RS

à dW dW doW d dW oW oW dm \dpi db on ) TE

et à oW dW doW dW doW Lo = XE dpi FH, ee, Se Aa) d dW 2oW dW dW doW

a pet ar 2 Ra Eee = Zi + noue pra + UE R) o dW à ù nn A da in “) “ For 2g. À? op Sr

nous aurons :

d 3 1h : 4 si is Waz dy dzqdi li 80

b 2 P [Tome eme + Late +R hu s9 b Se 1 he à, (A De + Boy + C2 + Por + Q'os + Rx éd | sp A le — [ TT. (Ko a+ Y oy+ Lo 2 + Là + M, 01 + No )dx dyodzdi. n So

En ayant d’abord égard à l'intégrale quadruple, qui figure dans l'expression

t de Ô di 2 vi fe War, dyodzodt, nous appellerons force extérieure et moment h 59

extérieur au point M et à l'instant t, rapportés à l’unité de volume de la position du milieu à l'instant t,, les segments ayant leur origine en M et dont les projections sur les axes Mr’, My’, M7 sont respectivement X;/, VZoetL MN

En ayant ensuite égard à l'intégrale triple prise par rapport au temps et étendue à la surface S,, nous appellerons effort extérieur el moment de déformation extérieur au point M de la surface S, qui limile le milieu déformé à l'instant t, rapportés à l’anité d'aire de la surface S,, les segments issus de ce point

M et dont les projections sur les axes Mx’, My, Mz' sont respectivement —F,,—G;,',—H,'et—1I,',—J,;,—K;,'. Ces six dernières quantités, en un point déterminé M de (S), ne dépendent que de la direction de la normale extérieure à la surface S ; elles restent invariables, si la région considérée de (M,) variant, cette direction de la normale ne change pas, et elles changent de signe si cette direction est remplacée par la direction opposée.

Supposons qu'à l'intérieur du milieu déformé limité par la surface S, on trace une surface ©, circonscrivant, soit seule, soit avec une portion de la surface S, une partie (A) du milieu, et désignons par (B) ce qui reste du milieu en dehors de la partie (A). Soit 3, la surface de (M,) qui correspond à la surface © de (M) et soient (A,) et (B,) les régions de (M,) qui correspondent aux régions (A) et (B) de (M). Séparons par la pensée les deux parties (A) et (B): on pourra regarder les deux segments (— F,/, — G;', —H,') et (— 1, —J;!,—K;'), déterminés par le point M et pour la direction de la normale menée à 3, vers l'extérieur de (A,), corame l'effort et le moment de déformation extérieurs au point M de la frontière Z de la région (A); on pourra regarder de même les deux segments (F,/, G,/, H,') et (1;', J;', K;') comme l'effort et le moment de déformation extérieurs au point M de la frontière © de Ja région (B). En raison de cette remarque, nous dirons que —F;/,—G;/,—H;/et— 1, —J,, —K,' sont les composantes suivant les axes Mx’, My’, Mz de l'effort et du moment de déformation exercés en M sur la portion (A) du mulieu (M), et que F,/, G,', H,'etI,/, J,', K,/ sont les composantes suivant les axes Mx’, My’, M2 de l'effort et du moment de déformation exercés en M sur la portion (B) du milieu (M).

Enfin, en ayant égard à l'intégrale triple étendue au volume de (M) à l'instant {, dont les valeurs sont prises aux instants extrêmes {, et £,, nous appellerons quantilé de mouvement et moment de quantité de mouvement au point M du milieu déformé (M) à l'instant t, les segments ayant leur origine en M et dont les projections sur les axes Mx’, My’, Mz’ sont respectivement A', B’, C’

et P', Q/R.

63. Spécifications diverses de l'effort et du moment de déformation, de la quantité de mouvement et du moment de quantité de mouvement — Posons, comme au $ 53,

PE nl 0

dË, ? LR one FES AU 01% Ro tre + dpi ? l'a dqi” An 2e) or; ?

A, B;/, CG et P;, Q;, R} représentent respectivement les projections sur Mz', My', Mz' de l'effort et du moment de déformation qui s’exercent au point M sur une surface qui, avant déformation, avait pour normale au point M, la parallèle à celui des axes coordonnés Ox, Oy, Oz qui correspond à l'indice i ; il suffit, en effet, de se rappeler qu’on a déjà convenu de remplacer par p;, Per Pas les lettres x, y,, Z, qui correspondent respectivement, d’après cette convention, aux indices 1, 2, 3. Cet eflort et ce moment de déformation sont,

rappelons-le, rapportés à l’unité d'aire de la surface non déformée à l’instant !.

Les nouveaux efforts et les nouveaux moments de déformation que nous venons de définir sont liés aux éléments introduits dans le & précédent par les relations suivantes :

de = LA;' + mA! + LUN: VAR LD EPr + mP;' + LE G = LB, an mB2' Due noBs/, J,' = AO Eu mQ:' ce nQ;' HO On Can Ce ER AR EnRe

dA; ! dA' ! / !

2 (+ + 0 —n8/) + D + ac — rB — X, =—— 10

EE + ra EF ON TE (RE ONE En 2P; ill Pibi AT TA — pu — }, —0o Y 2C; !

> (= + PB! — qi) + % + pB'— qA' — 2, 0

apr ‘ ! ! ! 12 !

pe ee = qiR4 Es rQ,; Se Ci —t;B; } + +38 —1Q'+1nC'— ÿB'—L,—o,

2Q; / : dQ' ] > (ee: + rP;/ — ph} + A; —;C; }+ e Ar —pR'+£A'—!C' M, —0,

oR; ÿ à dR' ; , , D ee + pQi— qiP} + 6B; At) Te Pr —+pQ —qP'+iB —"nA—N,—0.

On peut se proposer de transformer les relations que nous venons d'écrire, indépendamment des valeurs calculées au moyen de W, des quantités qui y figurent. Ces relations ont lieu, en effet, entre des segments attachés au point M et auxquels nous avons attribué des noms; au lieu de définir ces segments par leurs projections sur Mzx’, My', M2’, nous pouvons tout aussi bien les définir par leurs projections sur d’autres axes ; ces dernières projections seront liées par des relations, transformées des précédentes, Les relations transformées s’obtiendront d’ailleurs immédiatement, si l’on remarque que les formules primitives ont des interprétations simples (!) par l’adjonction aux axes mobiles des axes qui leur sont menés parallèlement par le point O.

1. Bornons-nous, comme pour la statique, à la considération des axes fixes Ox, Oy, Oz ; désignons respectivement par X,, Y,, Z,etpar L,, M,, N, les projections sur ces axes dela force extérieure et du moment extérieur en un point quelconque M du milieu déformé à l'instant, par F,,G,, H, et par L,, J,, K, les projections de l’effort et du moment de déformation sur une surface dont, avant déformation et à l'instant {, la normale extérieure a des'cosinus directeurs !,, mor Po, par Ai, B:, C;, et par P;, Q,, R; les projections de l'effort (A}, B';, C;) et du moment de déformation (P;, Q;, R/), par A, B, C, et par P, Q, R les projections de la quantité de mouvement (A, B, C) et du moment de quantité

(:) Une interprétation intéressante à noter est l’analogue de celle donnée par P. Sanwr-Guicuem à propos de la dynamique du trièdre.

de mouvement (P, Q, R). Les transformées des relations précédentes sont évidemment :

F, = Ai + M3 + Pos b — Pi + MP + n0P3

Go = LB, + MB; + nBs J, = 4Q, + mQ + nQs

H,= LC, + mC; + n0Cs K, = GR + mR + nm Rs

A D den ee ee D + D = 0:

= Le + + GR + G + GE + CY D SRE A NT Te — 0 0 À — CT Mo + ++ R+BË +R +R —A D DA APN — 0.

2. Observons maintenant que nous pouvons exprimer les neuf cosinus &, «', .,. y’ au moyen de trois auxiliaires À,, À,, À. Posons :

Eyd$ — — Ed} — w,'dà, + vd), + s,/d),, Sad} = — Eyda = dl, + xd, + xs ds, Efda — — Sad$ — 6, dh, + 0,'dh + 0,'dà,.

Les fonctions w;, y;, 5; de À,, À,, À,, ainsi définies satisfont aux relations, que nous avons déjà écrites plusieurs fois,

o5/ __ow; / PR an SE dues n) dy: He a "T ai + sw; — sjmi —0, (7 — 1, 2, 3), oc 25;! !

se À; + Di}; — BjXi — 0, et l’on a :

= 1 dy r dh9 , oh dÀ d dA Passons Lio sat ane HIDE + 2h, rs dd a dÀ dA at men qu Q + x Du De 2À aÀ à di d Re Ce r Ag rs 243 pr dA : aps CELL Fac LEE Si hante dcr

OÙ To —= Pys Yo = Par 2 — P4. Désignons par w;, L;, 0; les projections, sur les axes fixes Ox, Oy, Oz, du segment dont les projections sur les axes Mz, My’, M2’ sont 5, X/, 5/, nous aurons :

Ex'da” = — Lada — w,d), + w,dÀ, + wodÀs,

Eéda = — Sade — 4h + X,dh, + Xdà,,

Eadx — — Zu'da — 5,dÀ, + 5,dà, + s,dh,,

en vertu desquelles (*) les nouvelles fonctions ;, %;, c;, de À,, À,, À,, satisfont aux relations :

sg) = 2 RP VUE aÀ; aÀ S dY; DE 2 + C3 RE er On End (LJ — 1, 2, 3).

