DO FE =), 2 D

A dE) g" — D we Vi Ÿ G) ee

auxquelles s'ajoute (76’). Le système (75”) peut d’ailleurs s'écrire, en multipliant par «, a’, a” et ajoutant, etc.,

DEAD D) 0 AMD EE) — 0, (75) 7 A Sit)=o, Drdn)=r, nt) —0, HE) — O, d'En) 0); x AE

Observons encore la forme suivante, qui entraîne (75), est intermédiaire

entre (75") et (75), enfin résulte des formules (70) combinées avec (75) et des formules (74) :

a DE, pra, y = Det, (75") nt d'Erd, 8! — D'rifni)s 4 = d'El,

= De, FD, v= DE

On voit que les arguments lagrangiens sont fonctions des seuls arguments eulériens et inversement (déjà au moins en ce qui concerne les translations).

Déterminons d’abord les arguments lagrangiens au moyen des arguments eulériens ; désignons par À le déterminant

ë 1 Gi (x ) staar

A = |5fin2 6 qui est LATANS Pl : si | 8 8’ 8" ur: (Los Yo» 20) SRE Es T3 G V7

soient E,", ns’, dl, Es, Mo, Las Es!, 75° ts! les coefficients des éléments du déterminant À c’est-à-dire les mineurs affectés du signe convenable, ce qui revient

ainsi à poser :

En = ns — is, = Labs — Es, = Eng — Esnios +.

On obtient, en résolvant les équations (35) par rapport à (4), (mi), (&), (£), (n), (6), puis en portant dans (76),

>» 4 474 CUT M Er” () =: (E) Gap NU RE ri 2) + nn2 + CC!

(37) (ni) = A (x) = — | y el y + ans + EC | &) EL. sd (£) — 3 3 À RE ï

Inversement, déterminons Ë;, r;, &, E, n, € en fonction de (E;), (r:), (&), (£), (mn), (€) : nous observons que le déterminant, dont les éléments sont A(E), A(n:), A(G), est le déterminant adjoint (*) de A, de sorte que nous devons

désigner par 3 le déterminant

(&1) (ni) (Gi) = | (&) (ne) (@) (Es) (na) (63) Résolvons les formules (55) et (76) par rapport à £;, r;, G, 5, n, C: il vient (?), en désignant par (£;), (x), (&;') les cocfficients des éléments du déterminant (78),

Ale

BE —A(E), E —— A $()(E") + (1) + (OX) À, (59) Jnm—A(rx), = — A f(E)(ns) + (nn) + On) À, GA), = —A {GG + ME) + EG) À.

Proposons-nous maintenant de déterminer les rotations. Différentions les relations (67) successivement par rapport à x, y, z,{; nous aurons, en employant toujours la notation connue pour les dérivées par rapport au temps (?) :

d2 dX dT, 0% dy, da dZ de de Topo to w RS Dane OZ es UE dY dt, dy dY dY d£ dY ?

d% dx DT, d4 dy, da 0Z, D A à d4 ODA dE DA Yo , DA D da

ox, à y ù où où * di’

(1) Ce déterminant adjoint est le carré de À.

(?) Les neuf premières formules de (39) ti = r, 2, 3) sont si l’on veut des conséquences connues de la théorie des déterminants adjoints ; il est clair que tous les calculs actuels pourraient être ratlachés à la théorie des formes et à celle des substitutions linéaires.

: ee da dx : . e

(3) Nous distinguons + et NS suivant la notation employée par M. Arreiz, Traité de Mécanique, T. II, p. 277. Pour x, Yo, zo, nous n’avons pas eu à introduire dro dyo dz : :

a 5 T ; a qui sont nuls. On observera que les xo, Yo, zo actuels sont des fonctions de x, y, z,t qui, égalées aux anciens x, Yo; Zo, définissent les fonctions x, y, z, lesquelles sont ainsi des fonctions implicites ; nous reviendrons plus loin sur ce point.

avec des formules analogues pour les cosinus CAL ARTS en Les formules (74) donnent alors

ml= ZE, Pl=Ÿat = Jr, al= Don lel= ant l= Sri, [mn] = DK, [r. = d'aled, [r | — Dr [Gi ;

et les formules (73) donnent, eu égard aux formules (72),

= DE), PTE), = JG

G@)= Din), (= Dal, = réa,

(Bo) Je DE, (= Say (r) = Sr, P) = Pi) + pain) + Pas) + p,

(9) = qu) + quin) + que) + q, (r)= ni) + ru) + rl) +r,

qui nous donnent les derniers arguments eulériens (p;), (qi), (ri), (p), (q), (r)

au moyen des arguments lagrangiens (il suffit d'y remplacer (£;), … valeurs).

Pour obtenir inversement les derniers arguments lagrangiens p,, …

par leurs

, nous

pourrions résoudre le système (80), mais on peut aussi directement différentier les relations (69/) successivement par rapport à æ,, y,, z, {; nous avons :

DR RES DO D ne,

27, ÔTO%) do 07 0%

d4 __ DA 20 | d2 2Y 2 à,

Jo Yo 28