SE RL
avec deux équations analogues.
Nous appliquerons bientôt les transformations que nous venons d'indiquer ; pour le moment, nous nous bornerons à faire remarquer que les expressions à, ds”, dk’ et dr, Ôs, Ôr ne sont pas des différentielles exactes.
3. Au lieu de rapporter aux axes fixes Oxyz les éléments relatifs au point M, envisageons, pour définir ces éléments, un trièdre trirectangle Mx! y! z! mobile avec M et dont l'axe Mx! est assujetti à être dirigé suivant la tangente à la courbe (M) menée dans le sens des arcs croissants. Pour définir ce trièdre Mxy12,, rapportons-le au trièdre Mx'y'7 et soient, par rapport aux axes de ce dernier, l, l', l’ les cosinus directeurs de Mx!, m, m', m" ceux de My! et n, n', n” ceux de Mz. Les cosinus !, l', l” seront définis par les formules :
c'est-à-dire par les suivantes :
en posant em VE +mn+e.
nous admettrons que le trièdre Mx/ y,z, a même disposition que les autres. Nous ne ferons pas d'hypothèse particulière sur les autres cosinus ; ils seront simplement assujettis à vérifier, d’après leur définition, les relations :
ME + mn + m'E— 0, + nn + né —o.
Supposons que s, varie et que, pour un instant, on lui fasse jouer le rôle du temps; rapportons de plus le trièdre Mx! y! z! au trièdre fixe Oxyz et désignons alors par pi, q,, r, les projections respectives de la rotation instantanée du trièdre Mzx! yz, sur les axes Mx,, My', M:!, en sorte que l'on aura trois formules telles que la suivante :
! [4 dm n=bp+lg+lr+ nr
en admettant la même disposition pour les trièdres.
Désignons enfin respectivement par X', Y!, Zi et par L'. M°, N! les projections sur Mz', My’, Mz! de la force et du moment extérieurs en un point quelconque M de la ligne déformée, rapportés à l’unité de longueur de la ligne non déformée, par F,, G', Hi et par I}, J', K; les projections de l'effort et du moment de déformation. Les transformées des équations du $ précédent sont évidemment :
D qi in Ge 0, get Qi rl bou — 0,
CDD + Ft — pal — Yo GE + rl — pK — el — M 0
dK! ; 1 ’ Re+ P,G, — qi — Z, =0, de + pali er qi Gr eG; — N; — 0,
Dans la Résistance des matériaux, on appelle F,' effort de tension ; les composantes G,', H,' sont des efforts tranchants dans le plan normal à la ligne déformée. De même la composante I, du moment de déformation est un moment de lorsion ; les composantes J,', K,' s'appellent moments de flexion.
Si, dans la quatrième équation (13), on a Li —o et q, — 0, il vient :
Je ds, d’où résulte cette proposition, établie par Porsson (*) pour le cas où LD), M! — 0, N/— 0, qi — 0, que si J, — 0, on a Î, — const.
Porssox. — Sur les lignes élastiques à double courbure, Correspondance sur l'Ecole Polytechnique, T. ILE, n° 3, p. 355-360, janvier 1816. La proposition de Porssox est
11. Travail virtuel extérieur. Théorème de Varignon. Remarques sur les auxiliaires introduites dans le $ précédent. — Nous donnerons le nom de travail extérieur sur la ligne déformée AB, dans une déformation virtuelle quelconque, à l'expression :
G, = [F'èx de G'ô'y Le H'5z dre I'ôr' Es J'ô5! LE K'ôx'}, Bo 2e if (Ko dx + Yo y + Ze 02 + Loôr + M3 + Ny/ôr') dso.
D’après le $ précédent, on peut, en posant £ — # a. LL “ .….
donner à cette expression les formes suivantes : 36, — — [Fèr + Gèy + Hèz + Ii + Dès + Kôr]° + fa + Vôy + Z5z + Lôr + Môs + Nôk) ds, 0, = — [Fôx + Gôy + Hôz + J, + PA, + Rk;]” + [las + Yôy + Zôz + LOX, + DNOX, + M9À,) ds, ere Pêe + G'èy + H'è7 + SEX, + FE, + K'O,]”
B e À (X'Bx + V'ôy + Z'èr + LEX, HR, + MX) ds.
Nous appliquerons plus loin les deux dernières. Des deux premières, nous allons déduire ici une proposition fondamentale de la Statique, dont l'idée, sinon la forme actuelle, est due à Variexon, et que nous avons déjà rencontrée dans l'interprétation donnée par Saintr-GuiLuem aux relations qui lient, dans la dynamique, les forces extérieures et les quantités de mouvement. Assimilons l'effort et le moment de déformation, en un point M de la ligne M, à la résultante et au moment résultant d'un système de vecteurs relativement au point M ; soient Pv, Ps la résultante générale et-le moment résultant relatifs à un point P de l’espace. Assimilons de même la force et le moment extérieurs en un point M, rapportés à l’unité de longueur de {M), à la résultante et au moment résultant d'un système de vecteurs relativement au point M; soient PN et PS la résultante et le moment résultant relatifs à un point P de l’espace ; on a cette proposition :
L'arc s élant assimilé au temps, les vitesses des points géométriques v et « sont respeclivcment égales et parallèles aux segments PN et PS.
indépendante des formules qui définissent l'effort et le moment de déformation au moyen de W; Poisson l'établissait en écrivant, par le principe de solidification, des équations d'équilibre d'une portion de la ligne ; BerrranD en a donné une démonstra-
ee dans une Note de la Mécanique analytique de Laëraxce, sur laquelle nous revienrons. |
Cette proposition est évidemment la traduction des équations (12) que l’on peut écrire :
Re d Bu YŸ=0 EI + F2 — He) — (M+ Xz:— Zr)— 0,
RE ‘d ds 20 TK + Gx— Fy) — (N + Yz — Xy)— 0.
dF x d | (ä— on Ti +Hy— Gr) —(L+Zr—Y)—0, (0
Nous pouvons encore y arriver de la manière suivante. Partons de
sl Was, — — 56, A
CG, étant pris entre À et M. Comme SW doit être identiquement nul, en vertu de l'invariance de W dans le groupe des déplacements euclidiens, quand les expressions dx, …, dr, … sont données par les formules (9'), ou, ce qui revient au même, quand Ôx, êy, ôz sont donnés par les formules (9) et quand 1 — wôt, ds — w,ôt, dx — wôt, et cela quelles que soient les valeurs des censtantes a, &, &;, w,, w,, w,, nous en concluons que l'on a :
eu fx, (Gr — [va 0, mi — [za — 0,
D+yn—cn— f (L + yZ — 2Y) ds — 0, A
et deux formules analogues ; dans ces relations, on peul concevoir M comme variable, et elles sont aussi équivalentes aux équations (12"). On remarquera que ces formules se déduisent facilement de celles que l’on écrit d’ordinaire au moyen du principe de solidification ; nous reviendrons plus loin sur ce point, à propos du raisonnement fait par Poisson et repris par Berrrann, à l'égard de la ligne déformable considérée par Biner.