27; 27 = GS — Dix CLÉ a);

nous ferons encore la remarque, qui nous servira plus loin, que si l’on désigne par ÔÀ,, ÔX,, x, les variations de À,, À,, À, qui correspondent aux variations da, dœ/, ... y” de a, «’, .… ÿ”, on aura :

à — m0, + w,'0À, + w', ÔÀ,

Ô3 — YX4 0À, + X3 0 + X3/0dg

di — adr + BDs + yôr — wi, + md), + md,

05 — ddr + Pos + Ve — OX, + XX + Hô ds,

Ôr — "dr + R'ôr" + Yon — À + SX, + 0, où Ôr, 5, x sont les projections sur les axes fixes du segment dont les projections sur Mz’, My’, Mz', sont Gr, ds', Ôk'. Posons maintenant

I = 81 + XI +R = +2 + ok, To = 1 + X9 + Ko = Gil, + X2do + SaKo Ro= 0/9, + 430 + SK, =, +XS, + 5K,, L=8L) +UM + SN = 0L, + XM + aN,, M = DL + XM'o + SN = SL + XaMo + SaNos Vo = SL, + X3 Mo + SN = Lo + X3Mo + ss:

Introduisons en outre les notations suivantes :

'— w,'P; D XQr + SR; — GP: + y1Q: + SR; X= 0, P} + 43 Qi + SR = 0,P; + x + SR, 2 == 0, P; + xs Qi + SR = SP: + xQi + SR; Do? + X3'Q' + SR = 0,P + 4,Q + os, R, 0, + Xe Q + SR = 0 + 0 + s,R, = mp +4Q + SR = 0? + 4Q + AR,

(t) Ces formules peuvent servir de définition directe aux fonctions wi, #;, oi et être substituées à mi es + By + vs, x = da! + By + y, (GT 12,3).

= oo! + BL + Y'si!.

= 4 u ! ! D/ nous avons, à la place du dernier système où figurent soit P/HO0 RP

Q', R', soit P;, Q;, R;, P, Q, R, le suivant :

d2i dPi

—L, + DE { (eu +5 ri, (22 +rat-pes/) RE +41!) + A (yG — on) + B' (0 — 5,6) +CG'(o,'n: — 1%) | D —P(ŸE +qs—rut)-Q(2 +ra pat) -R (SE +pul—qui') + A! CE — 59) + B'('E — ù, 5) + C' (mn — 8) — 0, avec deux équations analogues. Si l’on remarque que les fonctions &;, x, &,

21, oÀ, où, d, dx, di Pete ete ep De RC Se

donnent

lieu aux formules :

me + Lit — 5j Oo, à. = a. + gsÿ — rue = + 0j/6 — wjki — 0, Se = Je + nm; — psj, +ojn— jh = 0, 7 se Ve 07 Fr À + 4j — ojn —0, : ee — . US TH

+ 0j — mé —0, se = Se. + rm; — po;,

ob OS ds;

“> Eu wir EE X'E — O, Ve it + px = q5;',

qui résultent des relations de définition des fonctions &;', x; , s;' et des neuf identités qu'elles vérifient, on peut donner au système précédent la nouvelle

forme :

all; r dsi # di 1 dSi ! dPi : Me r Qi AD 2 | — + +) i a, B; a), C:; 3 P; 31 Q; aÀ R; aX, dn » dË ons rot , 2pP 1 2 or Un AS do a CS

avec deux équations analogues.

3. Nous allons enfin faire subir aux équations que nous avons introduites

précédemment une transformation analogue à celle qui nous a conduit au 8 53 à la généralisation des équations de la théorie de l’élasticité qui sont relatives à l'effort.

Pour abréger l'écriture, désignons pour un instantpar%,' Vo 29 Lo » bo, 105!

les premiers membres des relations à transformer, qui renferment respec-

tivement X,, Y,, Z,. L,, M,, N,, et observons qu’on peut résumer les douze relations que nous avons établies dans la suivante :

és “ Î [ de Ro + Yoda + Bo 3 + Los + Abo'Ha + Vos) drodyod:çdt t So

be + f sr 1 — LA mA, —nA3)h + (Gi — 18, —m0B; — roBs)h 1 ME)

+ (5 — QG, — m3 — 2603) À3 + (lo — UP4 —mMmoPr —noPs)# + (TS —LQ,—mQ,—nQ.)u+(K—LR,—mR,—nR;) PA doydt=0,

où À4, Àg Àgs Mir Ms LA Sont des fonctions arbitraires et où les intégrales sont étendues d'une part à l'intervalle de temps compris entre les instants t, et 4, et sont relatives d’autre part à la surface S, du milieu (M,) et au domaine limité par elle. Appliquant la formule de Green et le procédé d'intégration par parties, la relation que nous venons d'écrire devient la suivante :

L Hu Koh + Yade + Zohs + Lots + Mot + Nots) drodyodzodt LA dit Eh + Go + Hs + Lots + Joux + Kous) doodt

b “ î ï FL (A, + B2, + OX, + Pu, + Qu: + Ru) desde, À /4

b dh4 dh4 dÀ, d\ d\ de e a =} DAC TO és 4 a en Un CSP

du du dpi, pdt 9 dp 0, nd -f JE Ps C4 HR Os 0e HoQsr

d d d sr = +R, > R. “ +R %) deydyodzodt

à d LEg-asereet

d ù d msg» = PAR. “ See u æ#; a) ti drodyodzod

dx dy b CREER. VAR Al dz + dk (ae + yo 3 oz di dx dt dt dx RES C: A — L M — GC A (0 “| tdæodyodzodt

d 1 HER À, 27 A; = À A bsdæodyodzçdt — 0.

Cherchons la transformée de cette dernière relation, lorsqu'on prend, en conservant {, pour autres nouvelles variables, les fonctions x, y, z. Appliquons les formules élémentaires du changement de variables rappelées au $ 53 aux fonctions À4, À, 3 Hs M Us; S indiquant toujours la surface du milieu (M) à l'instant t, qui correspond à la surface S, de (M;), désignons de plus par X, Y,Z, L, M, N les projections sur Ox, Oy, Oz de la force extérieure et du moment extérieur appliqués au point M- à l'instant { et rapportés à l'unité de volume du milieu déformé (M), et par F, G, H, I, J, K les projections sur Ox, Oy, Oz de l'effort et du moment de déformation, qui s'exercent au point M sur $, rapportés à l'unité d’aire de S. Introduisons enfin, comme au $ 53, dix-huit nouvelles auxiliaires p,,, ..., q ..., par les formules :

dx Apas = À à FM SA AE Age Pain + Pen 2.

d d d APy: = À: Lens 5 +A; a Bu = Pa + Pa + Psp Ab — At ra k M pr èz dz P: ie Sc TA - A a Age —P; rar ban

et par les Cs obtenues en remplaçant :

A4, Ao, As, Przr Pyxs Pzxv Ps, Pr, Ps, Izxs ur zx respectivement par B:, B2, Ba, Pays Puy Pays Qu Qù Qs zu» Quyr Asus Gi, Co, Css Pass Pysr Pzzr Ris Ro, Rs Qrss Quss Qzs

la quantité À ayant même expression qu’au $ 53. Nous obtenons la relation transformée : |

b — [ be (XA + Yl + Zh3 + Lu se My re Nu) drdydzdt lb +, Je + Gk + HX + In + Jus + Kys) dodt C P £ ie nu A+ Am+xm+ . he ne d/ e À, SN a ne a Pus à =D “vi + Psy — te. dÀ3

A Fe B dx C dÀ Adi APE a) et

— ei db dp4 D , ’ JT (qe dx + ur dy + se à = y 2 de See icte Be

puis par

P du, Q du R d s NP Dune der à “) dxdydzdt " [LYC Cdy Bd Adz Cdx F 1e Parade à a Jet (pepe a)

20h ve JE di dy Te (Pa Pur + EX a AE A à) 3 Véréydedr = —= 0,

où les intégrales sont relatives d’une part à l'intervalle de temps entre les instants /, et 4, et d’autre part à la surface S du milieu (M) à l’instant tet au domaine limité par elle, do désignant l'élément d’aire de S. Appliquons de nouveau la formule de GREEN aux termes qui renferment * les dérivées de À, Às, À3, Hi bo, be par rapport à x, y, z, et une intégration par parties aux termes qui renferment les dérivées de À, À, Às, Hi, Ua Us par rapport (*) à £, et désignons par !, m, n les cosinus directeurs, par rapport aux axes fixes, de la normale extérieure à la surface S à l’instant {; il vient, puisque À4, À, À3, Eu, me, 3 sont arbitraires : F— pr + MPyz + Mis L= lu + Myz + Nes G = Pry + Mpyy + NPay J— Q:y + My + ny H—= Ps + MPyz + NP: Le lQzz + My: + NQ:z;, DD AO 0p, Sp, TA = — = —+ +

dX dy dz Dry à Puy à Psy | 1 dB y D on de cdd ae

dPrs dPys | OPsz | 1 dC

dre + dur + ds de. non na Baden pre à or AR UUPE CUr A ARR Ads De À m9 du Vsy , 2 1 dQ A dr Cdz nie A PCR OA del qi a dre | Vus + Vs Te AMAR Age NX — Dem ion der PA I A TA dun 0:

La signification des dix-huit nouvelles auxiliaires p,,, ..., Q:, .. résulte immédiatement des relations que nous venons de trouver. Il est clair, en effet, que les coefficients p,, Pzy, P.: de | dans les expressions de F, G, H représentent les projections sur Ox, Oy, Oz de l'effort qui s'exerce au point M sur une surface dont la normale intérieure est parallèle à Ox, et que les coefficients Qu» Qrys Gzz de À dans les expressions de I, J, K sont les projections sur Ox, Oy, Oz du moment de déformation en M relatif à la même surface.

