I. — STATIQUE DE LA LIGNE DÉFORMABLE
5. Ligne déformable. Etat naturel et état déformé. — Considérons une courbe (M,) décrite par un point M,, dont les coordonnées x,, y, zo, par rapport à trois axes rectangulaires fixes Ox. Oy, Oz, sont des fonctions d’un mème paramètre, que nous supposerons dans ce qui suit égal à j'arc s, de la courbe, compté à partir d'une origine déterminée dans un sens déterminé. Adjoignons à chaque point M, de la courbe (M) un trièdre trirectangle dont lesaxes Mix, Myi, M2 ont, par rapport aux axes Ox, Oy, Oz, des cosinus directeurs qui sont respectivement a,, 26, a5; Bo, 86, Bo 5 Yo Yo Yo et qui sont des fonctions du même paramètre s,.
L'ensemble continu à une dimension de tels trièdres Msxyoz, sera ce que nous appellerons une ligne déformable.
Donnons au point M, un déplacement M,M ; soient x, y, z les coordonnées du point M par rapport aux axes fixes Ox, Oy, Oz. Imprimons en outre au trièdre M,x, 7,2, une rotation, qui amènera finalement ses axes à être ceux d'un trièdre Mx'y'z que nous adjoindrons au point M ; nous définirons cette rotation, en nous donnant les cosinus directeurs a, +’, &”; 8, 8, 8”; y, y’, y” des axes Mx’, My M7 par rapport aux axes fixes Ox, Oy, Oz.
L'ensemble continu à une dimension des trièdres Mx/y2’ sera ce que nous appellerons l'état déformé de la ligne déformable considérée qui, dans son état primitif, sera dite à l'état naturel.
6. Eléments cinématiques relatifs aux états de la ligne déforjmable. — Supposons que s, varie et que, pour un instant, nous lui fassions ouer le rôle du temps ; en employant les notations de M. DarBoux (#), nous désignerons alors par &,, n,, &, les projections de la vitesse de l’origine M, des axes Mix, Moyo, M2, sur ces axes, et par p,, qe, r, les projections sur les mêmes axes de la vitesse de la rotation instantanée du trièdre M,x/y,7,. Nous
(1) H. Lorentz. — Versuch einer Theorie der elcctrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Kôrpern, Leiden 1895; réimprimé à Leipzig en 1906. Abhandl. über theorelische Physik, 1907; Encyklop. der Math. Wissenschaften, V:, Elektronen theorie,
(2) H. Porxcaré. — Electricité et Optique, 2° éd., 1901, p. 448.
(3) G. Darsoux. — Leçons sur la théorie générale des surfaces. T. I, Paris, 1887.
désignerons par &, n, & et par p, q, r les quantités analogues pour le trièdre Mxy 7, lorsqu'on le rapporte, comme le trièdre M,x/y4z,, au trièdre fixe Oxyz.
Les éléments que nous venons d'introduire se calculent de la façon habituelle ; en particulier, on a :
NS d ds d nn r AY n az, M Ÿ ur lt PHARE + DE RE Te a dx dy dz dy da (1) A — du, LP bi (2) q — Mi Di.
22 dx 1 dy ”r AZ da . df nr A Te Em dr
Avec ces quantités, l'élément linéaire ds de la courbe décrite par le point M est défini par la formule :
(3) ds? — (E? + n° + &?) ds?.
Désignons par x’, y, z' les projections du segment OM sur les axes Mz’, My, M7’, en sorte que les coordonnées, par rapport à ces axes, du point fixe O seront — x’, — y’, — z'. Nous aurons les formules connues:
dx! { l (4) Eee TO) n— ra + pl, nn
qui donnent de nouvelles expressions de &, n, &.