A côté des expressions F’, G’, H/, I’, J’, K’ d’abord introduites, nous avons envisagé d’autres expressions que l'on peut se proposer de calculer. D'autre part, dans ce calcul, on peut faire apparaître explicitement les fonctions que l'on veut mettre en évidence suivant la nature du problème, qui seront par exemple, x, y, z ou x’, y', z'ettrois paramètres À,, À, À; au moyen desquels on exprime «, «, .… Y’(1).
Si l’on introduit x, y, z et A1, À À3, On aura :
oW 2W 0 oW RE) MCE Enep > ds, ds, ds,
2W oW ee oW D de on ds, ds, dSo
(*) Comme telles auxiliaires À,, À», À$ on peut prendre, par exemple, les composantes de la rotation qui amène les axes fixes Or, Oy, Oz à être parallèles respective-
ment à Mz', My, M:.
Si l’on introduit x’, y!, z' et trois paramètres À,, À,, À,, on aura :
' aW oW Lo.
= 75 PRE CR H' — az” ar: FA dss ds, oW Ro RON PS TN ES ds, dSo ds, 12. Notion de l'énergie de déformation. — Envisageons les deux
états (M,) ou A,B, et (M) ou AB de la ligne déformable, et considérons une suite quelconque d'états partant de (M,), pour aboutir à (M); il suffit, à cet effet, de considérer des fonctions x, y, z; a, a’, … y" de s, ct d’une variable hk qui, pour la valeur zéro de h, se réduisent respectivement à %,, Yo 203 % af, … y, et, pour la valeur À de h, se réduisent respectivement aux valeurs x, 7,24, a, … y" relatives à (M).
En faisant varier le paramètre À de o à k d’une façon continue, nous obtenons une déformation continue permettant de passer de l’état AB, à l'état AB. Envisageons, dans cette déformation continue, le travail total effectué par les forces et les moments extérieurs appliqués aux différents éléments de la ligne et par les efforts et les moments de déformation appliqués aux extrémités de la ligne. Il suffit, pour obtenir ce travail total, d'intégrer de o à h la différentielle obtenue, en partant de l’une des expressions de èG, du $ précédent, et en y substituant aux variations de æ, y, z; a, a’, .… y’ les différentielles particlles qui correspondent à l'accroissement dh de h ; la formule
G.—=— | ‘SWas,
A0 donnant, pour la valeur actuelle de èG,, l'expression — ne soMl — dhds,, nous
obtenons, pour le travail total :
__ -f(Trus
Fa k CW (Sos Es 5 Er Pr 9 Fr) — W (So Eos Nos Los Po dos ro)] dss. Le travail considéré est indépendant des états intermédiaires et ne dépend que des états extrêmes (M) et (M).
Ceci conduit à introduire la notion d’é énergie de déformation, qui doit être distinguée de celle de l’action envisagée précédemment ; nous dirons que
+ W. est la densité de l’'6 énergie de déformation, rapportée à l’unité de longueur de la ligne non déformée.
43. Etat naturel de la ligne déformable. Indications générales sur les problèmes auxquels conduit la considération de cette
ligne. — Dans ce qui précède, nous sommes partis d’un état dit naturel de
la ligne déformable, et nous nous sommes donnés un état dit déformé ; nous avons indiqué des formules permettant de calculer la force extérieure et les éléments analogues dès que, à la ligne déformable, est adjointe la fonction W représentant l’action de déformation en un point.
Arrètons-nous un instant sur la notion d’éfat naturel. Ce dernier est, dans ce qui précède, un état qui n’a subi aucune déformation. Concevons que les fonctions x, y,z, .… qui déterminent l’état déformé, dépendent d’un paramètre, et que, pour une valeur particulière de ce paramètre, on retrouve l'état naturel; ce dernier nous apparaît alors comme un cas particulier de l'état déformé, et nous sommes amenés à essayer de lui appliquer les notions relatives à ce dernier.
On peut, sans changer les valeurs des éléments définis par les formules (10), remplacer la fonction W par cette fonction augmentée d’une fonction déterminée quelconque de s,, et si l'on se laisse inspirer par l’idée d'action, que nous associons au passage de l’état naturel (M,) à l’état déformé (M), on pourra, si l'on veut, supposer que la fonction de s, définie par l'expression
k W (85 Ë6s Nos Los Po Los lo)
est identiquement nulle ; mais les valeurs obtenues, à l’égard de l’état naturel, pour la force extérieure et pour les éléments analogues, ne seront pas nécessairement nulles ; nous dirons qu’elles définissent la force extérieure et . les éléments analogues relatifs à l’état naturel (1).
L'état naturel se présente, dans ce que nous venons de dire, comme l’état initial d’une suite d'états déformés, comme un état à partir duquel nous étudions la déformation ; on est, par suite, conduit à se demander s’il n’est pas possible de faire jouer à un des états déformés, le rôle que nous avons fait jouer à l’état naturel, et cela de façon que les éléments définis au $ 9 (force extérieure, effort extérieur, ..….), calculés pour les autres états déformés, aient la même valeur, si on rapporte les premiers de ces éléments à l'unité de longucur de la ligne déformée. Cette question ne peut recevoir une réponse que si l’on introduit et si l’on précise la notion d'action correspondant au passage d'un état délormé à un autre état déformé.