64. Travail virtuel extérieur; théorème analogue à ceux de Varignon et de Saint-Guilhem. Remarques sur les auxiliaires introduites dans les paragraphes précédents. — Nous donnerons le nom de travail virtuel extérieur sur le milieu déformé (M) entre les instants £, et £,, dans une déformation virtuelle quelconque, à l'expression :

b dO, —= — ET (A x + B'ô'y + C'àz + P'ô1 + Q'55 + R'ôk')de,dy,dz, EN n a JT (F x SE G,T'y Cie H,/o’z a ni L;'ür' + Jos + K,'ôr')dosdt on So

+ [© I. Ko d'e+Y dy +2,/02+ L,/81 + Mr + N,'èr')drodysdzodt. li 80

(*) Comme le champ d'intégration varie actuellement avec f, nous effectuons cette intégration par parties en passant par l'intermédiaire des variables x4, Yo» Z0; nous supposons que À est positif et égal à [A[.

Reportons-nous aux notations du $ 60, et désignons de plus par êr, üs, ôx les projections sur les axes fixes du segment dont les projections sur Mz', My’, Mz' sont Ôr', dj, àr', en sorte que l’on a, par exemple : On — PLU se prog se y! ss (a/œ" ss B'àg" are 37"), en supposant toujours les axes que l’on considère de même disposition. Cela étant, supposons au $ 63, 3 que l'on attribue aux arbitraires À,, },, À,, Bi La, 3 la signification définie par les formules :

= Ôæ, À — Ôy, À — Ôz, PR êt, Ho 03, M — ÔK.

Nous voyons alors que les relations obtenues précédemment entre les nou-

velles auxiliaires introduites ne font qu'exprimer la condition suivante : Quels que soient les déplacements virtuels du $ 60 imprimés à la trajectoire du

milieu re le travail virtuel extérieur 8G, esl donné, soit par la relalion :

at dx d9y o0z — 00, — (pe EE + Pie De 2y PHP + Pr ++ ps

LA CE à B de C dôz Fad ta dt Ad ) HUE

b 2e +f ” es © AT = Re Ce 3 TE 2x 1. MES LE

P dù Q dis +. À dèr

Cdy Bdz Adz Cdx -f° FIX \(py— Part À gr ja )à + (pe TRE Adi a)

B dx A dy\, mir Fe Pie A DE A ëx À dxdydzdt,

où les intégrales sont étendues à l'intervalle de temps compris entre les instants t, elt, el au mulieu déformé, soit par la relation :

b S a * © ee se ne 29 d0z — 06, — A + À PA CA tel d0Z !! LL ‘2% * 2Yo ° à Lorx FAÈT CEA

dix di dèz +ATE+BS + C, ) dæ,dydzodi

lb Li ns LS SS LU : dÔI aoû dût dôs o0K + [ ff. (P x P AE P Re EVA 148 R g de "èTo °2Yo ° 2% @ CE ae. 2Zo

À . + P a+ + Q a+ Rae Jérdy dtt — [ DAC 12œ, FOR HG +CE —B ER, X —p, D : ) rdrodydrudt ENTER C0, e —C, . : = —C de) dsdc dy,dzçdt

b s — RUE 2æ A née J, JL re DER AURS

SA UE AT ay dy\s À, 2, À; ARS | AQU A e Jéxde dy desdt

où les intégrales sont étendues à l'intervalle de lemps entre les instants t, el 1, et au milieu non déformé à l'instant t, car la formule :

ÔG, — =} [ff (A SX + B'5y + C'ôz — P'àr + Q'/ LE, R'ôr')dx,dy,dz, 2 S [A

lb — f ff. (PF 0x + G'èy + H,/5z + [,'àr + Jos" + K,/dk’)do,dt li So.

k — à Îf (f. (Ko 8'a+Y 842,824 L 'ô1+ M, 83+ No'ôx')dx dydzodi, th 50

donnée plus haut, pour servir de définition au travail virtuel extérieur, peut aussi s’écrire :

t 8G, — =} [ff (AËx + Bôy + Côz + Pôr + QÙs + Rôx) dr,dy,dz, S9 t

— f nur (F0z + Gôy + Hz + Li + J,ô5 + K,ôr)do,dt li )

fu j il jt (be V dy 252 Loi + MB Nobx)dr dy desdt, li 50

en vertu de la signification de X,, Y,, Z,, L,, M4, Ne, Fos Go Hos Lo» Jo Ko À, B, C, P, Q, R, et également

R t 26, —} [ff (Re + Ray + Due Rae Sri À êx Vdadyd

— [ff (Fôx + Gôy + Hôz + Tor + Jôs + Kôx)dodi hu s

+ [© ff (Xôe + Yôy + Z5z + Lôr + Môs + Nôr)drdydzdt, in s

en vertu de la signification de X, Y, .., N, F, G, .., K. Partons de la formule

fl | nf in (f' SWadz dydzdi + 56, — 0, n 80

appliquée à une portion quelconque du milieu limitée par une surface S, et à l'intervalle de temps compris entre les instants {, et {,. Comme W doit être identiquement nul, en vertu de l'invariance de W dans le groupe des déplacements euclidiens, quand es variations ôx, êy, ôz sont données par les formules (60) du 8 61, savoir :

Ôx — (a, + we — w,y)ôl, Sy = (ay + w3x — w,z)ôl, dz — (a, + w,y — w,x)d!, À

et 51, 5, èx par

s LU = F— 0, 0 — W,01, ik —= Wôl,

et cela, quelles que soient les valeurs des constantes a,, a, 4, w,, w,,w,, nous en concluons, d'après les expressions de 56,, sur lesquelles (!) nous venons d’insister, que l'on a:

dE k, b } (ff. Adrdy del + [© ff. F,ds,d! — f JT X,dx,dy,dzçdt = 0, \ 80 un t 50 li © So SE Dh fé à (FL. (P + Cy — Bdeudyude + [ HR (TL, + Hy — Goz'ds,dl 80 ‘h t 5 e 4 ; dr 1° di (L, + 29 — YDdmddrodt= 0, n s9

et quatre équations analogues. On peul concevoir, dans ces formules, que la frontière S, est variable.

Les auxiliaires introduites dans les paragraphes précédents ne sont pas les seules que l’on pourrait envisager ; en nous bornant à leur considération, nous ajouterons les mêmes remarques simples qu’au $ 54.

Nous avons en définitive introduit deux systèmes d’efforts et de moments de déformation relatifs à un point M du milieu déformé à l'instant t; les premiers sont ceux qui s’exercent sur des surfaces qui, avant déformation, ont leur normale parallèle à l'un des axes fixes Ox, Oy, Oz; les seconds sont ceux qui s’exercent sur des surfaces qui ont leur normale parallèle à l’un des mêmes axes fixes Ox, Oy, Oz. Les formules que nous avons indiquées donnent les derniers éléments au moyen des premiers ; mais, par une résolution immédiate sur laquelle nous ne nous arrêterons pas, on obtient inverse-

. ment les premiers éléments au moyen des seconds.

Supposons maintenant que l’on introduise la fonction W ; les premiers efforts et moments de déformation ont des expressions déjà indiquées, et on en déduit immédiatement les expressions relatives aux seconds. Mais, dans ces calculs, on peut expliciter les fonctions que l’on veut mettre en évidence suivant la nature du problème, et qui seront, par exemple, x, y, z et trois paramètres (?) À,, X,, À,, au moyen desquels on exprime x, x, .. y".

Si l'on introduit x, y, z, À,, À, À, et si l'on continue de désigner par W la fonction portant sur 2,, y,, z,, sur les dérivées premières de x, y, z par rapport à æo, Jos 2. !, sur À4, À,, À, et sur leurs dérivées premières par rapport à Tor Yo» Zor !, obtenue en remplaçant dans {a fonction W Core 0

(!) Le passage des éléments, rapportés aux unités de volume du milieu non déformé et d’aire de la frontière S,, aux mêmes éléments rapportés aux unités de volume du milieu déformé et d’aire de la frontière S à l'instant t, est tellement immédiat qu'il suffit de se borner, comme nous le faisons, aux premiers, par exemple.