7. Expressions des variations des vitesses de translation et de rotation du trièdre relatif à l’état déformé. — Supposons qu'on imprime à chacun des trièdres de l’état déformé un déplacement infiniment petit pouvant varier d’une façon continue avec ces trièdres. Désignons par ôx, ôy, 8z ; 0x! ,5y!, dz/ ; dx, da’, . Ôy les variations respectives de x, y, z; x, y',2!;
la)
a, a, .… y". Les variations ôu, ôa’, .. Ôy" s'expriment par des formules telles que la suivante :
(5) Sa — Fr — 03",
au moyen des trois auxiliaires àr’, ôs', dx’, qui sont les composantes suivant Mz', My’, Mz de la rotation instantanée bien connue attachée au déplacement infiniment petit considéré. Les variations Ôx, ôy, ôz sont les projections sur Ox, Oy, Oz du déplacement infiniment petit éprouvé par le point M ; les projections Ô'x, y, d'z de ce déplacement sur Mz’, My’, Mz' s'en déduisent immédiatement et ont pour valeurs :
(6) 3'x—ÿx/+ 703 —y'ôx!, d'y—5y +x'èr —7ùr, D'z— 02 +y'd1—x'ds. Proposons-nous, de déterminer les variations dë, Ôn, dt, ôp, 8q, ôr éprouvées respectivement par £, n, &, p, q, r. D'après les formules (2), nous avons :
p= > (+) dy , Fe) $g.= > (5 8e + po
=D (Em+8T)
Remplaçons Sa par sa valeur Bôr’ — yôs', et da’, … y" par leurs valeurs analogues ; il vient
! IE à Le) 4 re (7) Bp— Te + ox —rè, gg +rè—pèx ag +pèi—qr.
Les formules (4) nous donnent de même trois formules dont la première est :
DE — CEE + qôz — rôy + 20q — y'ôr ;
So remplaçons ôp, ôq, ôr par leurs valeurs données par les formules (7) ; il vient : a GE — nôr — ds! + . + qù'x — rè'y, x : dÿ' (8) On — Cor — Edr' + da + roy — poz,
De Es — nôv + PE + pd — qù'e,
en introduisant, pour abréger l'écriture, les trois symboles dx, 5'y, 3'z définis par les formules (6).
8. Action euclidienne de déformation sur une ligne déformable. — Considérons une fonction W de deux positions infiniment voisines du trièdre Mzx'y'7, c’est-à-dire une fonction de s,, de æ, y, z, «, ax’, ..…., y” et de leurs dérivées premières par rapport à s,. Proposons-nous de déterminer quelle doit être la forme de W pour que l'intégrale
1 Wds,, :
étendue à une portion quelconque de la ligne (M,), ait une variation nulle, quand on soumet l’ensemble de tous les trièdres de la ligne déformable, prise dans son état déformé, à une même transformation infinitésimale quelconque du groupe des déplacements euclidiens.
Il s’agit, en définitive, de délerminer W de façon que l’on ait :
ÔW — 0,
lorsque, d'une part, l’origine M des trièdres Mx'y’z' subit un déplacement infiniment petit, dont les projections ëx, Ôy, êz sur les axes Ox, Oy, Oz sont :
dt — (a, + w,z — w,y) Ôë, (9) dy = (a, + w,r — wz) , Ôz — (a, + w,y — w,t) Gt,
OÙ ds y, ds, W4, W, W, Sont six constantes arbitraires et Ô{ une quantité infiniment petite indépendante de s,, et lorsque, d'autre part, ce trièdre Mx'y2! subit une rotation infiniment petite, dont les composantes suivant les axes Ox, Oy, Oz sont :
wiôl, wôl, wÔl.
Observons que, dans le cas présent, les variations ôt, ôn, à£, ôp, Ôq, Ôr des six expressions &, n, &, p, q, r sont nulles, comme cela résulte de la théorie bien connue du trièdre mobile, et comme nous pouvons d’ailleurs le vérifier immédiatement au moyen des formules (7) et (8), en y remplaçant àx, à par leurs valeurs actuelles :
(y) ae + W,2—w,y) 0 + 5 (a+ wt— 0,7) 0 + a"(a, + w,y — w,æ)5 l'— (aw, + ao, + a'w,) Ô4,
et S'y, 3'z, ds, dx’ par leurs valeurs actuelles analogues. Il en résulte que nous
obtenons une solution de la question, en prenant pour W une fonction arbi-
traire de s, et des six expressions Ë, n, &, P; q,»r ; nous allons maintenant
montrer que nous obtenons ainsi la solution générale (') du problème que
nous nous sommes posé.
