RENE

Ë n (4 c'est-à-dire qu'elle ne dépend de #, n, & que par l'intermédiaire de la quantité Ë + n° + L?, ou ce qui revient au même, de — — I.

Nous aurons encore actuellement LE Et dx dy dz

et, en introduisant la valeur commune — T de DE ces rapports, défini formule : pports, définie par la

d dx\ d oW

LT ve LAS oW

TERRE ES ds

d dy d oW W

S(T&)+Y=o + gr — 0 = 0 5 2 2 ds,

d dz d oW W

7 (r Z) + Z = 0, ( + p) RE 1 . My 0, A 3 ds,

dæ\? dy\? dz\?

par laquelle sont définis x, y, z, À,, À,, À,, et s, (uw désignant . — 1) en sit | ds

fonction de s.

Si nous envisageons le cas dans lequel X, Y, Z sont des fonctions données des seules lettres s, x, y, z, pour fixer les idées, on voit que l’on pourra déter-

miner séparément x, y, z et l’auxiliaire T, au moyen du système d'équations différentielles

d'{rdz AR d {r dy dz RTE) +X O, RTE) +Y=0 STE) +2=0.

Nous retrouvons de nouveau le système qui s’est présenté à propos du fil flexible et extensible de Lacrancr et à propos du fil flexible inextensible.

21. La ligne déformable obtenue en supposant que Mz est la tangente en M à (M). — Nous pouvons répéter à l’égard du cas général et de déformées particulières quelconques, ce que nous avons dit pour passer du fil flexible extensible de Lacrance au fil flexible inextensible de la mécanique rationnelle. Nous allons considérer le cas suivant, qui est important dans la Résistance des matériaux, et qui nous conduira plus loin à la ligne déformable étudiée particulièrement par Lorr Kecvin et Tair, mais seulement, comme nous l’avons déjà observé, au point de vue de la déformation infiniment

petite ().

(1) W. Towson et Tarr. — Treatise on Natural Philosophy, vol. 1, Part. If, Edition 1883, $ 588 et suiv., p. 130 et suiv.

Reportons-nous à la ligne déformable du $5, et supposons que nous ayons défini la force extérieure, etc., comme au $ 9. Concevons maintenant que nous portions uniquement notre attention sur les déformées (M) de (M,), pour lesquelles l’axe Mx' est tangent à la courbe(M) en chaque point, et supposons aussi, de façon que ces déformées puissent former des suites continues à partir de (M,), que cette dernière est telle que M,x;' est la tangente en M,. En choisissant convenablement les sens dans lesquels on compte s, et s, ceci revient à supposer que l’on a :

14 fo DUT dont di

(14) 7 de nd, d her

ou que

Ô = 9 —= 0 E— (0) PRES me

(15) Free 0: — 0 — 0; VE use

L'application des définitions nous donnera, pour la force extérieure, etc., des expressions déterminées ; nous pourrons dire que l'étude de ces expressions et des problèmes auxquels elles peuvent conduire, par la répétition de tout ce qui a été dit, constitue l'objet de l'étude de la ligne assujettie aux conditions définies par les formules (14) et (15).

Le fait de limiter des déformées de (M,) à celle des déformées (M), qui vérifient les conditions (14) ou (15), ou le fait d'admettre la conception nouvelle d’une ligne qui n’est susceptible que des déformations vérifiant les conditions précédentes, sont regardés ici comme identiques, au point de vue des calculs qui peuvent définir les éléments tels que la force extérieure, etc. Cette manière de voir est absolument conforme au principe dit de solidification, qui est introduit par les auteurs dans l'ordre inverse, en quelque sorte, de celui que nous suivons.