(2) Gomme telles auxiliaires À,, },, À3, on peut prendre, par exemple, les compo-

santes de la rotation, qui amène les axes Ox, Oy, Oz à être parallèles r iv 2 espect à Mo, My, Me "ie P pectivement

Es Né Go Pis Qi ro En, &, D, q, r) les différentes quantités &, n;, &, ps qi ra &n, 6 p, q, r par leurs valeurs données par les formules (54), (55) et (54), (55’), on aura :

At at — 2W __oW oW D ur Êe do CA Or:

B = dW 5 2W B == doW Dow 6 se L TES, : A 1 set > To dŸo d di dW EC, — —, Ce C'EEnOR D'EnoNe ses es on ,& dLo do de d dW dW dW Il ——— — a * 2h" ds? ; d, dfs dPi dPi 20W 2W 2W = ——, X = ——, ES — sh > 2 dt di dt

656. Notion de l'énergie de déformation et de mouvement. — Nous ferons remarquer que l'exposition actuelle contient comme cas particulier la statique des corps déformables : il suffit, en effet, de considérer une modification virtuelle réversible dé l’action, au sens de M. Duxeu, au lieu d’envisager, comme nous venons de le faire, une modification virtuelle réalisable.

Cette observations va nous conduire à la notion d'énergie de déformation et de mouvement. Proposons-nous de déterminer, pour une modification réelle, le travail des forces et moments extérieurs et des efforts et moments de déformation extérieurs pendant un intervalle de temps quelconque ; il nous suffit pour cela de calculer le travail élémentaire relatif au temps dt. Ce dernier est

Jill (EX, + nŸ, + …) drdyodz — [f GE, + 1G,/ + ….) æ| dl ; 30 so

si l’on y remplace X,/, Y,/, .…., F,', G', .… par leurs expressions en fonction de l’action, et si l’on effectue un calcul inverse de celui qui a conduit à leur définition, on obtient immédiatement, en vertu des équations de Copazzi:

JS. (a és 7) drodyido di,

<n posant oW oW dW dW dW oW Ets nee sg rene W'.

Si l'on considère en particulier le cas dans lequel W ne contient pas { expli-

EU scédente devient la différencitement, en sorte que —- est nul, la valeur précédente devient la

tielle par rapport au temps de l'expression

1e LF J Edx,dyodzs,

qui peut être appelée l'énergie de déformation et de mouvement à l'instant t.

Au point où nous venons d'arriver, nous pouvons faire quelques remarques générales importantes. qui trouveront de nouveau leur application dans la suite de la théorie de l’action euclidienne. ;

La seule notion d’action euclidienne de déformation et de mouvement suffit pournousfournir, dansun cas trèsétendu, une définition constructive de la quantité de mouvement et du moment de quantité de mouvement, de l'effort et du moment de déformation, de la force et du moment extérieurs. On peut distinguer une partie dynamique et une partie statique dans la force et le moment extérieurs, en groupant d’une part les termes qui seuls contiennent l’accélération dynamique, et d'autre part les termes qui seuls contiennent ce qu’on pourrait appeler l'accélération cinématique ; cette distinction exprime évidemment une extension du principe de d'AremsenT. De même, supposons le travail extérieur nul, l'énergie de déformation et de mouvement reste invariable dans le temps ; nous obtenons donc la notion de conservation de l’énergie, qui traduit simplement l'hypothèse que le milieu est isolé du monde extérieur. Nous retrouvons par suite toutes les idées fondamentales de la Mécanique classique, et il est manifeste que la forme particulière qu’elles prennent dans cette dernière vient de ce qu’on envisage seulement l’état de mouvement et de déformation infiniment voisin de l'état naturel, où l'on suppose que W et ses dérivées sont nulles.

66. Etat initial et états naturels. Indications générales sur les problèmes auxquels conduit la ccnsidération du milieu déformable. — Dans ce qui précède, nous avons considéré la trajectoire de l’état déformé, et, après avoir mis en évidence la position initiale (M,) à un instant déterminé {, de cet état déformé, nous lui avons rapporté la position (M) à un instant quelconque { ; des considérations analogues à celles développées au $ 56, et dans lesquelles le paramètre, qui a été alors introduit, est actuelle ment remplacé par le temps t, peuvent être reprises ici en vue de faire jouerà l’un des états déformés le rôle que l’on a attribué à l’état initial (M,).

Mais on peut aussi concevoir que les fonctions x, y, z, .…., qui déterminent la trajectoire de l’état déformé, dépendent d’un paramètre et que l’on distingue une valeur particulière de ce paramètre ; on définira ainsi une suite d'états que l’on pourra qualifier d'états naturels, et leur trajectoire qui pourræ être appelée la trajectoire des élats naturels ; on pourra utiliser le nouveau paramètre comme nous l'avons fait dans notre Note sur la dynamique du point et du corps invariable et étudier en particulier la trajectoire des états déformés infiniment voisine de la trajectoire des états naturels.

Supposons que, conformément aux indications précédentes, la force et le moment extérieurs soient, pour fixer les idées, donnés au moyen de simples fonctions de xs, Yo» 20, t et des éléments qui fixent la position du trièdre Mx'y'z. Nous pouvons considérer les équations du $ 62 relatives à la force et au moment extérieurs comme des équations aux dérivées partielles relatives à æ, y, z et à trois paramètres À,, À,, À, au moyen desquels on exprime «, a’, .. y’. Ce point de vue est un de ceux qui se présentent le plus naturellement. Les expresde dy dz

sions E;, ni, Ci Pis Qis lis Es Ds G Ps Q, r, seront des fonctions de dpi doi dp;

= , + À er —. Ce .…, (en posant toujours p, — x, Ps — Yo, Ps — Z) que l'on calculera au moyen des formules (54), (55) et (54'), (55'). Supposons que X,/, Y,/, Z,;, L,', M,', N,', ou ce qui revient au même Xe, Vos Zos Los Ms No soient des fonctions données de x,, yo, Zo, l, &, y, 2, À,, À, À,- L'expression W est, après substitution des valeurs de t;, .…., rs, &, .…,r tirées des formules (54), (55) et (54/), (55'), une fonction déterminée de

dx oz dx dy dz DA, Xe A AA, à, Los os Zo» TA LOF) 52 dt’ AT dt? À,, À2s À3s 220 ? ..., 0” de die Pre que nous continuerons de désigner par W, et les équations du problème peuvent s'écrire :

» 5W DaW | o2W | doW dXo , ÙT Ye | A, ACER 4

d doW o oW do oW doW ep mm, Me ME dE dT) dŸo DA di

do doW do doW à dW d oW___oW 7 nn one Dal eu dl, ui AU = 4

dx, do 02, dt ùd doW à doW à doW d dW oW A + HE Hi di, ù, = Je CAN To, Th dt ,dh dd ©

do 03 dYop0hs dÀ, FAR dÀg dTy dYo 229 l

Los bo» T6, étant des fonctions de y, Yo» Zo» l» Ts Y3 2; À, Àgy Àgs Qui résultent des définitions du 8 63. Ceci ressort directement des formules des paragraphes précédents, soit d’une façon plus immédiate de ce que les for-

mules de définition de X,, Yi, Zo, Lo Jibo, Te, peuvent se résumer dans la

relation É oi é J jf; Wadzydydrdt + 86, — 0, ti #0 b ù Î; f f Wdzx,dy,dzçdt mn e/80

= ai À h (Az + Bôy + Ciz + P3A, + QGA, + Rd

c’est-à-dire dans

ti b2 + [ ff. (Fôx + Goy + Hoôz + JA, + AL + AÈÀ, )do dt th 80

— 1 . n Ff (Xe + Y dy + 2,02 + LOÔX, + M, 02, + ,02,) dr dy,dzdt. bu S0

67. Notions du trièdre caché et du W caché. Cas où W ne dépend que de x, Jos Zo t, Ei, ni, Gi, E, n, & et est indépendant de p;, qi, ri,p,gq,r. Extension de la dynamique du corps déformable classique. Le milieu gyrostatique et l’anisotropie cinétique. — Les considérations que nous avons exposées précédemment à l’égard du trièdre caché et du W caché sont toutes encore applicables au milieu déformable en mouvement. Il suffit seulement d’ajouter que le W caché pourra correspondre à un mouvement caché, ‘

Nous allons examiner particulièrement le cas où W ne dépend que des. quantités æ5, Yo, Zos ls bis Ni, Lis E, n, & et non des p;, Qi li Ps sr; les équations du $ 66 se réduisent alors aux suivantes :

De ONE RON PE MEN 2

do LE Yo 2 | did de ee À, ds PE dTo do dZ, dt

DONS AN d'oW ; oW More

de, |, D Yo RDC dy ee dy 2 à OR To dYo A dt

do oW do doW do 0W. d dW dW

Ho leu Mars De NU Gt dE TON do dYo do di

; dx dz dx dy dz dans lesquelles W ne dépend que de x,, y,, 0, t, a Hire d? di’ À, Ay À, et elles nous montrent que, si nous prenons le cas simple où + X5, Yo, Zos Los Abo; T6, sont des fonctions données (1) de x,, ÿ,, 20, , æ, ÿ,2,

1) Nous supposons que X5, Yo, Zos Lo, Abo, Vo ne renferment pas de dérivées de- À1, Ào, Às, pour simplifier l'exposition et pour indiquer plus facilement ce à quoi nous voulons faire allusion.