.Observons à cet effet que les relations (2) permettent, au moyen de formules bien connues, d’exprimer les dérivées premières des neuf cosinus x, «* … y" par rapport à s,, au moyen de ces cosinus et de p, q, r. Remarquons d’autre part que les formules (1) permettent de concevoir qu'on exprime les neuf cosinus a, a’, .… y" au moyen de Ë, n, & et des dérivées premières de x, y, z par rapport à s,. Nous pouvons donc finalement exprimer la fonction W que nous cherchons en fonction de s,, de x, y, z et de leurs dérivées premières, et enfin de Ë, n, &, p, q, r, ce que nous indiquerons en écrivant :
MM". (se LE Yes de de Le ë, n.&, pq à Les variations ÔE, 8, ôt, Ôp, dq, dr étant nulles dans le cas présent, ainsi qu'on l’a remarqué il y a un instant, nous avons finalement à écrire, pour la nouvelle forme de W, que l’on a, en vertu des formules (9), et quels que
soient a,, @, dy, W4, W,, W, :
aW. 2W 2W oW , dx oW , dy aW = dz W Se or Len duo dr die des Un 7e Ph red ds, ds, ds, dr à dy nd
Remplaçons ôx, 8y, ôz par leurs valeurs (9) et à de hs de par les va-
leurs qu’on en déduit en différentiant ; égalons à zéro les coelficients de a,, a, dy, w,, w,, &, ; il nous vient les six conditions suivantes :
oW oW oW — = ©, — = O0, — — O0; dx dy dz 2W dz oW dy __ 2W dx oW dr , oW dy oW az dyds, | dz dir dz ds, dr ds, dx ds, dy ds, r) Rp re) à d Ts ns] d s, S, : s s So
(:) Nous supposons, dans ce qui va suivre, que la ligne déformable est susceptible de toutes les déformations possibles, que, par suite, l'état déformé peut étre pris absolument arbitraire ; c’est ce que l’on peut exprimer en disant que la ligne déformable est libre.
Les trois premières nous montrent, ce que l'on pouvait prévoir facilement, que W est indépendant de x, y, z; les trois dernières expriment que W ne
d ” se 64 dépend de Te , de , Le que par l'intermédiaire de la quantité :
dx \? dy \? ( dz k (a) + Ga) + Qu et comme cette dernière, d’après la formule (3), est égale à E + n + E, nous voyons finalement que la fonction W cherchée a la forme remarquable :
W (805 & %s Go Ps QT).
Si nous multiplions W par ds,, le produit Wds, obtenu est, dans le groupe des déplacements euclidiens, un invariant analogue à celui qui, sous le nom "élément linéaire, provient de la considération de la distance de deux points infiniment voisins de la courbe (M) décrite par le point M. De même que la valeur commune des intégrales
B9 ds B =—— ds,, ds, J. dsy © J
prises respectivement entre deux points A, et B, de la courbe (M,) et entre leurs points correspondants À et B de la courbe (M), détermine la longueur de l’arc AB de cette courbe (M), de même, en associant dans l'esprit la notion d'action au passage de l’état naturel (M,) à l’état déformé (M), nous adjoindrons la fonction W aux éléments de définition de la ligne déformable et nous
dirons que l'intégrale :
a, Wdss A0
est l’action de déformation sur la ligne déformée entre les points A et B, qui correspondent aux points À, et B, de (M,). Nous supposerons, dans cette définition et dans ce qui suit, que les arcs s, et s sont comptés dans le sens de À, vers B, et dans celui de A vers B, ou inversement que les notations A, B,, À, B, pour désigner les extrémités de la ligne dans l’état naturel et dans l’état déformé, correspondent à cette convention.
Nous dirons aussi que W est la densité de l’action de déformation er un
point de la ligne déformée, rapportée à l’unité de longueur de la ligne non
déformée ; W Fe sera cette densité d'action en un point, rapportée à l’unité
de longueur de la ligne déformée.
