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où W,; représente l’ensemble des termes du i* degré. Admettons que les coefficients de W, (qui peuvent dépendre de x,, Yo, &), dans leur variation, augmentent indéfiniment ; sinous voulons que W conserve une valeur finie, nous devons supposer QUE €, ...s Ya tendent vers zéro ; autrement dit, nous ne pouvons alors considérer que les déformations qui satisfont à €, — ... —Y,; —0;en
(1) Comparer Tnowsox et Tarr, — Treatise, vol. I, Part. I,p. 271, à partir de la 11° ligne comptée du bas.
d’autres termes, le corps auquel nous parvenons à la limite ne peut prendre que des déplacements d’ensemble. Nous pouvons supposer que les dérivées 2W ET dire, on fait varier également en conséquence une déformation étudiée de ce milieu.
Pour expliquer d’une façon plus précise ce qui précède, concevons que les coefficients de W,, W,, … dépendent d’un paramètre h, de sorte que lorsque h tend vers zéro, ceux de W, augmentent indéfiniment; pour fixer les idées,
, …… tendent vers des limites lorsque W, variant comme on vient de le
£ À EE MES supposons ces derniers coefficients linéaires par rapport à k concevons égale-
ment que x, y, z, qui définissent une déformation étudiée, varient avec h et de sorte que €,, .… tendent vers zéro ; nous supposerons en outre que e,, .… sont infiniment petits du premier ordre par rapport à k, par exemple que €, … se développent suivant les puissances de h, les premiers termes du développe ment étant ceux en À. Dans ces conditions, W tendant vers zéro, Eos. ee
EE 3 tendent vers certaines limites (qui pourront être des fonctions de x,, ÿs, 29) ; si donc, nous considérons les équations du $ 52, qui servent de définition à la force et au moment extérieurs, elles nous conduisent finalement à des formules permettant de les définir, et qui ne sont autres que les équations du point de départ, dans lesquelles la notion de la fonction W a disparu, et dans lesquelles figurent six auxiliaires F,/, G,/, H,', L;', J,', K;'-
60. Milieu déformable en mouvement. — La théorie du mouvement de la ligne déformable et celle du mouvèment de la surface déformable se sont présentées très naturellement comme des particularisations de la théorie de la surface déformable et de celle du milieu déformable ; il a suffi pour cela de donner à l’un des paramètres p; de la surface ou du milieu la signification du temps. Comme nous n'envisageons pas ici la statique d’un milieu à plus de trois dimensions, nous devrons, dans ce qui suit, exposer directement la théorie du mouvement d'un milieu déformable; mais nous lui donnerons néanmoins une forme entièrement analogue à celle que nous avons indiquée pour la dynamique de la ligne déformable et de la surface déformable.
Considérons encore un espace (M,) décrit par un point M,. dont les coordonnées sont &,, Yo 2, par rapport à trois axes rectangulaires fixes (x, Oy, Oz, et adjoïgnons à chaque point M, de l’espace (M,) un trièdre trirectangle dont les axes M,x,, Miy's, M,'z, ont, par rapport aux axes Ox, Oy, Oz des cosinus directeurs qui sont respectivement a,, &/', &" ; Bo; Bo's Bn° 3 Yo» Yo Yo» et Qui sont des fonctions des variables indépendantes x,, y, 2o-
L'ensemble continu à trois dimensions de tels trièdresM,x,/y,'z,' peut être considéré comme la position à un instant déterminé {, d’un milieu défor mable défini de la façon suivante.
Donnons au point M, un déplacement M,M fonction du temps {, de la position du point M, et s’annulant pour {—1, ; soient x, y, z les coordonnées du point M, que nous considérerons comme des fonctions de x,,ÿ9, Zs t. Impri-
mons en outre au trièdre M,r,'y,'7, une rotation qui amènera finalement ses axes à être ceux d’un trièdre Mz'y7 que nous adjoindrons au point M; nous définirons cette rotation en nous donnant, lpar rapport aux axes fixes Ox, Oy, Oz les cosinus directeurs a, a!, a"; 6, 8, 6; y, y! x" des axes Mz', My, M7; tous ces cosinus seront, comme x, y, z, des fonctions de Tor Jo» Ze» t-
L'ensemble continu à trois dimensions des trièdres Mx’y’z’, pour une valeur donnée du temps {, sera ce que nous appellerons l’état déformé du milieu déformable considéré à cet instant t ; l'ensemble continu à quatre dimensions des trièdres Mx'y’7 obtenu en faisant varier { sera la trajectoire de l'état déformé du milieu déformable.