D RE UNE de dT, oz, dt di’ di?

être résolues par rapport à À,, À,, À, ; on obtient donc finalement trois équations aux dérivées partielles ne renfermant, avec nos hypothèses, que Los Yo» Zor t'et que 2, y. z et leurs dérivées premières et secondes.

Envisageons le cas particulier dans lequel les fonctions données £,, Ab, sont nulles ; il en sera de même pour les valeurs correspondantes des fonctions de l’un quelconque des systèmes (L,', M,/, N/}, (Los Mo, No), (L, M, N). Il en résulte que les équations

dW oW oW

A4 À A3» les trois équations de droite peuvent

CR PRET ee UN EL reviennent à d ù ù d d CRC LLC 7 D de A. Pas Y 1 dx 25 À de, Be 37, SR UE èz » oz dz dx d ù dx d A LA, SpA s — Ê Do, 30 ut A 207 Se ALP Cz À dx dx dx è ù d d dx Be ru SR NOT AR es AUS , lis, Br, Pts ‘ox 26 Are Bag

ce qu’on peut interpréter en disant que le mouvement, dans le corps déformable considéré, qui comprend comme cas particulier celui de la théorie classique de l’élasticité, fait naître un moment dont les trois composantes sont

I dz dy ln dr dz 1er dy dx A RU NE mr. 1(AŸ—8%)

qui a pour effet de détruire les égalités :

Pyz = P:ys Pzz — Ps Pzy — Pyz-

Ceci posé, observons que si l'on part d'une trajectoires supposée donnée et que l’on en déduise, comme au $ 63, les fonctions £,, b,, Ts, il peut arriver, dans le cas où ces trois fonctions sont nulles, que ce résultat se présente accidentellement, c’est-à-dire pour un certain ensemble de trajectoires particulières ; mais il peut arriver qu'il se produise quelle que soit la trajectoire (M), que ce soit une conséquence de la nature des milieux (M) et de leurs mouve-

ments, c’est-à-dire de la forme de W.

Envisageons ce dernier cas, qui est particulièrement intéressant ; W est

I (È EE, — — — 2 2 dŸo I ( Es —= 7 a 2 2)

alors une simple fonction (1) de x,, ys, Nas Vas Ÿss Par Par Le» V0? définies par les formules suivantes :

I Ce U—==)|— 2{t\cæ,

+ É ee J+(

Zo, t, et des dix expressions £,, £,, €,,

J+(R)-1}- 3 G+ni+t— 1) J'+ (E)—11- D (+ ni +0 — 1),

dz \?

jetée ui = (+ni+u—i),

= . . me — Es + Dons + Gb Le = La Re “e = Et, + man, + Gt, Apr TE PCR RS ne PT + Tue + nn CE Css Re PÉOME E En

Les équations déduites des 8$ 62 et 63 se réduisent soit à

dA ;! 1 dA' 1 £ ! ! fl ! !

2 RE +aCi nb; )+ D +00 BE, FAN + mA + AS,

SE + pO) + D ra PONS. GB -+mBi ns,

DE +pBi—qAi)+ Pt pq, UC / + m0 +0

où l'on a:

D nm, (& J, k= 1, 2, 8), SE os à We RD.

LÉ EDDTE

(") Le trièdre est complètement caché :

ayons un milieu simplement ponctuel.

; nous pouvons aussi concevoir que nous

soit encore à dA dA dA dA = C7 at Xe Fo LA + moAs + mA,

dLo dYo Le 22 re re Yos Go = Bi + mb + noBs,

dC dC dC dC es + Le a = di Lo, H, = LC + moC: + noC,

où l’on a :

A=QS HE + En + 1 B=0 + +nl+e Go tete +

Avec des expressions analogues pour A, B:, C>, As, B:, G, et

dx dx dx 1 0W dx —= D, — Po — Ps — ER és À lt 220 22 0% v à di’ dy dy dy , 10W dy — — ee — = ee ——— fs B 15% re dYo ta d29 © v dv di CAL dz dz 10W dz EU A ICE en posant Les oW = 0 doW CR VU) te dYi , 20; :

soit encore à

e = À, = Pr + MPye À Nix dB

A VPzy ess dPyy É dP:y Fa ï Z

RME MO MY G= lp + Mpy + MPa d

Mes Duz + Das, 1 dC mn D res dx ft F y NT nl H= pe: + Mpys + ps

où l’on a:

I dx \? dx \? ( D DOS dt dt dt dx = + —— 21 — ee y D Don — Prr A Q (&) +0( ) +03 0 L 10Yod20 pr ATX SdTodÿe

dx dx dx \ dx nsentent Et

dTo dŸo 352) di 2 ou D DTA? RRAULE Pur — A : dT9 dL9 Q? dYo dYo , dZo dZ0 =, [0x dy me) ar mu) +z Ex ea) et. + 020 | 0200) ee TA TAAETATA *\drodo YodTo dy dy 2) dx DE b À FAO MR + (a dTo dipl dŸo DOUTE I dzZ dX dZ dx oz dx Pa D 5x0 do ? dYo dYo 3 3Z0 02

dZ dT , 0Z =) 0700 ROZ We) ss ( dz DT | 0z dE mi) +++ Te Pare do gi (ie EATA dto0Yo dYoTo

dz dz dz\ dx Des ea DE) 5 (æ, dLo nE Pa dYo Æ ( n) dt Ÿ

avec des expressions analogues pour p., Pyys Psy Pzzs Puss Pa NOUS obtenons ainsi les équations les plus générales du mouvement du corps déformable classique.

Pour que l'effort satisfasse aux relations

Pyz —= Pzys Pzz = Pzs Pay — Pyz il suffit que l’on ait P, — 0, a — 0; Ps = 0"

c’est-à-dire que W soit indépendant des arguments +,, ?,, ÿs. Si, d'une manière plus particulière, on doit avoir

Pys —= Pzy —= 0; Pzz — Pr: — 0; Prey = Pyz = Or W devient une simple fonction de A et de v, et l’on trouve que

aW. Pa Pas Pa;

on se trouve alors dans le cas du mouvement d’un fluide parfait.

Lorsque les fonctions ,, Ab,, %, ne sont pas nulles, W contient comme arguments les douze translalions E;, mn, &, &, n, € ; d’une part le milieu peutêtre regardé comme gyroslatique, en donnant à ce mot créé par Lorp KELviN une extension justifiée, et d'autre part le milieu est doué d’anisotropie cinétique au sens envisagé par Rankine et depuis par Lonp RayzeiGm. Onfait ainsi reposer par exemple la théorie de la double réfraction de la lumière, telle qu’elle à été exposée par Lorp Kezvix et GLazeBrook, sur une base purement mécanique.

V.— L'ACTION EUCLIDIENNE A DISTANCE L'ACTION DE CONTRAINTE ET L'ACTION DISSIPATIVE

68. — Action euclidienne de déformation et de mouvement sur un milieu non continu. — Considérons un système discret de nr trièdres, dans lequel chaque trièdre sera distingué par un indice i, qui prendra par conséquent les valeurs 1,2,..., n. Soit M; x; y; z;' le trièdre d’indice i, dont le sommet M; aura pour coordonnées x;, y;, z; et les axes Mr, M;yi, M2, pour cosinus directeurs o;, &/, a"; B;, 8/, 8"; 4: vi, vi, par rapport à trois axes rectangülaires fixes Ox, Oy, Oz. Nous supposerons que les quantités x;, Yi Zi Go &, +, Yi sont des fonctions du temps {, et nous introduirons les six arguments &;, ni, Li, pi, qi, ri définis par les formules (54') et (55') du $ 60 avec l'indice 1. ;

Envisageons une fonction W de deux positions infiniment voisines du système de trièdres Mix/y;7;', c'est-à-dire une fonction de t, de x, y, z, 2 a, …, Yi, et de leurs dérivées premières par rapport à £ (i prenant les valeurs 1,2,..., n). Proposons-nous de déterminer quelle doit être la forme de W pour que cette fonction reste invariante dans toute transformation infinitésimale du groupe des déplacements euclidiens telle que (60). Observons que les relations (54") et (55') du $ 60 avec l'indice à permettent, au moyen de formules bien connues, d'exprimer les dérivées premières des neuf cosinus, &;, &/,..., y;

per rapport à {, au moyen de ces cosinus et de Pi, qi, ri et d'autre part d'exprimer les neuf cosinus a;, &', …., y/ au moyen de Ë;, n;, &; et des dérivées premières de x;, y;, z; par rapport à {. Nous pouvons donc finalement exprimer la fonction W que nous cherchons en fonction de t, de Li, Yi, z et de leurs dérivées premières, et enfin de ?;, n;, &, pr, Gi ri Ce que nous indiquerons en écrivant

W=W C Dis Vis Zi . ds, Es Mn Gi: Pis dis rs).