L'hypothèse la plus simple consiste à admettre que cette dernière action s'obtient en retranchant l'action, correspondant au passage de l’état naturel (M,) au premier état déformé (M,,), de l’action, correspondant au passage de l’état naturel (M,) au second état déformé (M). Si nous désignons par s(
l'arc de (M{ÿ) et par E(g)> fo)» Slo)s Pto)r Jo)s rw les quantités analogues à &,
(4) Nous pouvons parler alors de force et de moment extérieurs, d'effort et . moment de déformation, parce que nous regardons l’état naturel comme la limite “i suile d'états, pour lesquels nous savons ce que c’est que la force et le MATOS x rieurs, l'effort et le moment de déformation ; la force et le moment extérieurs, l'effor etle moment de déformation n'étant définis par nous, jusqu'ici, que lorsqu'il y a
déformation capable de les manifester et de les mesurer.
n, & P; q, r, On est alors conduit à adopter comme action de déformation, relative au passage de l’état (M,,)) à l’état (M), l'expression
(14) 1 CW (Sos Er 5 &s Ps Qo 7) — W (601 Éto)s Pte)> Lto)r Pois Tto)s r'(o)) ] ds. A0
Introduisons sy comme variable, au lieu de s,, et désignons par E(°), r(°), ç(9, p), g(0), rl9) ce que deviennent Ë, n, &, p, q, r, quand on fait jouer à s4,)
le rôle que l'on faisait jouer à s, ; on aura des relations telles que la suivante :
ds ë — 800 ee
et, en désignant par A), B4) les points de (M4) qui correspondent aux points À,, B, de (M,), l'expression (14) devient :
B(0) (15) + W) (so) 0), (0), (0), plo), q(e), rt0)) dsys), A
en désignant par W(9 {s4, El), n00), £(0), p9), 0), r(°)\ l'expression
ds ds ds ds W CU el À DENT) Best c) RRNPRE "À Enecl () À TERRES + E AE EL. (ss FRONT FD di W (Go Hop io + Ft) ds(o)
dans laquelle s,, Fe : Lo sont remplacés en fonction de s(,). 0 0 :
On pourra d’ailleurs, si l’on veut, d’après la remarque faite au début de ce $, substituer à l'expression (15) la suivante :
B(0) à (157) W (0) (S(0) E(0), n{), gt), p®, q(, rO))ds(o
où la fonction WU (s4), EU), n(9, &(0), pt), :q(0), r(0)) est l'expression
ds ds W {o) “(0) .. pr(0) (0) (So ë ds, sr ds,
dans laquelle s,, So, “eo sont remplacés en fonction de s4- 0 0
On constate immédiatement que l'application des formules du 8 9 à l'expression (15) ou à l'expression (15) donne, en partant de (M,,,) comme état naturel, les mêmes valeurs de la force et du moment extérieurs relatifs à
l’état (M), rapportés à l’unité de longueur de (M), ainsi que les mêmes valeurs de l’effort et du moment de déformation.
Ainsi, nous pourrons considérer (M) comme un état déformé dont (M,,)
serait l'état naturel, pourvu que la fonction W associée à l’état (M) soit actuellement (1) Why et W(0).
(*) Ceci nous permet, comme nous l'avons dit au début de ce $, de généraliser la notion d'état naturel que nous avions d’abord introduite. Au lieu de faire correspondre
simplement à ce mot l’idée d’un état particulier, nous pouvons, d’une façon plus géné-
rale, lui faire correspondre l’idée d’un état quelconque à partir duquel nous étudions la déformation,
Donnons maintenant quelques indications générales sur les problèmes auxquels peut conduire la considération de la ligne déformable.
Nous avons donné, dans ce qui précède, ainsi que nous l'avons déjà rappelé, les formules qui déterminent la force extérieure et les éléments analogues, lorsqu'on suppose connues les fonctions x, y, z, … des,, qui définissent l’état déformé. :
Nous pouvons maintenant concevoir que l’on cherche à définir, soit en totalité, soit en partie, les fonctions x, Y»2Z,,.. Connaïssant un certain nombre des éléments tels que la force et le moment extérieurs et certaines données accessoires relatives aux inconnues.
Remarquons immédiatement que si l’on part de la donnée de x, y, z, … et si l’on calcule, pour fixer les idées, X!, Y!, Z!, on obtiendra, tous calculs faits, des fonctions déterminées de s,; mais, en vertu des formules qui définissent x, y, z, .. en fonction de s,, on peut évidemment exprimer Xe, Yi, Z;, au moyen des,, de x, y, z, .…, et de leurs dérivées jusqu’à tel ordre que l’on voudra. En envisageant un problème, dans lequel X , Y,, Z:, par exemple, figurent parmi les données, nous pouvons donc concevoir que ces expressions soient données en fonction de s,, mais nous pouvons aussi bien supposer qu'elles renferment x, y, z, ... et des dérivées de ces dernières par rapport à 5.
Considérons un problème, dans lequel figurent, parmi les données, les projections de la force et du moment extérieurs, soit sur les axes fixes Ox, Oy, Oz, soit sur les axes Mx’, My’, Mz’, et supposons, pour fixer les idées, que ces projections soient des fonctions données de s,, de x, y, z, a, a!, .… y" et de leurs dérivées du premier et du second ordres. Supposons, en outre, que la force et le moment extérieurs soient rapportés à l'unité de longueur de (M,) et que z,, Y5, Z soient des fonctions données de s,. Il est clair que, dans ces conditions, les formules du $ 9, qui servent de définition à X;, Y:, Z:, L:,
t; N, deviennent six équations différentielles entre les inconnues x, y, z, À, À9s As, Ces trois dernières étant trois auxiliaires, au moyen desquelles on a exprimé les neuf cosinus &, a, .. y”; ces équations différentielles, avec les hypothèses que l’on vient de faire sur la force et le moment extérieurs, ne renferment pas de dérivées d'ordre supérieur à deux.
Pour achever la recherche des inconnues, si le problème posé est déterminé, ou du moins s’il ne comporte pas une indétermination aussi grande que celle qui résulte des seules équations différentielles dont on vient de parler, on aura à tenir compte de données complémentaires; ces dernières pourront être des conditions aux limites, c’est-à-dire des conditions vérifiées aux extrémités A, et B, par les inconnues : on pourra se donner, par exemple, en À, et en B,, les valeurs d’un certain nombre des expressions x, y, z, À,, À,, À, et des expressions telles que F,, G;, H,, 14, J6, Ki, relatives à l’effort et au moment de déformation, ou même des fonctions, le plus souvent linéaires, de x, y, 2, À, À3 À et de F5, G’, H,, 6 Jo K5-
Nous venons de montrer, par des exemples particuliers, avec des hypothèses particulières, comment, à des problèmes divers, pourront correspondre des
équations différentielles et des conditions complémentaires; mais on peut varier les questions.
