 7 : — 2,

a 2 —— = Ÿ,, To 2, Yo, d11 079,2 Oh $ dTo 2Ÿ CA do oW do oW > oW oW - OC, 2%o , À, 9, 243 O9, dy Oh dTo 2Yo 2Zo à oW a oW à oW oW œ té Ée — %,

(4) Ceci nous permet, comme nous l'avons dit au début de ce paragraphe, de généraliser la notion d’état naturel que nous avons d'abord introduite. Au lieu de faire cor-

Los Mo Yo étant les fonctions de x, Yoy 70 Ts Yr 25 À is hp À3 QUI résultent des définitions du $ 53. vs

Ceci résulte directement des formules des paragraphes précédents, soit d’une façon plus immédiate de ce que les formules de définition de X4, Yo, 20; Los I, To peuvent se résumer dans la relation

Ô L il Wadx,dy,dz, + 06, — 0,

ô f if Wdzxidy,dz = 4j sf (Fe -+ Go8y + H5z+ 8, + Poôka + Roôs)de

— [fes + Yo 97 + 2,82 + D 0, + II o0)3 + ad) ;) dr odyod29-

c'est-à-dire dans

57. Notions du trièdre caché et du W caché.— Dans l'étude du milieu déformable, il est naturel, comme dans celles de la ligne et de la surface déformables, de porter l'attention d’une façon particulière sur le milieu ponctuel dessiné par le milieu déformable ; ceci revient à envisager à part x, y, z et à considérer «, a', …, ÿ comme de simples auxiliaires ; c’est ce que nous pouvons également exprimer en concevant que l’on ignore l'existence des trièdres, qui déterminent le milieu déformable, et que l'on ne connaisse que les sommets de ces trièdres. En nous plaçant à ce point de vue, pour envisager les équations aux dérivées partielles auxquelles on peut être conduit suivant les cas, nous pouvons introduire la notion du trièdre caché, et nous sommes conduits à unc classification résultant des diverses circonstances qui peuvent se produire dans l'élimination de a, «/, ..., Ÿ".

Une première étude qui se présente est donc celle des réductions qui peuvent avoir lieu dans l'élimination de a, &, …, +"; dans les cas particuliers correspondants, où l'attention est portée d’une manière presque exclusive sur le milieu ponctuel dessiné par le milieu déformé (M), on pourra même parfois faire abstraction de (M), et, par suite, de la déformation permettant de passer de (M,) à (M).

Le trièdre peut être employé d’une autre façon, comme nous l’avons déjà dit pour la ligne et la surface déformables ; nous pouvons faire sur lui des hypothèses particulières, ‘et de mème sur le milieu (M); tout ceci revient à envisager des déformés particuliers du milieu déformable libre. Si les relations que nous imposons sont de simples relations entre £;, m;, t,, Pi Qi ri Comme

respondre simplement à ce mot l'idée d’un état particulier nous pouvons, d’une façon plus générale, lui faire correspondre l’idée d’un état quelconque à partir duquel nous étudions la déformation. Le fait d’avoir introduit x,, Yo> Zo au début de la théorie semble faire jouer à (M,) un rèle particulier ; mais on ne doit pas considérer Ty» Jo <o Autrement que comme des coordonnées servant à définir les différents milieux et non pas seulement (M,) ; on a choisi ces coordonnées d’une façon particulière, et en liaison avec un milieu particulier (M,), afin qu’on puisse ensuite porter l’attention sur (M5), à propos de la déformation infiniment petite,

ce sera le cas dans les applications que nous aurons à étudier, nous pourrons tenir compte de ces relations dans le calcul de W et déduire de W des fonctions plus particulières : la question intéressante qui se posera sera d’introduire simplement ces formes particulières, et de considérer, en quelque sorte, comme cachée, la fonction W générale qui aura servi de point de départ. Nous aurons aimsi une {héorie qui sera spéciale aux déformés particuliers mis en évidence par les relations données entre E;, mi, &;, pa Qu ri.