Avant de considérer la forme que prennent ici les formules du $ 9, établissons quelques formules relatives au trièdre Mx’y'7, dans les conditions particulières ou il se présente actuellement. Supposons que nous menions la normale principale Mn et la binormale Mb de la courbe (M) en M ; si elles forment avec Mzx’ un trièdre Mzx'nb de même disposition que le trièdre Mx'y/z', nous pouvons désigner les cosinus directeurs de Mn et de Mb, par rapport aux axes Mz', My’, M2’, respectivement par o, cos w, sin w et par 0, — sin w, cos w, ce qui revient encore à dire que nous avons :

B — $, cos w — +, sin w, Y = $, sin w + y, cos w, (16) B' — ${ cos w ÿ4 Sin w, 7! = ${ sin w + y! cos w,

8" — $4 cos w — y} sin w, y! = fi sin w + Y{ cos w,

en désignant par f,, 84, 84, les cosinus directeurs de Mn, par rapport aux axes fixes Ox, Oy, Oz, et par Y,, Y!, v{ ceux de Mb, par rapport aux mêmes axes,

et en introduisant ainsi une auxiliaire w, qui est l’angle, compté dans un sens convenable, de My’ avec Mn.

Nous pouvons d’ailleurs déterminer w, au moyen des expressions déjà introduites ; la normale principale étant la tangente à l’indicatrice de P. SERRET consnérons, par rapport au trièdre, dont le sommet O est fixe et dont les axes sont parallèles à ceux de Mz'y'7, le point dont les coordonnées sont 1, 0, 0 ;

les projections du déplacement de ce point, sur les axes du trièdre mobile ou sur ceux de Mz'y'z/, sont :

0, rds,, — qds,, eton a:

On peut obtenir des formules plus complètes, en remplaçant, dans les formules (2) du 8 6, les cosinus B, f/, … y" par leurs expressions (16) ; il vient :

Ra: d: ;

ga = ÿat— cos w Sa + sin 0 Va, ds, dx d :

RD cos Jar —sine Ji:

c'est-à-dire

ds, 1 du ds ee Cds ds si (17) PS MES ds, __ cos w AS To en posant I da Le dÿ, a ne

dj, : lu et en se rappelant que > dépens 0: Les expressions 4 et - sont égales, en

valeur absolue, à la courbure et à la torsion (cambrure de Barré DE Saixr- Vexawr, tortuosity de Taousox et Tarr) de la courbe (M) en M ; les deux dernières formules (17) correspondent aux remarques faites par Tomson ct Tair (1).

Arrivons aux formules du 8 9. Désignons, pour un instant, par W, ce que devient W, lorsqu'on tient compte des conditions (15), c'est-à-dire posons

W, — [W CNAPANUT ONCE Fe Lo — W (50, 6, 0,0,p,q;,r),

(:) Taomsox et Tair. — Trealise on Natural Philosophy, Vol. I, Part. II, $ 590, p- 131.

ho THÉORIE DES CORPS DÉFORMABLES

ou encore, en remarquant que, d'après les formules (14),

ë —= & —= I + , ds, F posons :

Nous avons nn ca | 2 n=0, (—=0 2 2H 9 on r=0,(=0 fo ex 2W,, wi 14 n=—0; (—0 ; ap —0, (—0 ap v=[T QUE K= [2% Re 27 }n—0, t—0 2q ? do or

Si donc nous ne voulons introduire que la fonction W,, c’est-à-dire la

valeur que prend W pour n — & — 0, et si nous supposons que l'on ne nous er. ON

donne pas les valeurs que prennent les dérivées a pour n = (= 0, nous nous trouvons en présence de six expressions, dont quatre seulement F’, l’, J', K’ peuvent être considérées comme données, et dont deux G', H' seront à déterminer (1). En d’autres termes, la connaissance de W, entraine uniquement celle de l'effort de tension F' et celle du moment de déformation (F, 3).

Si nous introduisons les expressions F, G, H, 1, J, K, nous pouvons dire.

que les trois premières sont trois auxiliaires à l'égard desquelles on sait simplement que l’on a (?\:

dx dy dz oW (18) > Is Fu ds = Bu ,

et les trois dernières se calculeront au moyen de l’un des systèmes :

PRE PET du fs PV Peer en

à ap 2q dr

’ r oW ; oW oW , oW

(19) Rae done À (9 Re W oW oW oW

I J 44 AUS — @ - " À 'E 2r LÉ pe er ir

a, a, 2. y" étant définis par les formules (14) et (16).