Pour la commodité de l'écriture et des notations, nous introduirons parfois dans ce qui va suivre, comme nous l’avons déjà fait, au lieu de x,, y,, zo, les lettres p,, p,. P,. Nous continuerons de désigner par £;(%, r(0), £;(0) les composantes de la vitesse de l’origine M, des axes Mx,', My, M2 suivant ces axes, quand p; varie seul et par p;{°), q:°), r;(9) les projections sur ces mêmes axes de la rotation instantanée du trièdre M,x,'y,/z,' relative au paramètre p.. Nous désignerons par &;, ñ;, &; et par p;, qi ri les quantités analogues pour le trièdre Mx/y2’, lorsqu'on le rapporte, comme le trièdre M,x,'y,/z,', au trièdre fixe Oxyz.
Quand le temps t varie, et que le mouvement du trièdre Mx/y'z' est rapporté au trièdre fixe Oxyz, l’origine M a une vitesse dont les composantes suivant les axes Mx’, My, M7, seront désignées par €, n, &, et la rotation instantanée du trièdre Mx'y/z' sera définie par les composantes p, q, r.
Les éléments que nous venons d'introduire se calculent comme au $ 49 ; on a d’abord les formules :
Ls € r dY r.,04. : — CPR CAS
CHA à C4 = Lu PER 28;
(54) D 2 Lx (55) a=Dsri— Die dx 2v az VENFAOTENER 28.
RP EE ner De
auxquelles s'ajoutent les suivantes :
nd Nr dy,
ee +a + PF gl QT Bd
r d n dz 1 Em ASE da,
(54) = PR +8 D +8 m E9)3=2" x Date df
d d MN PEN, de;
er +T + == ex
en introduisant dès maintenant la distinction des notations pour les fes 1 r par rapport au temps suivant que l'on prend y, Yo 20 ? OÙ #, Y, 7, ! POU
variables indépendantes. NA. # Supposons qu’on imprime à chacun des trièdres de la trajectoire de l’état
déformé un déplacement infiniment petit pouvant varier d'une façon continue avec ces trièdres. Avec les mêmes notations qu’au $ 50, nous aurons :
(56) dx — Bôrk' — yô!, (57) Sa da! + 2/05! — y'dr!, dy — dy + g'ôn— 701, d'z— 07 + y — x'ds,
: o' À 4 aoû à.
dE —rÔr — 03 + ES + quiz —rd'y, | ôp;—— + qe —rôs, : d9; d9; DU n LU 0! s « où! s (58) = Lo! —. Edr SJ ue r 0x — pô'z, (59) } Ôq: 3 ue rx —poK', ni Pi 5! 2 d0r ; DE —E05 — n;Ô1 + ee +p3'y —q'æx, | dry — + ps —q1, dP: d9i = dè'x à k dôr! k “ DE — nôr — Ly' DIE EE qg9'z— roy, Op Ar + Br — rèr,
di
(58') { Ôn— Eô1/ — Ed” — + rdx — pdz, (59')4 àq — + rot — pôr', | SG — Ed5! — nôr ne + p5y —qi'x, Ôr — re qùr'.
61. Action euclidienne de déformation et de mouvement sur un milieu déformable en mouvement. — Considérons une fonction W de deux positions infiniment voisines du trièdre Mx'y/7 , c’est-à-dire une fonction de Los Yor Zor t de &, y, 2, a, a’, .…, y” etde leurs dérivées premières par rapport à Los Yo» Zo L. Proposons-nous de déterminer quelle doit être la forme de W pour que l'intégrale quadruple :
J de ï, Waxzdyodzdt,
étendue à une portion quelconque de l’espace (M,) et à l'intervalle de temps compris entre les instants {, et £,, ait une variation nulle, quand on soumet l’ensemble de tous les trièdres de ce que nous avons appelé la trajectoire du milieu déformable, pris dans son état déformé, à une même transformation infinitésimale quelconque du groupe des déplacements euclidiens.