Nous verrons que l’on peut ainsi, au moyen de la théorie du milieu déformable libre, rassembler à titre de cas particuliers, et comme provenant d'une même origine, les équations qui sont le résultat des théories spéciales que l’on rencontre dans la Physique (‘).

Dans ces dernières, on se place quelquefois dans des circonstances propres à éviter la considération des déformations : en réalité, elles ont besoin d’être complétées ; c’est ce que l’on peut faire, dans les applications pratiques, en envisageant la déformation infiniment petite.

Prenons le cas où la force et le moment extérieurs ne renferment tout au plus que les dérivées premières des inconnues x, y, z et À,, X,, À, ; les dérivées secondes de ces inconnues ne seront introduites dans les équations aux dérivées partielles que par W ; or les dérivées de x, y, z ne figurent que dans E, ri, &, et celles de À, À,, À, ne se présentent que dans p;, qi, r;. On voit donc que si W ne dépend que de &;, r;, &;, ou.ne dépend que de p;, q;, ri, il y aura réduction dans les ordres des dérivées entrant dans le système d’équations aux dérivées partielles. Nous examinerons ici le premier de ces deux cas, qui correspond à la théorie ordinaire de l’élasticité des milieux matériels et à la théorie des différents milieux éthérés envisagés dans la doctrine des ondes lumineuses.

58. Cas où W ne dépend que de x, Jy 2m ëÿ ù & et est indépendant de p;, gi, r. Comment on retrouve les équations relatives au corps déformable de la théorie classique et au milieu de l'Hydrostatique.— Supposons que W ne dépende que des quantités x, Von Zo bi is Ge et non des p;, qi, ri ; les équations du $ 56, qui se réduisent aux suivantes :

à doW à oW > oW To 2W E = X,,

… We W W à sé 2W o 2W 22 or — ha À, + Âb, == O, dt, ON 0)e TE es 7 à 2Lo Cu dZo à 2oW omaoWatris LoN. Z,, ps +, —0, d%o … 27 dYo. 07 229, 7 dÀ4 dTo 2Yo 0%0

(1) Toutes nos considérations s'appliquent jusqu'ici aussi bien aux milieux matériels qu'aux différents milieux éthérés : nous n'avons prononcé nulle part le mot nr et ce que nous exposons est, comme nous l’avons dit au début, une théorie de | action sur l'étendue et le mouvement ; pour avoir une idée plus complète de la notion de matière, nous aurons à expliquer plus tard comment on doit rapprocher cette dernière du concept

d’entropie, suivant la vue profonde que Lrppmanx a introduite en Electricité.

dx 2z

6 9 ee 2

dans lesquelles W ne dépend que de x, Yo, Zo Nez montrent que, si nous prenons le cas simple où X4, Yo, Zo or bo, TQ sont

: j ax des fonctions données ({) de x4, Yo» Zor ©; Yr 2: HU

» Àj» Àps Àgr NOUS

dZ s :

Se À; À9) À les trois +0

équations de droite peuvent être résolues par rapport à },, À, À,, eton obtient finalement trois équations aux dérivées partielles ne renfermant, avec nos hypothèses, que zy, Yo, 2, et que x, y, z et leurs dérivées premières et secondes.

Envisageons d'abord le cas particulier dans lequel les fonctions données Lo Ab, Vo sont nulles ; il en sera de même pour les valeurs correspondantes des fonctions de l’un quelconque des systèmes (L,', M,', N;'), (Ls, Ms, Ni), (L, M, N). Il en résulte que les équations :

2W ass ! 2W Phone Libre De on nc ap

reviennent à

CU a CASE CD D BE de,

13e, 2Yo 337 Ty ? 3ÿo Sr A 2 dZ 2z dx dx dx A —+A,—+A, ——C — = Es va A AS 2% RS OZ AE ë dx dx 2x 2 2 2 Be ch 2 ss A, A — 7 — 3 L —0, 2T 2Ÿo oz 2To dy 22

c’est-à-dire à Pys —= Pzys Pzz — Pr: Pzry —= Pyzs

dont l'interprétation est immédiate.