Si l'arc s figure explicitement dans les données, on considérera s comme une variable supplémentaire et on adjoindra la relation
do) dy\? dz\?
Ge) + (a) +(h="
Il arrive souvent que l’on porte surtout l'attention sur la ligne déformée (M), la ligne (Mi) restant, en quelque sorte, au second plan ; si nous supposons que l'expression de W en fonction de s,, £, n, £, p, q, r est donnée et ne nécessite pas, pour sa détermination explicite, la donnée de (M,), la fonction W sera finalement une fonction de s,, des dérivées premières de x, y, =, de À, M, d.4 et des dérivées premières de },, À,, }, ; si la force et le moment extérieurs sont donnés aussi explicitement au moyen de s,, de æ, y, z, 14, À,, ds et de leurs dérivées, il est clair que le problème peut être considéré comme comprenant d’une part la détermination de l’état (M), au moyen d'une variable relative à cet état, s par exemple ou l’une des lettres x, y, z, et d'autre part la détermination de la relation qui lie s, et s. Avec les hypothèses que nous venons de faire, s, pourra figurer explicitement et figurera en outre (1)
ds,
par sa différentielle ds,, ou, si l'on veut, par l'expression ds > Ou par l’expres-
sion inverse . Remarquons que la notion du quotient = , qui donne la
dérivée de s par rapport à s,, correspond à la dilatation linéaire éprouvée par l'élément de ligne ds, issu du point M, de (M,)et qui est devenu l'élément ds issu du point M de (M) correspondant au point M,. Nous reviendrons sur cette dilatation que LauÉ a particulièrement envisagée dans la ligne déformable particulière qu’il a étudiée (?).
Un autre type de problèmes sera développé plus loin, lorsqu'on cherchera à rattacher à la ligne déformable définie jusqu'ici, c’est-à-dire à la ligne libre (°), susceptible de toutes les déformations possibles, les lignes très spéciales considérées par les géomètres qui se sont occupés autrefois du sujet actuel, en envisageant l'étude de ces dernières comme l'étude de déformations particulières de la ligne libre.
14. Forme normale des équations de la ligne déformable, lorsque la force et le moment extérieurs sont donnés comme de simples fonctions de s, et des éléments qui fixent la position du trièdre Mry7. Principe du travail minimum de Castigliano. — Supposons
(1) Si l’on donne la force et le moment extérieurs rapportés à l’unité de longueur de (M), et, plus généralement, si l’on donne ces éléments en fonction de SD; 8, ©, et des dérivées premières par rapport à l’une de ces lettres.
() LaAMÉ. — Leçons sur la théorie mathématique de l’élasticilé des corps solides, 2° édition, p. 98-99 (8° leçon, $ 41, intitulé Dilatation du fil).
(©) L'expression libre signifie ici que la théorie est faite en partant d’une fonction W portant sur des éléments qui résultent de la considération de cette seule ligne, et qui sont susceptibles de toutes les variations possibles.
que, conformément aux indications du 8 précédent, la force et le moment extérieurs soient donnés au moyen de simples fonctions de s, et des éléments qui fixent la position du trièdre Mzx'y'7. Supposons aussi que l'état naturel soit donné. Nous pouvons considérer les équations du $ 9, comme des équations différentielles relatives soit aux inconnues x, y, z et à trois paramètres À, À, À4 au moyen desquels on exprime a, a!, … y”, soit encore, ce qui .correspond à un changement de variables, relatives aux inconnues +’, y!, z! et aux trois paramètres À,, À,, À,. Ces deux points de vue sont ceux qui se présentent le plus naturellement. Dans le premier cas, les expressions Ë, r, &, P; q, r sont des fonctions de D a, de SES SE ra me que l'on calculera au moyen des formules (1) et (2). Dans le second cas, ce seront !
des fonctions de x’, y’, 2’, D DTA rs me .…, que l'on calculera au moyen des formules (2) et (4).
Le premier cas est le plus intéressant, en raison de l’analogie qui existe entre la question actuelle et la dynamique du point, du trièdre et du corps invariable. Examinons-le d’abord.
1. Admettons que X;, Y?, Z, Li, M;, N5, ou, ce qui revient au même, Xos Vos Ze» Los Mos No Soient des fonctions données de 5,4, æ, y, z, À Àss À3- L'expression W est, après substitution des valeurs de ë, n, &, p,q,r, tirées des
: ; .. de dy d formules (1) et (2) une fonction déterminée de s,, Ts SL L: Ad le se
a LUE À de , que nous continuerons à désigner par W, et les équations du de "tds, oroblème peuvent s'écrire :
d oW 2W
LCL PRE 2e 2 — 0, ds, . dx X ee ds , du a, :
24s, ds, d 2W ve dos MoN, ju ess e “: — Y,— 0, 4%, £ dh, 0% , , ds, ds d. 2W " (ONE S OMS io se DD ARE TETE EE ds, ds,
Los by, Te étant les fonctions de s, zx, y, 2, À, À, À qui résultent des
fonctions du $ 40. Sd de
Ceci résulte immédiatement, soit des formules des $$ précédents, soit d’une façon plus immédiate de ce que les formules de définition de X,, Yo, Zos %os Ms TV, F, G, H, 9, ÿ, À peuvent se résumer dans la relation :
BQ sf Wds, + ?G, — 0, A0
26 THÉORIE DES CORPS DÉFORMABLES c’est-à-dire dans :
B, [ "was, — [Fôx + Gôy + H à + 90, + sON + RAS], A0
B ss 1h Oz + Von + Libre E Dole M), + TO ds- A0 Nous pouvons remplacer le système précédent, par un système d’équations du premier ordre, en introduisant six inconnues auxiliaires, pour lesquelles, au lieu des dérivées du premier ordre de x, y, z, À,, À;, À, nous choisirons les six expressions considérées précédemment :