Les variations dE, Ôn:, Ôt;, Ôp;, Ôqs, dr; étant nulles dans le cas présent, comme cela résulte de la théorie bien connue du trièdre mobile, nous avons à écrire, pour la nouvelle forme de W, qu’on a, en vertu des formules (60) prises avec l'indice i, et quels que soient a,, a,, a, Ur Wy, 3,

oW oW oW oW dx: oW dy; oW dz; 7e

D pen SPC E M ER SE “an dd #)- de ; er r di At Ce;

Rem * ons êr;, dyi, èz;, par leurs valeurs (60) et à EP a, 5 ar les es ONCE DOUNIA E

valeurs qu'on en déduit en différentiant ; égalons à zéro les coefficients de ds ds A3 4, ©, &3; il nous vient les six conditions suivantes :

oW oW oW = — — O0 — —

(63) & Fee moin AN SEEN u l u et oW 2W dy; 2W dz oW \ (64) D LE ain tbe CT EN QT a i dt dt ;

avec des relations analogues.

Si nous supposons que les points (x;, y;, z;) peuvent décrire touies les trajectoires possibles, nous parvenons ainsi à des identités vérifiées par la fonction W des Cn arguments x;, Yi, Zi, du, et des arguments antérieurs £;, ni Lo Pa Qu ri, que nous pouvons laisser de côté pour un instant. Cherchons à mettre en évidence la forme qui en résulte pour W.

Commençons par traiter le cas du système des trois équations

e» PA ES

qui déterminent une fonction W des 3n arguments x;, y; z. Nous avons déjà rencontré ce système à propos de la statique de la ligne, de la surface et du milieu continu à 3 dimensions, dans les cas p — 1, p — 2, p — 3. Laissons de côté le cas p — 1, où les trois équations se réduisent à deux. Pour p — 2 et p — 3, nous avons trois équations qui forment un système complet. Pour p = 2, nous avons trois équations, six variables et trois solutions indépendantes

a +y + (1,2), LT, + YiYa + 2205

pour p = 3, nous avons trois équations, neuf variables et six solutions indépendantes

mo +yétz (ir), Ge; + Yi; + At; (== 52,9)

Pour p > 8, le système esi encore complet ; pour le prouver, il suffit de montrer qu'il admet 3 p — 3 solutions indépendantes, le nombre des équations étant 3 et le nombre des variables 3p; or nous avons effectivement d’abord les p solutions

2 + y} + 78 (== 4,3;....p) puis la solution Lila + YiŸa + Zi29

enfin les 2 (p — 2) solutions Dis + YiYi + Zi Lali + YoYi + Zoti Œ=—%4,9...,0p)

qui sont toutes indépendantes ; W est donc une fonction des 3 (p — 1} arguments indépendants que nous venons d’énumérer.

Revenons maintenant au système proposé formé des conditions (63) et (64). Les conditions (63) prouvent que W ne dépend de æ,,...æn, Yi... Yns Zis..2n Que par l'intermédiaire des expressions

7e Xo = 2) — 2, X3 = T3 — Li, ; Xn = Ln — Lis Yo = Ya — Yi, Ya = ÿ3 = ÿ13 …. Mn y Z3 = Z2 — Zi: L — 7 —"%%, EAN Zn — Zn — Zi.

Posons d’autre part,

dx;

pe d dz; ‘dt = X,45

CAR CET Ti = Zn+s

et écrivons que les équations (64) sont vérifiées par la fonction W des arguments X2, X3, ..…., Xon; Vo, Ya, ..., Yon: Z2, Zs, ..., Zn. Considérons, par exemple, la première des équations (64) ; il vient

7 doW ..oW doW WoW oW £ (, Hit ti) +4 (Gr: NÉE +.)

dW dW nat A7 né Va Q

Y1 et z, disparaissent, et il reste la première des équations

» 0W oW DIRE ny )=0.

i=2 in w |

ss d d > (z > eIsno 7) dé 1=2 i—2n w n d oW RASE

Nous tombons donc sur le système (65) où x;, y;, z; sont remplacés par

Xi, Yi4s, Zi+, etp par 2n — 1.

Si nous supposons d'abord nr — 2, nous voyons que W est, abstraction

faite des arguments £;, n;, Gi, p;, qi, r:, une fonction des expressions indépendantes :

X+ Vi + Zi (cs — 2) + Gi — 73) + (2 — 2},

X+ V4 2 () à A Gi. (R}= 8 + n? + bi,

gen (f (4e (Mau e

d ï dzi AXES ce VaVa ce Zoom (a — 01) + a — 1) D (a — 4)

Ù dx, dy.

XX, + Y,Y, + Z,Z, — (x; — x;) Te + (Ya) re (z — 4) STE

z dx, dx, dy: dy: du da, PU A Re Ut di

Donc, finalement, W est une fonction de t, Ë;, mi, Si, Ps qi, ri et des quatre arguments (ts — &) + (Ys — Ya) + (2 — 4);

d dz (cs — x) 2 + (Y: — Yi) “ + (2 — 2) Re d (ts — %) Te Cuit/ mu r) © h + (23 — 2) dt?

dx, dx dy, dy di, du, D OM PTUNOMU TL

Si nous supposons n >> 2, nous voyons que W est, abstraction faitc des

182 THÉORIE DES COMPS DÉFORMABLES arguments &;, ri, Lis Pi, Qu ri une fonction des 6 (n — 1) expressions mdépendantes : |

soit (x; —2, + (y —7,) + (2 — 2)? É=1a;n),

tons GE en #0 () + (9e) TE (&) = b + + WG,

XX Vote, —2,)(rs — 2) + (2 — Y1)(Ys —};) + (2 — Z)(25— 21); soit (ea—2, ir) + (ra) i) + Gi —2)(4— 4) d

soit (x, — x) = + (Ya — M) “7e + (2 — 4) >

soit (x Da ) (tie) +(Ys— —} )i-7,) +2 Xi 23) ; — DL Zk

soit (x; — ti) 7 E + (ys — r) + (3 — 2) d Remarquons que l’on a

(ri—x;)(ri — 2x) + yi—y;)(yi— yx) + (zi— 2j) — %)= : (ra? + ra — ruÿ)s

où r est la distance de deux points du système. Par raison de symétrie, on

peut avoir à faire figurer dans W des arguments non indépendants, et alors on peut prendre, indépendamment de E;, n:, G, pi, qi, ri, les arguments suivants : nf = Gi — 2) + Qi y) + (a — 25), dx; dz; dr dy; dz; di; W= AR à * re dt T di di’

k d dzy la Ge r) Te UE ET Je) “ + (ti — 2;) di;

les derniers comprennent des arguments à deux indices );;; et des arguments à trois indices À;4; ceux-ci figurent seulement quand il y a plus de deux points, et l’on voit que dans ce cas l’action sur deux points est influencée par tous les autres points. Il est facile d'établir les relations de forme assez complexe qui existent entre ces arguments non'indépendants ; elles sont analogues aux relations connues entre les distances r;;, lorsque le nombre des points est z 5.

Connaissant l'expression de l’action euclidienne W sur le système de trièdres considéré, nous pouvons facilement, par un calcul qui répète ceux que nous avons faits antérieurement, trouver l’expression de la force et du moment extérieurs sur un trièdre quelconque. L'action W étant une fonction de

Lis Vis Zi Li “is par l'intermédiaire des ri, Vi;, À;;, il est commode de

regarder d’abord W comme une fonction de x;, Yi, z;, “ Le . et de

Ëi, Mis Go Pis Qi, lis NOUS aurons

ta ù Wdt

Ban

£ | Sass, + By: + C;5z:; + Pôt; + Qiôs; + ax) | 2 i ta

U — [ : De + Yôy: + Z;ôz; ie L;ôt; + Mids; —+ Nôk;)dl,

en posant dW oW oW oW dW oW A; = a; dE, + B; on i ' P; dt; ES FA Yi s dW 0W dW oW oW doW Bi — 0; dE; + Bi oi fe ea QG ts LE n 0W n 0W 1 0W mu nr 0W dW G—= «; dE; + B; on; y 4? R;— à; p: + $; qi ne

où (A;, B;, Cj) et (P;, Q:, R:;) sont respectivement la quantité de mouvement et le moment de quantité de mouvement du trièdre d'indice i, et

__dA, d /wW 0W dP, cdy nd

Leg Pl dm) sm Mat BR

dB, d /oW oW m0, de, dr,

PE di et) om nue G:

Cd oW __dR, dx; dy

= T7 + 3%: =) er i— 4 B; n Ai di

où (X;, Y;, Z) et (L;, M;, N;) sont respectivement la force extérieure et le moment extérieur sur le trièdre d’indice 1; il reste, dans ce calcul, ce qui est facile, à mettre en évidence les arguments r;;, Ÿi;, Yijx.

Remarquons que l'expression de la force extérieure se trouve décomposée en deux parties ; la première, qui dépend des segments (A;, B;, C:), (P;, Q;, R;) et de leurs dérivées, est la partie proprement dynamique ; la seconde, qui résulte de la présence des arguments r;j, Vs Ain dans W, correspond à la force que le trièdre d'indice i subit de la part de tous les autres trièdres du système. Considérons l'expression

de; | y, À: dz; DIET m. Yi + + Zi cn + Laipi + Pi + vi)

+ M; (api Le 8q: + yir i) + N; (api 2e 8qi + ver Jar,

qui représente la somme des travaux élémentaires des forces appliquées aux différentstrièdres. Si nous la calculons en remplaçant X;, Y;, Z;, L;, M;, N; par les valeurs précédentes, nous trouvons, pour le travail élémentaire relatif à la partie dynamique de la force extérieure et du moment extérieur, l'expression suivante :

dW oW oW oW oW ETC (GT +mi Fu DRE. rue tie)

DW dès | oW dm |, oW de Ja.