(*) En admettant que nous connaissions seulement la fonction W,, nous pouvons supposer que nous ignorons l'existence de la fonction W, qui nous avait servi de point de départ, que cette fonction est en quelque sorte cachée, en même temps que les positions du trièdre Mx'y'z', pour lesquelles Mz' n’est pas tangent à la courbe (M).

(?) Nous désignons à partir de maintenant par W la fonction Wi de So» Hr Pr le

La force et le moment extérieurs en résulteront, dans la mesure où ils peuvent être déterminés lorsque W, seul est donné, par les formules des & 9 et 40. |

Supposons actuellement que l'on donne la force et le moment extérieurs ; les équations :

dF à dl dy dz Flo ee D de ie =, dG dJ dz dx

(20) TS —YŸ=0, dr, AE SM =, dH dK dx dy Ts —Z—=0, Ta mir eo)

jointes aux équations (18) et (19) et à la relation :

en CRETE

fourniront, lorsque X, Y, Z, L, M, N ou X,, Y,, Z,, L,, M,, N, seront des fonctions données de 54, s, æ, y, z, w et des dérivées de ces lettres par rapport à l'une d’elles, un système de huit équations différentielles relatives à cinq de ces lettres ( en fonction de la sixième) et à F, G, H. |

Si s ne figure pas explicitement dans les fonctions données, on pourra se servir de (21) pour éliminer ds et, en prenant s,, par exemple, comme variable indépendante, on aura un système de sept équations différentielles définissant les sept inconnues x, y, z, w et F, G, H.

Dans le cas où nous nous plaçons, où la fonction W du point de départ est cachée, les expressions F, G, H, sont de simples auxiliaires définies par les équations diflérentielles dont nous venons de parler ; nous potxons nous proposer de les éliminer ; or cette élimination est facile, puisqu'elles figurent linéairement et à l'exclusion de leurs dérivées dans la relation (18) et dans les trois relations (20) de droite ; ces quatre relations donnent :

dx dK dy ag de, GE AC EE CS

ds dy {dl de dk )% T9 +(T —L1)$ Free (22) AU es if dx {dl dy nt + (TM —L)

di dx dJ dy (S es ) dz .

G—1)e+ (RM) & + ds N ds en posant, pour abréger l'écriture,

oW (23) À AE

d’où par élimination de F, G, H, le système des quatre équations :

- dy Ljdl de # HS mn) (ME ]-x=0

d (F dz dK dx 72e (24) sl D LÉ NE —Y—0, d dz dJ dx di dy .n de Er NT (r S L) AREC {dl de dJ dy dK un CORRE à L) d +(T FRE N) +

dans lesquelles on à à remplacer I, J, K, T par leurs valeurs (19) et (23), et qui, avec (21), forment un système de cinq équations différentielles reliant cinq des lettres s,,s, x, y, z, w à l’une d'elles. Si s ne figure pas explicitement dans les données, on pourra se servir de (21), pour éliminer ds, et les relations (24) et (25) fourniront quatre équations différentielles définissant x, y, z, w en fonction de 5.

22. Réduction du système du $ précédent à une forme que l’on peut déduire du calcul des variations. — Nous avons trouvé finalement dans le $ précédent une fonction W qui, par l'intermédiaire de u,p,q,r,

du. dx d°x ‘ds, ds dà

Observons que l'équation (25) s tt en mettant en évidence ces derniers

arguments : :

el G- + (LR + Me + No) = 0:

dépend en outre de s,, de w

ds, dw ow ° ds ds,

Examinons si, en combinant successivement chacune des équations (24) avec l'équation (25), on peut obtenir trois équations susceptibles d’être déduites directement du calcul des variations, c’est-à-dire telles que la suivante :

les termes non écrits ne dépendant que des moments extérieurs.

Si nous remarquons que les équations considérées renferment des dérivées qui sont au plus du cinquième ordre, on voit que l’on doit chercher à introduire les dérivées troisièmes de l'équation (25), laquelle peut s’écrire :

d /èW oW 2W y dz\ a Cp) +0 re (LT +M, DNS) — “

avec la notation du $ 9.