F — oW TON SONT ; à? LS: de ? ds, ds, ds,
aW ro …. … Cow DA NES SUR ds, ds, ds,
De ces six relations, nous pouvons tirer, en supposant que le hessien de W par rapport à Ce at Ce ds,” ds,” ds,’ ds,’ ds,’ ds
poser que le hessien de la fonction W, dont on est parti, par rapport àt,n, 6,
à a PR nt de dx P, q, r, n'est pas nul), des valeurs pour ces six dernières dérivées LS" Tn 0 0
3 n’est pas nul (ce qui revient à sup-
en fonction de F, G, H, 3, 3; À. Transportons ces valeurs dans l'expression ;
__dæ 2W dy 2oW dz.oW dÀ; oW =, de Hide dit M, ET 2 Re ds, ds, ds ? ds, qui n’est autre que l'expression de :
2W 2W 2W oW oW oW 8 ones sort verte dons EME dx dy dz d,
en fonction de s,, 7, Y 7 Le à tue De dde de AE 0 Nous obtenons, après substitu
tion, une fonction de s,, Ares Res , Ge He 3 3 À, que nous continuerons de désigner par la lettre &. Or la différentielle totale de cette dernière fonction est évidemment :
dx , oW d\, , oW W TE NES OO 22% 2W ds : dx + + ds, d * dx, … 25, d. 0 =D Fe d}; ds, ds, ou M eue AH td ds, ds, ds, ds, ds, J
dÀs 2W 2W SE d df GS dso > où, dh;,
So 25,
et l’on a, par suite, comme forme du système définissant x, y, :, STE F, G, H, 5, 7, & :
de 06 dy 28 d__26 d, 28 d\, __o8 dx, __ 28 ds) dF’ ds, 2G’ ds, 0H ds, où dsy — 54° ds, — a COR QUE UC dH dJ 28 ee an 0 og ot ee dore 0:
d 28 +. dR, d% A RE LT GR 0
Nous avons supposé que, en vertu des formules qui définissent x, y, z, À,, 3, À en fonction de s,, on exprime X,, Yo, Ze, Los Ab, %, en fonction de 54, æ, ÿ, 2, Àj, As À; ceci est possible d’une infinité de manières, et on peut toujours choisir les nouvelles formes de X,, Y,, Z,, £,, db, 1%, de façon qu'elles soient respectivement les dérivées partielles cu HE Let , dx ” dy” 27 "2h, /dho' dhs changées de signe d’une même fonction 4, indépendante ou non de s,. Supposons qu'il en est ainsi et désignons par ® la fonction de x, y, z, À,, À,, À, (et peut-être de so) définie par la formule :
T—E8+U; le système précédent prend la forme :
dre t, dy 20, di 00, 200 dis 52 01dhs 2 20 Da Tadr DoG de: ol sde, N où ds. 27’ di, où
HS NT 00 dd OUR mo U dd) AN AO dort de, Morse de: de loto dés pions tie Un DU de à Vo) ade, uns o),
Nous avons ici des équations qui se présentent sous la forme des équations d’Hamizrox relatives à la dynamique. Si nous supposons, en particulier, les nouvelles formes de X,, Y,, Zo, Lo, As, 1%, choisies, comme cela est toujours possible, de façon que s, n’y figure pas et qu'elles soient les dérivées partielles d'une fonction — À de x, y, z, À, À,, À, et si en outre nous supposons que W (50, &, 5, € p, q, r) ne dépend pas (‘) de s,, nous avons plus particulièrement un système d'équations canoniques.
2. Mettons maintenant en évidence les fonctions x’, y’, z'et supposons encore les fonctions a, a .. y’ exprimées au moyen de trois auxiliaires À,, X,, À. Admettons que X!, Y!, Z;, L!. M;, Ni soient des fonctions données des,, x’, Y'; 2, 4, do, se L'expression W est, après substitution des valeurs de Ë, n, {, p, q, r tirées des formules (2) et (4), une fonction déterminée de s,, x’, y', 2’,
A de, D LATE D Te D que nous continuerons à désigner
(1) On pourra, pour exprimer cette hypothèse, dire que, dans ce cas, et par définition, la ligne est homogène,
par W, et les équations du problème peuvent s'écrire :
So ds, d WW ADS d'ou oWes =:
ddr Roy ee ds, 3 dk de ci
So ds
4 T LA Lee ue "édit Let im ORRN
ds, à dy à
L, Ab, %, étant les fonctions de s,, x’, y’, z', À, 3. À qui résultent du $ 40.
Nous pouvons remplacer le système précédent par un système d'équations du premier ordre, en introduisant six inconnues auxiliaires, pour lesquelles, au lieu des dérivées du premier ordre de x’, y’, z', À,, À4, À, nous choisirons les six expressions envisagées déjà précédemment :
ro Ra À RE) 1 ds, ds, ds,
; aW ; oW 7 oW DRE RON PR Reel d -— à -? d -
ds, dSo ds,
De ces six relations, nous pouvons tirer, en supposant que le hessien de W dx’ dy dz! dÀ, dà, d arrapportà ——, #—, ——, 1, ?, Sn
par rapp “HRPR FO CTADCER Te n'est pas nul, des valeurs pour ces six dernières dérivées en fonction de F’, G', H', #, ÿ, %'; transportons ces valeurs dans l'expression :
dx! oW dy' oW dz! >oW d\; oW nue Gi don er tn
ds, ds, ds, dso
nous obtenons, après substitution, une fonction de s,, x’, y’, 2’, AA des F’, G', H, 7, Ÿ, X/, que nous continuerons de désigner par la lettre 8'. Or,
la différentielle totale de cette dernière fonction est évidemment :
dx! dy! dz! dA dÀ d w TT dF"' ee 4 Es ! ne | ! ES SN | e1 ne) dSo se ds, dG FU ds, dH a ds, dJ ar ds, bas df — A ds oW ,, oW oW 2W Co er ya re
et l’on a, par suite, comme forme du système définissant x, y, z!, À,, À,, À F,G,H, 3, Ÿ, dE dx! __28' dy 28! di og d\, a8' d\, oë&! dà, 28!
dB 0 di o0 D, Hd di, dpt de, — sf
dF' 286! À dG' 26 dK' ;
de Tan RES tin VO Er A0,
dJ 8 df … dx! a8!
RL . NE À 26 af ds, a, NE ds, ne 2), JA, — 0, ds STE À, — — O;
Nous avons supposé que, en vertu des formules qui définissent x’, y', z!, À, À: À en fonction de s,, on exprime X', Y!, Z!, 4, Av, %,, en fonction de s,, x’, y, 2', 4, À, À33 ceci est possible d’une infinité de manières et on peut toujours choisir les nouvelles formes de X, Y,, Z,, £,, Ab, 1%, de façon qu'elles soient respectivement les dérivées partielles ou AL he pus
dx) 9ÿ 27 : dà,
ou’ ao’ : : . ET.