(ER n+ dE 0 ordi

et pour le travail élémentaire relatif aux forces qui s’exercent entre les trièdres du système > d {dr oW dy; oW dzdW dif dt de Ÿ di dy Ÿ A oz à di dt

oW d'a, oW dy, Wa dWdr 0Wdy , Wdu\ |, ds, dé + dydt + ds de Ton dt + op: dt Ÿ 4 di : de > a

Si nous ajoutons ces deux expressions, et si nous posons

PU DT dt nous voyons que la somme des travaux élémentaires est doW dE + + di;

en supposant W indépendant de {, et en donnant à E le nom d'énergie de mouvement el de position du système considéré de trièdres, nous obtenons une proposition entièrement analogue à celle du $ 65.

11 est facile de déduire de ce qui précède une dynamique des systèmes établie sur le même plan que la théorie classique, sans se borner, comme dans cette dernière, à envisager des forces centrales. L'exposition actuelle présente, d’ailleurs, cet avantage de rattacher à leur véritable origine les diverses lois de force à distance étudiées par Gauss, Riemanx, Weser et CLauwsius (1), qui introduisent toutes uniquement les arguments r;, Ÿi;, Yixx-

69. L'action euclidienne de contrainte et l’action euclidienne dissipative. — Les considérations que nous venons de développer à l'égard de l’action euclidienne à distance conduisent de la manière la plus naturelle à la notion de contrainte, qui est due à Gauss et que Herrz a appliquée, comme on sait, à l’étude des fondements de la mécanique, en suivant une voie déjà parcourue par Bezrrami, R. Lirscurrz et M. G. Dansoux (2).

QAR R. Rexrr et A. Sommerreun, Encyklopädie der Math. Wissenschaften, 52, p- 3-62.

(?) Becrramr, Sulla teoria generale dei parametri differenziali, Mem. della R. Accad. di Bologna, 25 fev., 1869.

R. Lwscmirz, Untersuchungen eines Problems der Variationsrechnung, in welchem das Problem der Mechanik enthalten ist, Journ. für die reine und angewaudte Mathematik, 74, p. 116-149, 1872 ; Bemerkungen zu dem Princip des kleinsten Zwanges, ibid., 82, PP. 311-342, 1877.

G. Dansoux, Leçons sur la théorie générale des surfaces, 2° Partie, Livre V, Chap. VI, VII, VIII, Paris, 1889.

Soit, pour simplifier, un point qui, lorsque son mouvement est libre, décrit une trajectoire définie par les trois fonctions x,, y,, z, du temps t ; désignons, d'autre part, par x, y, z les fonctions du temps { qui définissent sa trajectoire, lorsqu'il est assujetti à des liaisons. Nous pouvons envisager les deux points

(X, Y, 2), (X,, Ys, Z,), dont les coordonnées s’obtiennent, par exemple, par les formules

dx 1 dx dx 1 dx ne M nn tn Gin Lits dy 1 dy ct dy 1 dy te TUE V=h+ gg d+; Re d, dz 1 d?z dz 1 d?z do dar CP LU L=n+ ga +; e dé,

qui proviennent du développement de TayLon limité aux trois premiers termes. En admettant que les liaisons sont sans frottement, on peut écrire qu’à l'instant t considéré on a D EN EEE EN, dt sd edl pe dti'atrdtiiudht Cela posé, l'introduction de la notion de contrainte due à Gauss revient, après avoir considéré, pour les deux points (X, Y, Z) et (X,, Y,, Z,), dont nous désignons la distance par r, l’action euclidienne à distance U, (r), à rem-

placer r par sa valeur, de sorte qu’on est amené à la fonction U de l'argument y défini par la formule

(Tr De) (% ee) (FE ) PEN Ti dE AR Sd OEUR ES dù ).

Si nous appliquons alors la méthode de l’action variable, nous aurons

2 2 2 2 2 ue (s tee) +4 (50 — 00%) + 5 (59e — 0 0),

get CON ln À oi eee 4 À

de di de de en posant 1 dU/dx dx\ y — (ad) z (ae) D rad ANS, did dr}: : 4 \de— de

si avec Gauss, on nomme contrainte l'argument Y, la force %#, 4, Z peut être appelée la force de contrainte appliquée au point (x, y, z) et être regardée comme ayant pour effet d'empêcher le point de prendre son mouvement libre; la force — %, — 4, — Z appliquée au point (x,, Yo» Ze) a, au contraire, pour effet de changer le mouvement libre dans le mouvement contraint.

La différence essentielle entre la conception actuelle de la force et celle qui résulte des lois du mouvement de Newron est la suivante : dans cette dernière, on considère l’action relative à deux positions infiniment voisines, l’une actuelle, l'autre future, sur une même trajecloire ; dans la conception de Gauss et de Herrz, l’action se rapporte à deux positions futures, l’une sur la trajectoire dite libre, l'autre sur la trajectoire dite contrainte ; dans les deux cas, on

a évidemment une théorie qui permet de prédire le mouvement futur, ce qui est le but de la dynamique du point; mais en outre, et c'est le point que nous voulions mettre particulièrement en évidence, l’action est euclidienne.

Il est intéressant de remarquer à ce sujet que Gauss a établi explicitement un rapprochement entre l’action de contrainte et la loi des erreurs, qui ont en effet même forme. On voit ainsi que le caractère fondamental de la loi des erreurs est l’invariance euclidienne de cette loi, et que la nouvelle branche de la Mécanique, qui a été créée par MaxweLz, Bozrzmann et W. GisBs sous le nom de Mécanique statistique, peut recevoir également la forme déductive que nous essayons de donner ici à la Mécanique ordinaire. "

Nous ferons encore observer que les forces de liaison traduisent, aussi bien dans la Mécanique qu’on peut faire dériver des idées de Newron que dans celle qui peut se déduire de la notion de contrainte de Gauss, une indélerminaïon qui se produit dans la définition de la force et qui conduit à introduire les multiplicateurs de LAGRANGE.

L'idée de Gauss peut s’appliquer aussi au frottement, en envisageant une action euclidienne sur les deux points

ral r RC

di dt d Y — y+® de Y= » + 7 à,

Z2=:+ Ya 2, — 2, + À dt,

le point x, Yo, 2, se rapportant à une trajectoire libre et le point x, y, z à une trajectoire parcourue avec frottement: Comme il s’agit ici d’un frotte-

ment de glissement, on doit faire x—x,, ÿy— y, 2 — 2, es dr

; à di dt.

D = p 99 É =) jL EE on est amené pour l’action à une fonction de la

vitesse v, — 5) Fe (Se) + (&) affectée du facteur 1 — pu, ce

qui répond précisément à la notion de dissipation de l'action libre sur le point Los Yo» Zo-

Les arguments r;;, 4; À, Que nous avons considérés au $ 68, traduisent en définitive une idée analogue à l'égard d’un trièdre pris isolément dans le système de nr trièdres envisagé; on peut, si l'on veut, distinguer entre ces arguments, et dire que ri; est un argument polentiel et 4;;, À;;, des arguments dissipatifs ; l'hypothèse des forces centrales revient ainsi à ne considérer dans la Mécanique que la dynamique des systèmes sans frottement à distance. Des arguments r;;, W;;, x, on peut, d'autre part, dériver l'argument particulier de Weger LA

ij . “Je . Je .

der etsi du milieu non continu on passe au milieu continu, dont

la conception repose sur la considération du ds? de l’espace, on se trouve

amené à introduire dans l’action W les arguments de viscosité - , La, œe ;

a ; de, ne À côté de tels arguments, qui ont été envisagés pour la première fois par Navier et Poisson, on doit évidemment placer aussi des arguments tels que l'argument EE, + r,r, + tt, dont il aété question au $ 47, et tels que les arguments w,, w,, e, du 8 67. Nous nous bornerons à ces indications sommaires sur la viscosité, qui n'a pas encore été étudiée jusqu'ici d’une manière suffisamment systématique.

70. Les variables indépendantes de Lagrange et d'Euler. Les auxiliaires considérées suivant le point de vue de l'hyärodynamique. - Dans la statique et dans la dynamique du milieu déformable, nous avons pris comme variables indépendantes respectivement To» Vos Zo Et Los Yos Zor t; dans le premier cas (statique), on désigne par Los Yo Zo les coordonnées du point M, de l’état naturel (M,), en concevant que cet état naturel se déforme d’une façon infiniment lente, sans que ses points acquièrent de vitesse, et passe d’une façon continue (‘) de la position (M) à la position (M); dans le second cas (dynamique), on désigne par Tor Yos Zo les coordonnées de la position M, à un instant déterminé {, du point qui, à l'instant t, est en M ; la position (M,) du milieu joue un rôle particulier.