Ceci posé, observons que si l’on part de deux positions (M,) et (M) supposées données et que l'on en déduise, comme au 8 53, les fonctions £,, Ab,, %,, il peut arriver, dans le cas où ces trois fonctions sont nulles, que ce résultat se présente accidentellement, c’est-à-dire pour un certain ensemble de déformés particuliers ; mais il peut arriver que ce résultat se présente quel que soit le déformé (M), que ce soit une conséquence de la nature des milieux (M), c’est-à-dire de la forme de W.

Envisageons ce dernier cas, qui est particulièrement intéressant ; W est

alors une simple fonction (?) dep, p2, ps et des six expressions &;, €2, Es, 1, Y> 3 définies par les formules (45).

(*) Nous supposons qne X;,, Yo: Zo, Lo Abo T9 ne renferment pas de dérivées de À, À, Às, pour simplifier l’exposition et pour indiquer plus facilement ce à quoi nous voulons faire allusion.

(?) Le trièdre est complètement caché ; nous pouvons aussi concevoir que nous ayons un milieu simplement ponctuel,

Les équations déduites des 8$ 52 et 53 se réduisent soit à

oA/ ji D ( EUR qGi — nB:) = X; F = lAs' + mAï + n,A;/, > Be, LA, = Y;, ' à SR Le = À, Go = DB: + mB; + nB;, t

2C; ! / pa (E an es qAt) = 2; H, = QC + MG + nG,

d€ dY 2Y oW oW Wal +.

B} —""; 5e Tu, RER GJ, k=— 1, 2,8),

soit encore à ({) :

do dA: dÂÀ + SA + Fe ———— À, F, — LA —+ moÂ2 —+ NoÂ3 2B: + 2B; + 2B; = de G, —= 1,B: + moB2 D Dei noBs,

Dr Ye 0 Ze

CON dC: 2C: 2 ss 2%, + A + 22 = 2%, H, =—— LC: —+ moC; — LA CPR

où l’on a 22 = + a — —— De %) 35° A Q, 2T, re 8 2Ÿo 2 oz Pr OR IN LENS A, — 9 To —+ 2 2Yo 1 2Zo dx dx dX dt A — E, — EL, — +0, =:

Às 33%, LE nr 2Yo Vo, dY = 2Y = or , Bi Op ess RENE ro). Je 2 = EE, —— — +, =?

B, 3 2%, on me 2 2Ÿo 1 2Zo dy — 04 B,—=#, — E, = + Q — >?

3 23, ie 2Ÿo 52 Z oz C, — Q 02 E, 22 + Œe —) : A dYo 229 me Ts dZ Q à és, = Led , CG, =E, es + Q, ay + E, 3% C,—#% oe = 22, Se 1 3Ÿo 2 A

(1) Comparer E. et F. CosseraT. — Premier Mémoire s

ur la théorie de l’élasticité,

2W =, soit encore à (!) :

en posant, pour abréger l'écriture, Q; — —-,

OPre 2e dPys ane Li LEE x: F — lp: + MPye + Mr

dx 2y oz

Pa 2e sr A a = = Y, G — P:y + Mpyy + Mzys dPrz dPys da — > Re + EE, Ho pes + Mrs + Mes

où l’on a :

I dx 2 ox \? dT DT — dr dt 0 0 =; ; el EE — Ho — — +ons—— |, à AETÉ = + ) +a(5) Vi 37,220 YA TA ae> |

et des formules analogues pour p,,, .…, À ayant la signification que nous avons donnée au $ 54 et que nous allons rappeler dans un instant.

Nous retrouvons, on le voit, le milieu continu déformable, dont il est question dans la théorie ordinaire de l’élasticité.

Un cas particulier intéressant s'obtient en cherchant pour quelle forme de W on a les identités :

‘ Pyz =— O, Pyz 10; Pzy == O,

quels que soient ,. .… On trouve que W doit être une simple fonction de

Los Yor & et de l’expression A définie par les formules (2) :

| T +2 3 2 A = EN RP 1+2 V1 le) (To, Yo» 20) Y2 1 I —+ 2 E3

ce que l’on peut voir, par exemple, en remarquant que si l'on se reporte aux formules données précédemment (*), qui fournissent p,, Py; P:r,.. en

fonction de À,, ..…., on a :

2W oW oW SD V0 32 dLo __ Yo __ d% o oA oA NEC RE 3% Yo 2% (*) Comparer E. et F. Cosserat. — Premier Mémoire sur la théorie de l’élasticité, p. 4o, 44, 65.