9. La force et le moment extérieurs; l'effort et le moment de déformation extérieurs ; l'effort et le moment de déformation, en un point d'une ligne déformée. — Considérons une variation quel-
conque de l’action de déformation entre deux points A et B de la ligne (M), savoir :
ne *0/2W. oW WoW w We Wd == (ALI re AUS CAL 2Ws le) le] .
ef. É je CSS np 6 gt or dr Jd.
Nous pouvons l'écrire, en vertu des formules (7) et (8) du $ 7,
s s12aWwW dô'x 8 [| wa [2 ECS + Te +18)
+ an (Er Ex + TE + a— po) oW /.. dÿ!z | He 2 (e arr = + pd y— aa) oW /d oW /dôs Sr Me) (Ben
aW /dè ar ne +pôr —qùr lé.
intégrons par parties les six termes qui renferment explicitement une dérivée par rapport à s, ; il vient :
; For oW, 2W, W,. W,,1" à [” Wds,— QUEr it a ALES PRE LL ap dv + ar er |
da “E (à 2W., ao ÿ doW 2W. pr [CE No mon ) “4 Rae Pt “ ; 2W 2W 2 Jer+( doW 2W 2W 2W ce)
Porn To Béop Tor og
d oW oW oW aW oW\,., EE qe ES mL d >oW doW 2oW oW oW\,, ne la Posons :
LD YA REC NN L RE LL 7 E ES" "-5n sn 90" op 2q o1 , d oW 2W , 2W, 20 15 JE | Fe on ; d >W aW 2W dar ds, on en tot d oW oW oW (ro) lier: Paso ASE / d oW WoW oW t 2W ne ds, op or 2q a an , … d aW oW 2W rw 2W M — ds, 2q put RPG dE at
Nous aurons :
20 "n LS ryù B sf. Was, = [F'è'x + G'y + H'0z + V'èr + J'èr + K'ôx"l A0 Po s s s — [ (Ke + V5 y + Zdz + Lidr + Miôs + Niôr') dso. A0
. . , = En ayant d’abord égard à l'intégrale qui figure dans l'expression de B0 , . .
ô sk Wds,, nous appellerons force extérieure et moment extérieur au point M, A9
rapportés à l'unilé de longueur de la ligne non déformée, les segments issus de M,
dont les projections sur Les axes Mx’, My’, Mz'sont respectivement X;, Y;,Z; et B,
L',M!,N/.En ayant ensuite égard à la partie tout intégrée de 5 J Wds,, nous
appellerons effort extérieur et moment de déformation extérieur au point B, les segments issus de B et dont les projections sur les axes Mr’, My’, Mz' sont respectivement les valeurs — FES 2 Le — H,, et — Lo — Se — LA que prennent au point B, les expressions — F’, — G’, — H', et — 1’, — J', — K'. Nous appellerons effort extérieur et moment de déformation extérieur au point À, les segments analogues formés avec les valeurs F,,, G, , H,, et I, , J,,, K,, que prennent au point A, les expressions F', G’, H' et L', J’, K'.
Les points A et B ne se présentent pas ici de la même façon, conformément à la convention qui les distingue et qui a été faite sur le sens dans lequel on compte l'arc 5,.
Supposons que l’on coupe la ligne déformée AB au point M et que l’on sépare, par la pensée, les deux parties AM et MB ; on pourra regarder les deux segments (— EF’, — G', — H') et (— l’, — J', — K') déterminés pour le point M, comme l’effort et le moment de déformation extérieurs de la partie AM au point M, et les deux segments (F’, G’, H') et (l’, J', K') déterminés pour le même point M, comme l’effort et le moment extérieurs de la partie MB au point M. Il en sera de même si, au lieu de considérer AM et MB, on envisage deux portions de la ligne déformable appartenant respectivement à AM et à MB et ayant une extrémité en M. En raison de ces remarques, nous dirons que — F’, — G', — H' et — I’, — J, — K' sont les composantes sur les axes Mx’, My’, Mz', de l'effort et du moment de déformalion au point M, exercés sur AM et sur toute portion de AM aboutissant en M, et que F’, G’, H' et [’, J', K’ sont les composantes sur les axes Mx’, My’, Mz de l'effort et du moment de déformation au point M, exercés sur MB et sur toute portion de MB aboutissant en M.
