P) + 8(Q) + VR
Considérons enfin la modification qu'il faut apporter aux formules du $ précédent, pour avoir les q.., ..… relatifs au cas actuel de la dynamique.
Les quantités que nous avons appelées P; sont augmentées respectivement pour i = 1, 2, à de
ae) fe 020 cg fade. 7 + mt 04.1]
dP1 af( P') À « CR Pi +(Q) {4% D .e è +R); a+... ]
a[«p)! + pp D? + 6 xD +..+ mi +] ou de
en vertu des formules (80). On voit que ces accroissements sont
PE), P(n), P():
les expressions à ajouter aux valeurs de Izrs Qry» Qz: du $ précédent sont donc
à | GO 2 + (1) 2 + ALES +0 + OU ATEN ETES
c’est-à-dire
— + À (2 + Pn + y), — à (GE+Pn+YE), — : (ae + P'n + V6), ou enfin
rharen AREUE TES
On aura des expressions analogues pour q,, .…. ; 4, .…, par le changement de P en Q, puis en R.
74. Vèriations des arguments eulériens déduites de celles des arguments lagrangiens. — En vue de former directement les équations eulériennes relatives au milieu déformable, nous allons calculer les variations des arguments eulériens. Nous commencerons par les déduire des variations des arguments lagrangiens, afin d’avoir une vérification, puis nous les calculerons directement.
Appliquant le signe à aux équations (75), il vient trois systèmes tels que le suivant :
LOC) + md(ns) + GG) = — (Ed — (ni)ônr — (H)8tr, EÔ(E: ) + ToÙ(na) + Lo0(G1) = — (Es 03e — (rs)dne — (Ki )ÔQe, EÔ(E 1) er nsÈ(ra) LE Es0(G1) — = — (&i Jèë is (n1)È Ds (G1)Ôts,
d’où en ayant égard aux relations (77) :
—0(E)—{(4) ÉCEa 8E + (ra)Ona (Gi )ts À} (Es) F(E BE.) (Es) {CES +..) = (6) SEE + Cu) DE + Gi) DO |
ou, en remplaçant Gf;, ôn;, dt; par leurs valeurs, et en tenant compte des. relations (75') et (80), 5! ÿ’ ; 3 8(E)— = (ne — (Go — (1) [EN RE + GE +) RE + (Pa) (pa) y) à’ ÿ ÿ" y ; -)
— (GE) EE + Œ “ +8 -HP)y pr};
200 THÉORIE DES CORPS DÉFORMABLES mais on a, par exemple,
D UE ce zx PE SK) + ue æ SG) + æ DCE
a à! dx = À —— | Ge RT
dx dy dz ?
en vertu des équations (75”). Nous obtenons ainsi la relation suivante :
(ti) —(n:)0x! — (G)ô us (&) ; Ë 20 x oi 209 x 7. 29 x re (p2)S'z— (ps)à' y
dx dy 2z 5 Ni 5’ ; —{Qr) fe ST 4e te dE + (pd z—(p} 7} —(4)$« 2 He a ' — + :1)5 y — (pi) x 2};
pour avoir ô(n:), &(&;) il suffit de faire subir une permutation circulaire à {E:), (ns), (QG), de remplacer a, a’, a par 8, R', $, puis par y, v’, y’et les p par les q;, puis par les r;. On a des systèmes de formules analogues pour
Ô(E2), ê(ne), Ô(L2) ; Ô(Es), S(n3), Ô(Es).
On a ensuite, au moyen de (76) et des valeurs de Ô£, dn, dt, H(E)——{ FACE Dep E 14 )E+-(n1)ôn + (Qi } =) [DE C-Br0 E —08-+nDE(o6+pnOE +9) (g}n—(r0)8 2 fr — (ps) — (Cr) ] [Cr rar pr
ei ]
GT —(c$+ fn + D? me —(a' e+-P-r ne Te
Hp (paint) 8 y —{9— (pa) (an (ref |;
or les relations (80) donnent en vertu de (76)
X + Gin + (I = — Ê pie) + pa(n) + ps(Q) À, (2) + (qe)n + GX = — Ÿ que) + qu) + q(t) }, (Po)E + (qi}n + (re = — {nifE) + fn) + ri(0) À,
d’où finalement se dx o3æ dyoëæ dz a5x ; Han eee diihe COS (7 À FH dx où dy 25y dz a ; me LG 2 — di dy di me + (De — (pl z
dx d9z dy aŸz dr oÿz :
() dite Nid oyiidie. + (p}ÿ'y —(g)ùx f.