(?) Comparer E. et F. Cosserar. — Premier mémoire sur la théorie de l'élasticité, p. 23, 24.

(5) Ces formules sont actuellement celles de la page 47 de notre Premier mémoire sur la théorie de l’élasticité.

et deux systèmes analogues ; W étant supposé une simple fonction de x,, , et de À, on a ensuite :

Si nous considérons le cas particulier dans lequel W ne dépend que de A, et si nous admettons que l’on nous donne X, Y, Z exprimés en fonction de æ, y, z. les équations de la question, qui sont :

à + = YŸ, = 2,F— ip, G = mp, H — np,

dW : ; en posant p — À? deviennent celles qui servent de base à l'hydrostatique (:) ; le milieu initial (M,) n’apparait que par A, et on peut remplacer linconnue A par l’inconnue p qui lui est liée par la relation p — ue Si la fonction W

n'est pas donnée, est cachée, on a les équations précédentes, où p est une auxiliaire dont la signification est bien connue.

Il nous suffira d'indiquer que le cas où les fonctions £, Abs, A ne sont pas nulles comprend la théorie de tous les milieux éthérés que depuis Mac- Cuzracu jusqu’à Lorp KeLvin on a considérés pour l’étude des ondes lumineuses, mais ici la théorie de ces milieux est complètement mécanique. Nous mentionnerons également que le cas plus général, où il reste, dans les expressions du moment extérieur, la trace des dérivées de l’action W par rapport aux rotations p;, qi, ri conduit de la manière la plus naturelle à la notion d'induction magnétique introduite par MaxweLL.

59. Le corps invariable. — Nous avons considéré le cas particulier où W ne dépend pas de p;, q;, ri et différentes particularisations de ce cas ; on peut, soit par l’étude de déformations particulières, soit par l’étude de nouveaux milieux définis par une théorie des liaisons qui profite des résultats déjà acquis parvenir à d’autres milieux considérés au moins en partie par les auteurs.

Partons, par exemple, du cas simple dans lequel le trièdre est caché, c'està-dire en définitive d’un milieu ponctuel dans lequel W est une fonction de Los Vor Zor Et» E2r Er Yis V2 Ve

1. Nous pouvons concevoir que l’on porte l’attention uniquement sur les déformations du milieu pour lesquelles on a :

a =D = EE —= Yi —= ŸY2 — Ys — 0:

Il suffit, dans les définitions des forces, etc., d'introduire ces hypothèses, et, si les forces sont données, d'introduire ces six conditions ; dans ce dernier cas, les problèmes habituels correspondant à la donnée de la fonction W et au cas général où les £;, y; ne sont pas nuls, ne peuvent se poser que si les données sont particulières.

(1) Comparer Dunem. — Hydrodynamique, Elasticité, Acoustique,

Si nous supposons que seule, la fonction W, obtenue en faisant 2 — € — €3 = Yi = y = 3 — 0 dans W(o1, Ps, € .…) est donnée, que l'on ne connaisse pas les valeurs des dérivées de W par rapport à #4, #2, ... Y3, POUT 4 — € = — Y; — 0, qu’ainsi W soit cachée, nous voyons que p:., ... p., par exemple, deviennent six auxiliaires que l’on doit adjoindre à x, y, z; de sorte que, dans le cas où les forces agissant sur les éléments de volume sont données, nous avons neuf équations aux dérivées partielles à neuf inconnues, auxquelles on doit adjoindre des conditions accessoires.