Observons que, si l'on remplace le trièdre Mx'y/z/ par un trièdre qui lui est invariablement lié, on est conduit à des conclusions identiques à celles que nous avons indiquées précédemment (4).
(*) Note sur la dynamique du point et du corps invariable, Tome I, pages 260 et 260.
Un)
10. Relations entre les éléments définis au $ précédent: transformations diverses de ces relations. — Les différents éléments intro-
duits dans le $ précédent sont liés par les relations suivantes, qui résultent immédiatement de la comparaison des formules qui leur servent de défini-
tion :
! { LL + qH'— rG — X, — 0, + qK'—rJ'+ nH'— €G — L, —0o 0 :
ds, ! 1 ( (11) de ET RUE cs de rl —pK' + — EN M —0 ai Rome an NT [ARE DE Era nt \ das, ds,
On peut se proposer de transformer les relations que nous venons d'écrire, indépendamment des valeurs calculées au moyen de W, des quantités qui y figurent. Ces relätions ont lieu, en effet, entre des segments attachés au point M et auxquels nous avons attribué des noms; au lieu de définir ces segments par leurs projections sur Mz’, My, M2’, nous pouvons tout aussi bien les définir par leurs projections sur d’autres axes; ces dernières projections seront liées par des relations, transformées des précédentes.
Les relations transformées s’obtiendront d’ailleurs immédiatement, si l’on remarque que les formules primitives ont une interprétation simple et immédiate par l’adjonction aux axes mobiles des axes qui leur sont menés parallèlement par le point O.
1. Considérons d’abord les axes fixes Ox, Oy, Oz. Désignons par X,. Y,,Z,, et par L,, Mo, N, les projections sur ces axes de la force et du moment extérieurs en un point quelconque M de la ligne déformée, par F, G, H et par I, J, K les projections de l'effort et du moment de déformation dont les projections sur les axes Mr’, My’, Mz' étaient F', G',H', et l', J’, K’. Les transformées des
relations précédentes sont évidemment :
He al dy RE HAS D nd die dG > dJ dz dx
Lau ds, RL ed Ie dH dK dx - dy DORE CE de le de d NES
Nous pouvons regarder la force X4, Y4, ZQ et le moment L,, M}, Né: ou si l'on veut la force X,, Yo Zo et le moment L;, M,, N,, comme distribués d’une manière continue le long de la ligne, et cette force et ce moment seront ici rapportés à l’unité de longueur de la ligne non déformée; pour avoir la force et le moment rapportés à l'unité de longueur de la ligne déformée, il
ds suffit de multiplier X4, Y!, Z6. Li, Mi, Né ou X5, Yo, Zos Los Mo No par FA
ds étant l'élément linéaire de la ligne déformée qui correspond à l'élément linéaire ds, de la ligne non déformée. Introduisons les projections X, Y, Z L, M, N sur les axes fixes Ox, Oy, Oz de la force et du moment extérieurs
ainsi rapportés à l’unité de longueur de la ligne déformée:; il viendra les relations :
dF di dy dz réel oi e babe FH HER 2 TP UE dG dJ dz dx
(12) Free th De PL a pe ar dH dK dr dy RL NE SR
qui sont identiques à celles considérées par plusieurs auteurs et en particulier par Lorp KeLvin et Tair (‘); mais ces derniers les obtiennent, en appliquant ce qu’on appelle, dans la Mécanique classique, le principe de solidification, et en partant de la notion a priori des forces et des couples, lesquels sont exprimés ensuite a posteriori et en vertu d’hypothèses en fonction des déformations; dans ces hypothèses, on n’a envisagé d’ailleurs jusqu'ici que des déformations infiniment petites, tandis qu’actuellement nous nous plaçons dans le cas le plus général.
2. On peut donner aux équations relatives aux axes fixes Ox, Oy, Oz une nouvelle forme. Nous pouvons exprimer les neuf cosinus «, a, .…. y’ au moyen de trois auxiliaires ; soient },, À, À, trois telles auxiliaires. Posons :
Dydg = — ddr — D, + wide + md, D'ady = — Ÿ'yde = JAdh + ysdhs + xidhs, Dde = — Dadf — dd\, + 510, + id,
Les fonctions &;, x;, s; de À,, À,, À, ainsi définies satisfont aux relations :
d/! dy! n .