SMES A changées de signe d’une même fonction U' indépendante ou non 2 ès
de s,. Supposons qu'il en est ainsi et désignons par Ÿ la fonction de +’, y’, z À,, À, À (et peut-être de s,) définie par la formule :
Ÿ! — 8! — qu” le système précédent prend la forme :
D D 000 Ne OUEN TA 00 MORT Re 06 de OH DA 0Ji de 0): 15, ON
DR 0 0 au, 40 1 à dia Rat de US de on More Hi AO JO Mo Ur NP ST RME NES “52
L'équation :
ë J esp
dans le cas où les forces ct moments extérieurs sont nuls, correspond au principe du travail minimum de Casricurano (‘), déjà considéré par VÈxe, CournoT, MENABREA, et d’autres encore.
Considérons les équations sous la forme normale :
En intégrant de A, à B,, il vient :
“028 ve LEA =f. 5 dre ll, 41) Xe
Si on suppose, par exemple, X,, Yo, Z, nuls, on a F — const. — FE, =, G — const., H — const. ; dans les trois formules telles que :
(:) Casrierrano. — Théorie de l'équilibre des systèmes élastiques el ses applications, Turin, 1879. Voir aussi Mücren-BresLau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre,
3e éd., Leipzig, 1904.
F, G, Il sont indépendants de s,, et on peut écrire :
D cie &ds ei GS A9
Si €, Ab,, 1%, sont nuls et si Se LE a = o rèmes analogues relatifs à À,, A2, À. On est ainsi conduit d'une manière très directe et très naturelle à ce qu’on appelle les théorèmes de Casriezraxo dans la Résistance des matériaux. On envisage alors généralement le cas simple de la déformation infiniment petite; W est une forme quadratique, et il en est
de même de 8 qui se déduit de W comme forme adjointe.
— o, on obtient des théo-
15. Notions du trièdre caché et du W caché. -— Dans l'étude de la ligne déformable, il est naturel de porter l'attention d’une façon particulière sur la courbe dessinée par cette ligne ; ceci revient à envisager à part x, y, z et à considérer x, &', .… y" comme de simples auxiliaires ; c'est ce que nous pouvons également exprimer en concevant que l’on ignore l'existence des trièdres qui déterminent la ligne déformable et que l’on ne connaisse que les sommets de ces trièdres. En nous plaçant à ce point de vue, pour envisager les équations différentielles auxquelles on peut être conduit suivant les cas, nous pouvons introduire la notion du trièdre caché, et nous sommes conduits à une classification résultant des diverses circonstances qui peuvent se présenter dans l'élimination de a, «, … y".
Une première étude Li se présente est donc Ale des réductions qui peuvent se produire dans l'élimination de &, a, . y’; dans les cas particuliers correspondants, où l'attention est portée d’une manière presque exclusive sur la courbe dessinée par la ligne déformée (M), on pourra même parfois faire abstraction de (M), et, par suite, de la déformation permettant de passer de (M) à (M); c'est à ce dernier point de vue que nous pourrons retrouver la ligne dite flexible et inextensible de la Mécanique rationnelle.
Le trièdre peut être considéré d'une autre façon ; nous pouvons faire sur lui des hypothèses particulières, et de même sur la courbe (M), ce qui revient à envisager des déformées particulières de la ligne déformable libre. Si les relations que nous imposons sont de simples relations entre E, n, 5, p,q,r comme ce sera le cas dans les applications que nous aurons à étudier, nous pourrons tenir compte de ces relations dans le calcul de W et déduire de W des fonctions plus particulières ; la question intéressante qui se posera sera d'introduire simplement ces formes particulières, et de considérer, en quelque sorte, comme cachée, la fonction W générale qui aura servi de point de départ. Nous aurons ainsi une théorie qui sera ee aux déformées particulières mises en évidence par les relations données entre ?, GP Dr.
Nous verrons que l’on peut ainsi, au moyen de 5 théorie de la ligne déformable libre, rassembler à titre de cas particuliers et comme provenant d’une même origine, les équations qui sont le résultat des problèmes spéciaux que
l'on rencontre dans l'exposition habituelle de la Mécanique rationnelle et dans la théorie classique de l’élasticité.
LA LIGNE DÉFORMABLE 3x
Dans ces dernières, on se place souvent dans des circonstances propres à éviter la considération des déformations ; en réalité, elles ont besoin d'être complétées ; c'est ce que l’on peut faire, dans les applications pratiques, en envisageant la déformation infiniment petite.
Prenons le cas où la force et le moment extérieurs ne renferment tout au plus que les dérivées premières des inconnues x, y, z et À,, À,, À, ; les dérivées secondes de ces inconnues ne seront introduites dans les équations différentielles que par W ; or les dérivées de x, y, z ne figurent que dans £, n, ?, et celles de X,, À,, À, ne se présentent que dans p, 4, r. On voit donc que si W ne dépend que de Ë, n, &, ou ne dépend que de p, q, r, il y aura réduction dans les ordres des dérivées entrant dans le système d’équations différentielles ct par suite aussi réduction dans le système obtenu par l'élimination de p, q, r. Nous commencerons par examiner ces deux premiers cas.
46. Cas ou W ne dépend que de s,, £, r, . Comment on retrouve les équations de la théorie de la ligne flexible et extensible de Lagrange. — Supposons que W ne dépende que de 5,, &, n, &; alors les équations du $ 44, qui se réduisent aux suivantes :
d oW aW RES ALL F Re do, d 2W oW #e de LA toit pe So d oW oW +.
A 2 on MES Ô p— ds,
dyaude dans lesquelles W ne dépend que de s,, se 1 À, À gs nous 0 0
montrent que, si nous prenons le cas simple où X, Vs, Zo, %, As, Vo) sont des fonctions données (!) de s,, x, y, z, D D Je À, Ag À, les trois équations de droite peuvent être résolues par rapport à À,, À,, À, et on obtient finalement trois équations différentielles ne renfermant que s,, x, y, z et leurs dérivées premières et secondes.