Il s’agit, en définitive, de déterminer W-de façon que l'on ait : 2W — 0,
lorsque, d’une part, l'origine M du trièdre Mx/y’z' subit un déplacement infiniment petit, dont les projections ôx, êy, Ôz sur les axes Ox, Oy, Oz sont
{ 0x — (a, + w,7 — w,y)}ôt, (6o) Sy — (as + w,x — w,z)Ùl, 7 — (a, + w,y — w,r)dt, OÙ 4, 3, y, Wy, W, W, sont six constantes arbitraires et à une quantité infiniment petite indépendante de x,, Yo, Z» t, et lorsque, d’autre part, ce
trièdre Mx'y’z' subit une rotation infiniment petite, dont les composantes suivant les axes Ox, Oy, Oz sont :
WÔ, &Ùt, wôt.
Il nous suffit de répéter le raisonnement que nous avons fait déjà à plusieurs reprises, pour voir que la fonction W cherchée a la forme remarquable : Wx,, Yo Zo» t, ë, Qis Lis Pis Yo Ti (4 > & P; 4 k), analogue à celle rencontrée pour la ligne, la surface et le milieu déformables en repos. Nous dirons que l'intégrale
|: : l il Waxidyodzdt ti 80
est l’action de déformation et de mouvement, à l’intérieur de la surface S, sur le milieu déformé en mouvement et dans l'intervalle de temps compris entre les instants £, et t,. Nous dirons d’autre part que W est la densité de l’action de déformation et de mouvement, en un point du milieu déformé pris à un instant donné, rapportée à l’unité de volume du milieu non déformé et à l’unité
de temps ; en donnant à À la même signification qu’au $ 54, N est la den-
sité de cette action en un point et à un instant donnés, rapportée à l'unité de volume du milieu déformé et à l’unité de temps.
62. La force et le moment extérieurs ; l'effort et le moment de déformation extérieurs; l'effort, le moment de déformation, la quantité de mouvement et le moment de quantité de mouvement du milieu déformé en mouvement, en un point et à un instant donnés. — Considérons une variation quelconque de l’action de déformation et de mouvement à l’intérieur d’une surface (S) du milieu (M) et dans l’intervalle de temps compris entre les instants {, et {,, savoir :
à f” sl [ff None fe [ fi If i Ga SE, + w nee 2 th
W aW,. Tr r) +?
dPi dQi
not HS
>W. 4 aW,.
Le ae 8p+ EE EL Die — al, dy,dzçdl.
Nous pouvons l'écrire, en vertu des formules (58), (58'), (59), (59°),
:[° JE état [ s fl ‘| E Ed (nr — 65 HP +qÿ'zr y)
4 d9/z us a Gr +, SK! } aù St +rètz T— Pi 5 + = Net re dpi +po ÿ# qi 5 x) NA W /25 Sv/ 2W fo ee + qe rs jose : -+rôr La ue He )]
dÿ + non civ + ÊE + qde —r5y) +? D (EN — Ext + +rèr— — p>'2)
à W di ; ani q° da} Cr +qèr' —rè")
oW (ue ) oW (GE
rs Er — pôr RS + ps — =) lande
Appliquons la formule de GREEN aux termes qui renferment explicitementune dérivée par rapport à une des variables p,, p,, p4 et effectuons une intégration par parties sur les termes qui renferment explicitement une dérivée par rapport au temps {; il vient, en désignant par L,, m,, n, les cosinus directeurs, par rapport aux axes fixes Ox, Oy, Oz, de la normale extérieure à la surface Sy, qui limite le milieu avant déformation à l'instant {, et par ds, l’élément d’aire de cette surface :
b ë 1 : jy 1. Wax, dy,dzjdt — oW dW oW oW 2W 1 JIRICE: TAN Mr TT EE A RP ee 0 5m "0 on Pr
me Ge ds
+ (LES o + m .. + ae + fu +M a +7 ex {ar dt dq ùr, ùr; 3
, W,,, .èW De OS Ne. { A [IT CE ( Va+e Ur a es be Ô3 Mix juni Le
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et en outre
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posons d'autre part :
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