Considérons la première équation (24) : elle s'écrit :

HR AY | al dir: À (RE — —N) « nt À: (E L: M) «| — X, = 0, c’est-à-dire :

UT [-Te+ d'oW B d'oW y, dsoW 2W | 2)

d de de Hd on pdiop log Per — Fe (a, — 2) | — X— 0.

En formant le premier membre Ja <e + .…, on constate facilement, ? ds

par un calcul dont nous ne pouvons donner ici les détails, que la combinaison :

ds d \%P ds

SG ET ( ds reproduit les différents termes de l'expression à mettre en évidence, en dehors

des éléments qui s’annulent avec les forces extérieures. Si donc nous posons :

L : MR ip thes d Lis Fi ds, mL TE HET a Le pi T ds, ù Fe Ernie do FAN

et si nous désignons par U,, &, les expressions analogues obtenues en remplaçant X,, y, respectivement par Y,, yi, puis par Z,, y;, et en faisant les permutations sur le dernier terme, nous obtenons la forme suivante du système :

d' oW d 2W d oW

di de di de td, de no dsè dsÿ ds, ee,

S gt ds} Rene db ; Er rome Ds 0 à - dy 9 ds dsè ds,

que l'on peut résumer dans la formule :

S , a GW + Lèr + Yy + ZoÈz — L,'Üw) ds, — 0 so

où l'on n’a égard qu'aux termes qui finalement se présentent sous le signe d’intégrale simple (1).

Cette forme résumée, à laquelle on vient de parvenir et qui doit être traitée suivant les règles du calcul des variations, est particulièrement commode pour effectuer les changements de variables.

En supposant les expressions %,, U,, 2, L,' de forme particulière, on aura les équations des extrémales d’un problème du calcul des variations.

Considérons le cas, dans lequel U désignant une fonction de x, y, z,

Ci re Li nee TER Ed ei de he nhesol ob zspÙ | ar HET Ca L dz dy\ __oU 1 foU a/oU dx oU dy , oU dz (MN )=s EE UE + tee) | ds, EN D AR ET ee ÈS DUREE E ° d Hs dy, & Lox E Vox ds, ox ds, 2%) :

ds, 1 dy __ay de\ __ OU r [oU a"/oU dx | oU dy , oÙ dz ë (L ds MR)= TE de ÈS +R + ae) | ds, dx dy Fe D Se 0 ou, ce qui revient au même :

— oÙ re Ll — oU d'ours HO 'Aioz es our 2) (Mi oU oU aU f (- 7") L M = 2% ox N=— AE Ve On a alors :

dx ds, à 4? Mr" ds, YA SEE 07 ds, d° FA CR ds,

ct les équations des extrémales relatives à l'intégrale : il (W + U) dss.

{ (1) On a une forme analogue à celle fs k (ÔT + U') dt — o que donne Tisserann,

pour le principe d’Hawirox, p. 4 du Tome I de son Traité de Mécanique céleste.

Un autre cas particulier, que l’on peut combiner avec le précédent, est celui dans lequel W est de la forme Bp + ®(q® + r°,t), où B est une constante; W peut alors s’écrire :

Bp + (Sos E, P).

Si l’on suppose en outre L,' — o, les quatre équations se réduisent à trois, la quatrième se réduisant à une identité.

Le cas que nous venons de signaler comprend, en particulier, celui où W est de la forme

À et G étant des constantes, lequel nous ramène à celui considéré par D. Berxouzui, et à sa suite par EuLer ; c’est ce cas qui a inspiré Sopmie Ger- MAIN et Poisson, dans leurs recherches sur les surfaces élastiques.

23. La ligne déformable inextensible où Mx’ est la tangente en M à (M). — Au lieu de supposer simplement, comme dans le cas précédent, que l’on introduise les conditions (14) et (15), nous poûvons supposer en outre que la ligne est inextensible, ce qui revient à adjoindre, en vertu des