Envisageons d’abord le cas particulier où les fonctions données £,, Abo, To sont nulles ; il en sera de même pour les valeurs correspondantes des fonctions de l’un quelconque des systèmes (L', M, N°), (L,, M;, N,), (L, M, N). Il en
résulte que les équations :
SN Dune gro be Me 2 EN FATLEL SAN |
(t) Nous supposons que X5, Yo, Zo, Lo Jby> Yo ne renferment pas de dérivées de M, À2, Às, pour simplifier l'exposition et pour indiquer pluë commodément ce à quoi nous voulons faire allusion.
reviennent alors à
Fos: Gall dx — dy d ds ds ds
et, en désignant par — T la valeur commune de ces rapports, les équations, dans lesquelles il faut porter À,, À,, À,, s’écrivent :
db le dif CNRS LE (T4) Hé AU ei mc A On 1
ou, si l’on veut,
f (r%) RAS: Sur æ) co! &(T$) 0:
L'effort se réduit actuellement à un effort de tension T.
Ceci posé, observons que si l’on part de deux positions (M,) et (M) supposées données, et que l’on en déduise, comme aux $8$ 9 et 40, les fonctions €,, «tb, 4, il peut arriver, dans le cas où ces trois fonctions sont nulles, que ce résultat se présente accidentellement, c’est-à-dire pour un certain ensemble de déformées particulières ; mais il peut arriver aussi qu’il se présente quelle que soit la déformée (M), que ce soit une conséquence de la nature de (M), c’està-dire de la forme de W.
Envisageons ce dernier cas, qui est particulièrement intéressant ; W est 8 » q P alors une simple fonction de s, et de E? + n? + &?, ou, ce qui revient au
ds ë : oW Ù def e même (1), de s, et de ds: Les équations ee (= 1, 2, 3) se réduisent à des identités (?) et il reste simplement les équations
d d dy : dz
où l’on a ;
si l'on suppose que W est exprimé au moyen de s, et de p — —1(u représentant la dilatation linéaire au point M). Supposons que la fonction W étant connue, on nous donne X, Y, Z ou X
Y;* Zo en fonction des,, s, x, y, z et des dérivées de quatre de ces dernières @) par rapport à l’une d'elles ; les équations précédentes, jointes à
CAL ECS D MAV 0 DRE %) = “ () On peut aussi dire que W est fonction de s, et de la dilatation linéaire
s : nr : :
= 7 — 1 au point M, considérée par LauÉ dans ses Leçons sur la théorie mathéma-
tique de l’élasticité des corps solides, p. 98, 99 de la 2° édition.
(?) Le trièdre est complètement caché : nous pouvons aussi concevoir que nous ayons une ligne ponctuelle, d
(°) On peut supposer introduites des dérivées d’ordre supérieur au premier.
fournissent quatre équations différentielles définissant quatre des variables s,, $, %, ÿ, z au moyen de la cinquième.
Si s ne figure pas explicitement, on pourra éliminer ds, au moyen de la relation que l'on vient d'écrire, et il restera trois équations différentielles définissant, en fonction de s,, les trois inconnues x, y, z.
Si nous envisageons le cas particulier, dans lequel W ne dépend que de x et où s, ne figure pas explicitement, nous nous trouvons en présence des équations proposées par Lacrance (‘), pour l'étude de la ligne qu'il qualifie de « fil flexible et en même temps extensible et contractible » ; nous devons faire remarquer que les explications données par Lacrance, dans le second des numéros qu'il consacre à la question (n° 43), doivent être remaniées de la façon suivante : si nous regardons W comme une fonction donnée de p, il en est alors de même de T (ce qui correspond à l’assertion de Lacraxcr, qui exprime, ds ds)
nous pouvons substituer l’inconnue T, puisque la connaissance de l’une en fonction de s entraîne celle de l’autre, et finalement, on est amené à la recherche des quatre fonctions T, x, y, z de s au moyen des quatre équations précédentes (et de conditions supplémentaires, si le problème est déterminé). On observera en outre que si, comme semble le supposer Lagrange, les expressions données de X, Ÿ, Z ne renferment pas explicitement s, on pourra : se borner à la considérations des trcis premières équations et des trois variables x, y,z, la différentielle de s étant éliminée au moyen dela quatrième équation. Dans le premier des numéros que nous venons de citer (n° 43), Lacrance remarque qu'il est conduit aux mêmes équations que pour le fil qu'il avait considéré auparavant, dans son exposition, sous le nom de fil flexible et inextensible, et il revient dans le n° 44 sur la tension. Il nous semble qu'il ÿ a, dans l'exposition de Lacrancr, une certaine confusion au sujet de la notion de force (confusion qui, déjà au point de vue de la seule dynamique, est signalée explicitement par J. Benrrano, dans la note qu'il a adjointe au n° 44). Il est clair, en effet, que le point de vue auquel se place Lacrancr est celui de la dynamique, et que, dans son exposition, le mot équilibre équivaut au mot repos. En introduisant au début du n° 44 « la force F avec laquelle chaque élément ds de la courbe du fil tend à se contracter », LaGRancE introduit une notion de la force qui n’est plus conforme à la définition posée au début de son ouvrage (page 1), et qui est, non une force cinétique, mais une force que nous pouvons qualifier de force statique, mesurée au moyen des déformations.
avec ses notations, que F est une fonction donnée de ; à l’inconnue p,
47. Le fil flexible et inextensible. — Comment, en restant dans le
(*) Lacraxce. — Mécanique analylique, 1° Partie, Section V, $ 11, n° 42-43, 4° édition, p. 156-158. La même question a été reprise par Laué, dans ses Leçons sur la théorie mathématique de l'élasticité des corps solides, 2° édition, 8° Leçon, puis par M. Duuex, dans le Tome II, de son ouvrage, Hydrodynamique, Elasticité, Acoustique, p- r et suiv. L'exposition de Lamé, ainsi que le remarquent Tornuxrer et Pearson, à la page 235 du Tome I de leur History etc., est la reproduction de celle donnée par Porssox, aux pages 422 et suiv. de son Mémoire sur le mouvement des corps élastiques, paru en 1829 dans le Tome VIII des Mémoires de l'Institut de France.
domaine de la partie de la Statique où l’on mesure les forces au moyen des déformations, pouvons-nous concevoir et introduire la notion de fil flexible et inextensibte ? Pour donner la définition du fil flexible et inextensible, il nous suffit de suivre, mais en sens inverse, la marche adoptée habituellement, c'està-dire de nous inspirer de ce que l’on appelle souvent le principe de solidificalion (1).