M + duo (j=1, 2,8) d5!, d0! 1," SR RP EE ne et l’on a :
dÀ dÀ d) ml > :
PACS RS Or .e dE q ds, + LA du
dd À =D Us + of ee
Désignons par &;, y;, 0; les projections, sur les axes fixes Ox, Oy, Oz, du
(4) Loro Kecvin Et Tir. — Natural Philosophy, Part. II, $ 644.
segment dont les projections sur les axes Mx’, My’, Mz', sont w;, y!, s!; nous aurons :
ada + PR" + y'dy" = — (ada + PAR + var) = J'ad, a'da + Bd + v'dy — — (adx + dB” + ydy) — Du, ada! + Bdÿ" + ydy — — (a'dx + B'd8 + dy) — Dadh,
en vertu desquelles (!), les nouvelles fonctions w;, y;, s; de À,, À, À satisfont aux relations :
2 ; dS; a% - A He
DS me Ce Dm Ci
dY ; di SL
LT EE — 5%, — 0,0; LT 0), NV TT GJ 2, 8) 29; d9:;
+ — 2° = OY, — Dj/;;
, DANS TO MN TTRR TE nous ferons encore la remarque, qui nous servira plus loin, que si l'on dé- . "n . . e esigne par 9,, À, ÔX, les variations de À,, À,, À, qui correspondent aux varia- . a S
tions Ôx, a, … Ôy” de a, a’, .… y”, on aura :
Su!
à — m0, + wi), + ms,
or AL + 4h02 + 70h.
Ôk — oh, + o0À, + a 0,
Ô1 — adr + B53' Lu YÔr! = m0, = w,9X, = mods. Sy — a'Ôr! + 8/03! + +'9r! — 49 + Xa0à; + Y303 Ôr — a"Ôr + Bd + Or! — s À, + 692 + 63Às
où àr, Ôr, Èx sont les projections sur les axes fixes du segment dont les projections sur Mx’, My’ MZ sont ôr’, ôr', r'.
Posons maintenant
J= ol + 449" + OK = 0 + 4,3 +o,K
q= el + x) + ok = ol + x) + 5,K
Ro) + 43) + d,K' = 0] + 43 + 6,K L, = SL, + x4M + SN = mL, + M + ci Ji, = mL6 + 226 + Ne = mL, + xaMo + No Vo — D4L!, + y$M, + oiN, = lo + y3Mo + oNs,
(“) Ces formules peuvent servir de définition directe aux fonctions wi, Yi, si et être substituées à
wi = om + Byxi + voi, u=dm+Buit+ys, (= 1,32,35), gi = ao + Fu + Y'oi.
et nous aurons l'équation ;
d ! d ! J ! dx ! CR Een C4 ds, HN. 1 Eee ) a — }| (ae + q51 oo pe + ro — pri) K Ce + pi — JS + FE — cn) + G'(SE— mit) + H'(œin — XE) — Lo — 0,
avec deux équations analogues. Si l'on remarque que les fonctions &, n, &, p.
A, D, dh
q, r de À,, À,, ds de de, donnent lieu aux formules :
à à dw! 4 in Li — sn —0, + — a no | om 2
D How 0, SL = JE + roi — pot
Ebony HT +pi— que à; a; ds
qui résultent des relations de définition des fonctions w!, y}, s; et des neuf
identités qu’elles vérifient, on peut donner à l’équation précédente cette nouvelle forme :
dj 1 dË dn RU UE LU ME HR > del a, a oÀ, I À, J a), K À, Er
avec deux équations analogues.
En posant
A — wi Œ __ y’ PRE zG) = Va (3: = z'E" — z'H)+ 5, (K' HE x'G'— y'F), Lo = 0, (Lo +726 —2Y5) + (M + ZX — 226) + 01 (N6 + x Y, —Y'X), avec des formules analogues pour Ÿ, #', Ab, 5, on trouve de même la forme d'équation
ds 1 LT 101 2P ' Want rx) 24 à EL + Y'H FE —(J + 7F Mt
or :