Le milieu déformable (M) a été considéré comme engendré par un trièdre Mz'y'7, dont le sommet M a pour coordonnées x, y. z et dont les arêtes ont pour cosinus directeurs a, a’, «; fi, $’, 8"; y, y’, y” par rapport aux axes fixes Ox, Oy, Oz. Dans le cas de la statique, x, y, z, «, «/, ..., y” étaient considérés comme fonctions des 3 variables indépendantes x,, y,, Z+ et, dans le cas de la dynamique, comme fonctions des 4 variables indépendantes Zo, Yo» Zo» . Dans un cas comme dans l’autre, nous dirons que les variables indépendantes envisagées sont les variables de Lacrance, et nous écrirons, si nous voulons spécifier cette conception :

(66) æ— 2x (to, Yor 0h Y—=Y Go Yo 2%) 22 (0 Yo 2), ou

(66) x — x (ré, Jos Zor !) Y = Y (os Yos 20 D: ) 0) et de même, sott

(67) a—=2a (Go Yo» Z), = (Sos Yos 20) = a" (y Yos Zo)s

(*) Dans cette conception de la déformation infiniment lente d’un milieu, snalogue à la transformation réversible de la Thermodynamique, nous avons défini la lorce etle moment extérieurs, l'effort et le moment de déformation que lon peut quelifier de statiques, puis le travail pour passer de (M;) à (M), et comme Lg in obtenu la notion d'énergie de déformation, qui s’est placée à côté de celle d'action don

on était parti.

soit (67) a — à (to Yo 20 D, = a (os Yos Zo d, 2 = d(Tor Yos Zor t);

avec des formules analogues pour 8, ', 8”, y, y’, y”: Mais nous pouvons maintenant concevoir qu’on effectue un changement de

variables sur les variables indépendantes. En particulier, par analogie avec ce que l'on fait en Hydrodynamique, nous pouvons concevoir qu'on prenne æ, y, zou æ, y, z, comme variables indépendantes ; nous dirons alors que nous envisageons les variables d'Eurer.

Comment se présente au premier abord la question ? Dans la théorie développée précédemment, soit qu’on la considère comme définissant les éléments force, etc., soit qu’inversement on cherche à déterminer la position (M), nous avons en évidence les fonctions x, y, z, «, a’, ..., y" de x,, y,, z, ou de Lo Yo Zo t définies par (66), (67) ou par (66’), (67'). Concevons qu'on résolve les équations (66) ou (66’) par rapport à x,, Yo, 5 On a:

(68) x —æ (22) Joe Y 2) 2% (27,2) ou

(68cm) Or = TE D), =7 (27,270); et, en portant dans (67) ou (67'),

(69) lx—=sa(z, 7,2), CN a ER ADS CEA oi Ce NÉS à

(69) a—a(x, 7,2, tt), x —ae(x,y,zt), —a" (x,7y, 2, t\.

Nous avons actuellement en évidence les fonctions x,, y4, z0, &, «, .…., y” de æ, y, z ou de x, y, z, {, et inversement, par la résolution de (68), (69) ou de (68), (69’), on repassera à (66), (67) ou à (66/), (67).

Mais on doit compléter ce qui vient d’être dit, en observant que, dans un cas ou dans l’autre, il peut être commode d'introduire des auxiliaires.

Si nous envisageons le cas des variables de LaGRANGr, il peut arriver que les fonctions x, y, z ne figurent pas explicitement dans la question G;il pourra être convenable d'introduire alors comme auxiliaires (?) les dérivées premières de x, y, z par rapport à æ, Yo. Z OU par rapport à Lo Yo. Zor LION pourra aussi dans ce cas, en envisageant x, y, z, a, «, …, Ÿ’, introduire

(*) C’est ce qui arrivera normalement, si on part des résultats tels que les donne notre exposition et si on ne modifie pas les expressions de la force, etc., en vertu des formules (66), (67) ou (66'), (67°) ; les lettres x, y, z ne figurent pas en effet explicitement dans W.

(?) Ces auxiliaires seront actuellement liées par des relations faciles à former ; la même remarque s’appliquera en général ; elle ne s’introduit pas en Hydrodynamique, où les auxiliaires sont les dérivées par rapport à la seule variable £ (et où l'emploi de ces auxiliaires est souvent limité au cas de l’introduction des variables d’Euzer).

comme auxiliaires les translations et rotations E;, …., ri, E, …, r, si, dans les données, ne figurent, par exemple, que +, Yo, Zÿ OU QUE To, Yo» os t+

Si nous envisageons le cas des variables d'Eucen, on peut indiquer des circonstances analogues où l'emploi d’auxiliaires pourra offrir des avantages. Supposons d’abord que, avec les variables de LaGranGr, l'hypothèse que nous yenons de considérer soit réalisée; nous pourrons conserver les auxiliaires indiquées ; la seule différence essentielle avec le cas précédent résidera dans la détermination ultérieure, si on l’effectue, des formules (66), (67) ou des analogues. Supposons encore que «,, ÿ,, z, ne figurent pas dans la question, on pourra alors introduire, comme auxiliaires, les dérivées de æo, Yos Zo Par rapport à +, y, z ou par rapport à x, y, z, {.

Suivant ces indications, on voit qu’il peut y avoir utilité à ce que les équations qui servent de point de départ se présentent sous une forme commode au point de vue de l'introduction d’auxiliaires ; on observera que ce but est déjà atteint par les équations obtenues précédemment, dans lesquelles figurent déjà les auxiliaires &;, ..…., ri, E, ...,r.

71. Expressions de Ei, …, r; (ou de #i, …, ri, t, …,r) au moyen des fonctions z,, yo, Zo % à, …, y” de x, y, z (ou de 7, y, 7, t) et de leurs dérivées ; introduction des arguments eulériens. — Des explications qui viennent d’être données résulte qu'il pourra être utile d’avoir les expres-

- sions de &;, …, r; ou de E;, …, ri, E, …, r évaluées non plus conformément aux formules (66), (67) ou (66’), (67'), qui supposent +,, Yo, Zo OÙ Tor or Zo L variables indépendantes, mais conformément aux formules (68), (69) ou (68/), (69/), qui introduisent les fonctions æ4, Yo Zor & %y +. Ÿ de æ,Y, 7 ou de x, y, z, t.

Raisonnons d’une façon générale sur le cas où t figure ; les formules obtenues donneront, en particulier, le cas où x, y, 2, #, x, .…, y! sont indépendants de {. Les quantités t;, … sont calculées, en vertu de (66’) (67), par les

formules (0

D cdi Li ar CT des La

Y jox dY dz re dr dy | gr dz

(70) 1 — Rae ee Ve Hd dx y mn dZ dx , dy 1 dz

SR ARE NES UidE ar:

d3 dy

(71) di ad re. q= De DT,

{où p, = Lys Pa = Yo Ps — z), et cela au moyen de Tor Yos Zo Ls Lo +. Ÿ

(:) Nous emploierons pour les dérivées par rapport à t les notations habituelles. (Voir par ex. Arpeis, Traité de Mécanique, T. LI, 1°° éd., p. 277).

190 THÉORIE DES CORPS DÉFORMABLES et de leurs dérivées par rapport à x, y, z, calculées en vertu des formules (68'), (69')-

Nous allons à cet effet montrer que les quantités E;, .…., ri, &, ...,r, qui

seront appelées désormais arguments lagrangiens, s'expriment simplement au moyen des auxiliaires suivantes que nous dénommerons arguments eulériens :

Go) = af] + en] + 21, EE, (72) (n)= BE] + Fin] + PT (=,

@) = 16 + vin + Or

D = ep] + eg) + th P=DrE=- Si G3) SG) =8Pl+ 8lal+ Br, (= Sal = Dre,

! " ù d c)= tp] ++ vi = DRE = où nous posons :

d i d0 d0; ES Je &, Ki= #,

fe Dn Se ae Se SE tie Dr Den

avec des formules analogues pour (Pl, [q:} la] et pour {p,], [q,].[r,]obtenues en changeant d’abord y, 6 en 4, y, puis en 8, «, et où nous employons les notadx 0 dy CROATIE Différentions les relations (68') successivement par rapport aux variables de Lacrance ; il vient quatre systèmes de trois équations que l’on peut écrire, en vertu des notations (70) et (72),

tions connues ({) —

(75) E(&) + nn) + (CD) 5: E;(Ex) + nj{nx) + E(Gx) —= O, Es k),

(76) (n) + É(E,) + nn) + &(&) = 0,

ces trois dernières relations (76) pouvant s'écrire, en vertu des précédentes (75) (et ainsi que cela résultera des formules (78) données plus loin) :

} + &(6) + bn) + B(0) = 0,

(76) n + mu Ë) + nn) + m0) — 0,

6 + G(E) + Gin) + &(f) = 0.

Avant de résoudre les équations (75) et (76), observons qu’on peut rem-

(1) Voir Arret, Traité de Mécanique, T. IL, 1° éd., p. 277.

placer ces systèmes par des systèmes équivalents, qui s'obliennent en différentiant les relations (66') successivement par rapport aux variables d'EuLer æ, y, Z, t, et qui, en vertu des notations (72), peuvent s’écrire (en multipliant par a, «', x’ et ajoutant, etc).