Envisageons d'une façon générale la ligne déformable du 8 5, son état naturel (M,) et son état déformé (M) ; supposons que nous imposions aux déformations de cette ligne, définies comme on l’a fait au $ 5, c'est-à-dire par une correspondance entre les points de (M,) et ceux d’une déformée (M), la condition (?) qu’une portion quelconque de (M) ait même longueur que la portion correspondante, ce qui revient à dire que l'on assujettit æ, y, z à la condition
Usa,
en supposant ds et ds, de même signe, comme on l’a fait antérieurement. Admettons que l’on veuille définir, pour une telle ligne, les éléments : force extérieure, .… . Nous envisagerons une ligne déformable de l'espèce considérée jusqu'ici, et, au lieu de considérer une déformée (M) quelconque de l’état naturel (M,), nous porterons notre attention sur les déformées (M), pour lesquelles on a ds — ds,. Ces déformées coïncident, quant à la position des points et des trièdres associés, avec les déformées de la ligne inextensible donnée. Nous poserons, comme définition des forces extérieures, .. agissant sur cette dernière, les formules adoptées précédemment à l'égard d’une certaine ligne déformable, et que l’on appliquera pour les positions de cette ligne, qui coïncident avec celles de la ligne inextensible donnée.
Si nous envisageons, en particulier, la ligne flexible et inextensible, nous déduirons la définition des forces extérieures, relatives à cette ligne de celles de la ligne considérée antérieurement et pour laquelle W est une simple fonction de s et de pr, en considérant les déformations de cette dernière pour lesquélles la fonction p se réduit à zéro. Conservant les seules lettres s, X, Y, Z {puisque S—S9 À — X,, Y — Y,, Z — Z,), on est conduit au système
Mot Nr de d (ré Le GE (TE) + X= 0. RTE) +Y—0. R (TE) +2=e,
dans lequel (&) + (2) + ( a) = 1, et où T représente la fonction de s
définie par la formule T — — 7) :
dH /& —=0o Pour obtenir un problème déterminé, il ne sera pas nécessaire de supposer que la fonction T est connue ; il suffira d’adjoindre des conditions aux limites convenables.
(*) Arrec. — 1°° édition, T. I, n° 132 p. 165 ; dans la 2° édition, T. I, n° 120, p. 161, l'expression principe de solidification est omise ; il en est de même dans Tnomson et Taïr, Treatise on Natural Philosophy, vol. I, Part. II, $ 564, p. rro.
(?) Ce que nous allons dire pourra se répéter dans les différentes circonstances analogues, où l’on sera conduit à adjoindre ce que nous appellerons plus loin des liaisons intérieures au système que l’on a préalablement étudié.
48. Cas où W ne dépend que de Sor Es 1, € et où Lo by T, ne sont
pas nuls. — Envisageons maintenant le cas général où %, Ab,, %, ne sont pas tous trois nuls. Les équations oW aW oW A + —=0, NRA ae HAT reviennent, en introduisant les auxiliaires F, G, H, aux relations dy d= LE Pr un pri dz = dx 5: # ; At MR Me à
de sorte que, dans le cas actuel, la composante de l'effort tangente à la ligne, que l’on peut appeler l’effort de tension, la composante de l’effort normale à la ligne, que l’on peut appeler l'effort tranchant, comme il est d'usage dans la résistance des matériaux, et enfin le vecteur (L, M, N) déterminent ur trièdre
trirectangle.
Introduisons encore, comme auxiliaire, l'effort de tension dx dy d:
T=— (ré +6 +) nous obtenons de dy dz ai Di ue dy dz \ PAIE ne L ds No L ps dx de SL it dæ dy dz D Ne
Par suite, si X, Y, Z, L, M, N sont donnés en fonction de s, de x, y, z et de leurs dérivées premières, on tombe sur trois équations telles que la sui-
vante : d dx d dy 7 2e de (Tr) FE, ( D ce LE auxquelles il faut adjoindre :
dx\? dz dx dy dz (Se) + (8 + + (5) =. LE+MS+NS= 0,
de sorte que, pour le dernier problème posé, nous avons cinq équations diflérentielles renfermant quatre inconnues, savoir x, y, z et l'inconnue auxiliaire T.
49. Cas où W ne dépend que de 5, p, 9, r: — Supposons que W ne
dépende que de s,, p, q, r ; alors les équations du $ 44, qui se réduisent aux suivantes :
| — PE ee Pr VS M RE (fe AO, ds, 5 di, À, Lo — 0, ds, re d 2aW oW Yi 0, ds, dù ù, — Ab, = 0, ds, HN EN Z = 9; ds, D Les v CL — Vo — O, ds,
dx, dh,, ds ds, VS Mas, montrent que, si nous prenons le cas simple où X,, Y,, Z, ne renferment pas de dérivées de x, y, z, on pourra tirer x, y, z des équations de gauche et porter leurs valeurs dans les équations de droite, c’est-à-dire dans £,, Ab,, 0, ; si ces trois dernières ne renferment pas de dérivées de x, y, z d'ordre supérieur au premier, on tombera, quand X,, Ÿ,, Z, ne renferment que dé dy “dr dk d\; ds, ds, ds,'‘"ds, dsè sur trois équations du second ordre pour déterminer À,, À,, Às.
Le cas particulier, dans lequel les fonctions données X,, Y,, Z, sont identiquement nulles est particulièrement intéressant ; on a simplement les trois équations de droite qui, si £,, Ab,, %, ne dépendent que de À,, À,, À, et de leurs dérivées, constituent trois équations différentielles déterminant À,, X,, À,.
dans lesquelles W ne dépend que de 54, À,, À,,
So» æ, d'° Z x, a et Los Ab,, RLA que So» ZT, 3 Z,
20. Cas où W est une fonction de s,, ë, n, €, p, q, r, dépendant de t, r, ( seulement par l'intermédiaire de £? + n° + &?, ou, ce qui
: À , ue ds 16 revient au même, par l'intermédiaire de p = —1. — Considé-
rons l'effort en un point de la ligne déformée et supposons que, pour toutes les déformées, il se réduise à un effort de tension ; ceci revient à dire que la fonction W de s,, Ë, n,t, p, q, r vérifie les identités :
oW aW oW