Remarquons maintenant que l’on sait intégrer le système :

E = 2 = Eg = Yy —= V2 — Y3 — 0;

la déformation étant supposée continue, l'intégrale correspond à un déplacement d'ensemble du milieu ; il reste donc à déterminer les six constantes d'intégration et les auxiliaires p,.,

Si les forces et les efforts qui agissent sur le milieu sont donnés, en supposant connus X . en fonction de x, y, z, les six équations du $ 54, avec les simplifications apportées par la forme du W, appliquées au corps entier, détermineront les six constantes d'intégration ; il ne restera donc, pour compléter, qu’à déterminer ultérieurement p,, … On voit qu’en laissant de côté cette détermination ultérieure, nous retrouvons les problèmes habituels de la Mécanique des corps invariables, Mécanique dans laquelle on suppose peutêtre plus ordinairement que la fonction W cachée ne dépend que de A.

2. Nous pouvons concevoir que l’on cherche à définir un milieu sut generis dont la définition tient déjà compte des conditions :

E —= E9 = € = Ÿ, —= Ye —= Y3 —= ©.

Pour définir le nouveau milieu, en restant dans le même ordre d'idées que précédemment, nous définirons encore Fy', … N5' par l'identité :

JT£. SWdzx,dyodz, — 4 ES 0x + … + Kodk') do 80 So — [ff (Ko dx + … + ALTS) drodyodz, ; So

mais cette identité ne doit plus avoir lieu qu’en vertu dec, — .. — Ÿ — 0: en d’autres termes, nous envisageons un milieu dont la théorie va résulter de l’adjonction a posteriori des conditions &, — … — y, — o à la connais-

; à : } ‘ sance d’une fonction W (xs, Yo, Zor €» €, - Y3) et de six fonctions auxiliaires u,, ... pu, de to, Yo, &, au moyen de l'identité :

JS GW pt + added [| (Fo 9 x+...)do 0 80 — [ff (X0' 8x + …) drodydzo

ceci revient à faire €, — … — y; — o, dans la théorie générale qui précède, où l’on a commencé à remplacer W par W,=W +, +... + pys.

Nous retombons, on le voit, sur la théorie du milieu élastique correspondant à la fonction W, de x, yo, 2, 4, .… Ya, dont on se borne à étudier les déformations qui correspondent à &, — .., —Y; — o. Si donc nous nous plaçons dans le cas du W, caché, si nous supposons que l’on connaît simplement la valeur Wi(Zos Yo 2) que prennent simultanément W et W, pour é,— .… — 3 — 0, nous retrouvons la théorie qui comprend celle habituelle du corps invariable.

Observons que si, pour constituer le corps invariable, nous tenons, par un changement des auxiliaires, compte a priori, dans W, des conditions &, — … — Y3 — 0, nous sommes conduits à remplacer, dans les calculs relatifs au milieu général, W par pe, + ... + u,ys, et nous trouvons également des formules qui ramènent aussi à l'étude d'un milieu élastique, dont on se borne à étudier les déformations qui correspondent à :, — .. — y, — 0; ces formules, en supposant p,, ..., pu, non connus, nous ramènent de nouveau à la théorie qui comprend celle habituelle du corps invariable. À ce dernier point de vue, neus revenons à l'exposition que l’on peut faire d’après les idées de Lacraxce. Nous pouvons observer, en particulier, que dansle cas où X,, Y,,Z, sont données comme les dérivées partielles par rapport à x, y, z, d’une fonction + de &,, Yo, Ze &, Y, Z, les équations dans lesquelles figurent X,, Y,, 2, ne sont autres que les équations auxquelles on est conduit en cherchant à déterminer un extremum de l’intégrale

Î d NE çdædyodzs,

E = E9 = Eg = Ya = Yo —= Ÿ3 — 0,

sous les conditions

3. Exposons un troisième procédé (‘), pour constituer un milieu dont la théorie conduit toujours aux mêmes équations et qui sera un cas limite du milieu primitif, Ce procédé est à rapprocher du premier, et s'applique aussi aux différents cas de ligne et de surface déformables.

Concevons que le W qui sert de définition au milieu primitif soit variable, et, pour fixer les idées, supposons-le, pour les valeurs £,, .… Y, voisines de zéro, développable en série de Macraurin par la formule :