RE EL A
DZ) OX dZ dY 27 22 279 AN os TRE D 0y 08 ipr ox dt ox ot dy ol oz ol
Les relations (71) nous donnent alors, en tenant compte de (70) :
Pa = (Pi) + (q} + (ils (81) Qu = (Pa + (ga) + (rat rs = (Ps) + (qui + (ra)bis
que l’on peut écrire sous la forme intermédiaire
SE = pla a [gi] 2 T ai [r Aie Î =(P] +. + [gs] 7 Ut ver
= (Pia + (a) 2 + lil > .
avec des formules analogues pour ps. q:, ra3 Par Qw ra que l’on obtient en changeant Ë,, n,, €, en E,, n,, &,, puis en &,, n,, 6, ou en changeant x, en y,, puis en z, ; on a de plus
P = (P.}X + (qin + (rX + (p), (81') q = (Pa} + (qi) + (r,X + (gh r = (pi + (quan + GX + (r).
72. Equations de la statique du milieu déformable relatives aux variables d’Euler et déduites d'abord des équations obtenues avec les variables de Lagrange. — Nous avons déjà, à propos de la statique du milieu déformable, effectué le passage des variables de LAGRANGE aux variables d’Eurer. Il nous suffit d’abord de compléter les résultats obtenus ({).
Nous avons trouvé des formules telles que les suivantes au 8 53: .
= ER —2p 2% 2x AP:z or A, SA A, Se 32, 39 A: — 3%, n 3ÿs P, + 22 3” LR lan rat D APyz re A7 <F SA A, te à 1. AQy — 3m LE + TA ee + a 2 LE 7 2z àz az ee a Âqu == Se En où l'on a :
oW oW AN a >W 3W HE ME TM LS dr Hu Dire
Supposons que W soit exprimé au moyen des arguments (#;), (n:y, (6, (Pi), (qi), (ri), et posons W = A0.
On aura, en vertu des formules (77) du paragraphe précédent,
oW dQ 1 20
Æ = A + QË/ — A SË + Q(ë) ê oW 2Q 1. == 2Q sh
re == 3; + Qn:' = À A O(n:) e 2W 2Q NE:
mA tu = A 9 + 00 f
et par suite, À ne dépendant pas des p, qu ri,
20,400, ,20 = A Ÿ 2 ok 0 Bons dt MR QE]
PA actes 0e) Aie RENE
() Nous chercherons ensuite à obtenir directement les résultats définitits.
En différentiant les relations (75) par rapport à t;, ona 60 a 200 0) €), 100 2 +7 200 Do (2), d’où l’on déduit
Gi =)
l'e — () 5 = — (ni) (8),
puis, par les relations (80), Xp — = — (p;) (ki).
) = — (p;) Ci,
avec des formules analogues pour les dérivées par rapport à mi, &- Si l’on
pose
2Q NE I\ — Le »
GR a sn)” (Gi) 27 n 2Q / J\ — 2, CO = (ME)
on a ainsi
FAO] {NA (BNC EDEN IQ GBA +) (829 + (6) HE + EXP) + (CR Pl +4) )+n)(B3/)+(6)(Ca')} LE] + GP )+(n9(Q)-+GNR) Ps] Je
En vertu des formules (72), (73), (74). (75), et en désignant par TA], [BJ], [CJ: [PJ, [Q4, [R:] les composantes relativement aux axes Ox, Oy, Oz des deux vecteurs dont les GpRbsentes par rapport aux axes
Mz’, My, Mz sont respectivement (A;), (B/ ), (C£) ; (P?), (Q;'), (RŸ), on en
déduit les trois formules suivantes :
nee 161 — Ÿ (PAPA, = —Y8B]8]- À IQ 1) — Y ici ti — À IR pd.
avec des formules analogues pour B;, C; et psy, Pyyr Pays Paz» Pyss Pzz- On a
ensuite
Di
+8 } @) HS + (x) a) TE ar)
à EH se + Gas
+1{@ 5 + Gi) 5 + Ed
et il vient, en tenant compte encore de (75"), les trois formules suivantes :
2 [Pl #6 (PB vA{PE Que = % [Q,]+ B[Q,]+ Y IQ}, Ge —=@[R]+ BR] + y [Rj,
avec des formules analogues pour Q;, R; et Qu, Quy» Qzys az» Quss Qz2e
73. Equations de la dynamique du milieu déformable relatives aux variables d'Euler et déduites d’abord des équations obtenues avec les variables de Lagrange. — Nous avons aussi, à propos de la dynamique du milieu déformable, effectué le passage des variables de LaGranGE aux variables d'Euzer. Nous allons d’abord compléter les résultats
obtenus.
À: est augmenté de
NPESRECE
ER Ofi MARIE 2
ie + fe «9 di p* D .
or, d’après (76) et (80), D — — (8) (8)
4 + A Eu ia " M a sa ps +02 +0 en pp