On aura des valeurs analogues pour B(n), ô(£), en changeant (£:), (m1), G) en (&2), (ne), (@), puis en (Es), (is), (Gs)-
Nous avons maintenant, d'après (80), Ô(p1) — (&)8ps + (E)Ôpa + (Gs)Ôps + paô(&:) + pa(Ë:) + paô(&s), c'est-à-dire, en vertu des formules (75”),
SP) = (qi)5x' — (r:1)57
or * CALE 2 me
Rs sy Eos UE = (Pr 0x se 7 :
— (p1) RE qe oh DE + (p)3'e — (po | 2) a 20 QD + +8 TE + ie — 2}
Are) g = He ea +2" = + (pi) y — (p)Ÿx :
avec des formules analogues pour 3(q:}), ô(r:), et pour ô(p2), 8(q:), (r2)3 8(ps); 83), È(r:).
Nous avons ensuite Ô(p) = 5p + (E)ôps + (n)5ps +(E)5ps + PAÎ(E) + pad) + psI(Q),
c'est-à-dire, en vertu des formules (75"), (76) et (80),
dd dx or dy oûr dz he
Do di her die die die
. æ odxdz oÿxdy oÿx dz s ” ou du 0 dy aÿydx ay dy oi'y dz , SUN PU MERE:
dè'z 20/z de 5'z dy d9'z dz + (p}'y— (gx
avec des formules analogues pour ô(q), ô(r).
Cherchons maintenant ce que deviennent les formules qui viennent d'être
établies, lorsqu'on introduit les auxiliaires êx, dy, ôz, 31, ès, Ôx, définies comme nous l'avons fait antérieurement. On a, par exemple,
FY u er NA :
ax a9'x d9'y 20z 22. 23 ., 2 = 2 — + = Y-— — 0x + CN E —- Ô dx dx ê dx x | ox ox T3
dy oôz et des expressions analogues pour re d'où le système
DANONE PROS TER
dx ET ô » < pe p+p É = TL + pe — (plz “ np NE à (py — (pe,
dx
et des systèmes analogues pour les dérivées par rapport à y et à z. On a des formules semblables reliant Ôr, 05’, dr’ et Ôr, ds, k. En vertu des formules
(72), et en supposant que le déterminant | 48" | — 1, on a alors: . dôx aùr n dÔT , - (82) 3) = — [6] (a +e at) + Ce R]— a Dr
— fra] (a 2 a 7 4 a 7) 2 Ce LE] — «KE, D — (en ee NE at À) + Ce Om] — «KE.
avec des formules analogues.
La valeur de Ô(£) écrite à la page 1 152 peut se mettre sous la forme :
= Ge DE LE (8e — (nd ie 7 > + (r)8x — (p}ô'z { RUE à € + (p'y — (g)ÿx {;
mais en vertu des formules (73), qui définissent (p), (q), (r), on a des formules telles que la’'suivante :
+ eye te + a de et par suite, en vertu des formules (72), | x où (83) 2) = — (LE) DE + En 7 + (I D)
formule où l’on pourra revenir aux dérivées . comme nous le ferons voir plus loin avec détail.
On a, en vertu des formules qui définissent ôx, dy, Ôz, ôr, ds. àk,
E) è K on) = a (a 2 4e 2 4 8 DE) LE Era) — Br)
1 [ oùt OÙ r ok
+ GE PR ! Es da te te 2e) + 0 — Frs nf, oùt 1 dÙI r DK ,
rfi ee D) + 1) — FO
—(p;) [«( (aSE+ HR AE) + æ
dx
dd ,d0y oz n[. ddæx ay + y, 6 mn) + (« nn)
( —(q:) «(8 Le PDT ÈE) a (8 papa) +a(s ve +...) | (
2y CO NE Ô à nt) [: (r CRE hrs) ï tr DE) er (r el
ce qui peut s’écrire, en vertu des formules (73),
8) pa (eo a D + (at Ur] — a
2ÿ z aù où ad à Het een) + api] — a pr
flo o0K air r + a (« ET + a! y + a =) + (a qi] — à [p,])èr
Ôy , roÙy on 20Y EE)
; [ oôz , oÙZz n OÙZ — [r,] (CT —+ à 2y —+ a Sr et l’on a des résultats analogues pour (4,), Observons enfin que l’on peut écrire :
Ô{p) — FL. + (g)ôk! — (r)ôs' — (pi) PRE + 8: — y] — (qi) É + (rx — LA
— () PE + 07 — qe].
ou ë(p) = a 2? + a! pe rte mL GET — (4) (p% + p D. Lg Fit) (x e + y! 7 " Es ou enfin :
(85) Gp) —=* de AL en . — [Pl 7 ms Et 7 ti 7 , formule où l’on pourra aussi revenir aux dérivées o On a deux formules analogues pour Ô(q), Ô(r).
