EN
Si nous admettons que l’on connaisse seulement la valeur de la fonction W (so, &s 6 Ps 4; r) pour E—1,n —0,&— 0, ou encore que, partant de la ligne du $ précédent, à laquelle nous adjoignons la condition p = 0, nous connaissions simplement la valeur de la fonction W; pour p — 0, nous voyons que F, G, H deviennent tous trois des indéterminées, et nous avons actuellement, soit les équations (20), où I, J, K sont à remplacer par les valeurs (19/), dans lesquelles W désigne W(s,, 1, 0, 0, p, q, r)ou (Wi), et qui forment avec la relation (21) un système de sept équations différentielles définissant en fonction de s — s, les inconnues x, y, z, w, F, G, H, soit encore les équations (24) et (25), où I, J, K sont à remplacer par les mêmes valeurs (19/) et qui forment avec la relation (21) un système de cinq équations différentielles définissant en fonction de s — 5, les inconnues x, y, 26, 1:
Or le système obtenu coïncide avec celui introduit par Tæomson et Tarr (), en supposant que W(s,, 1, 0, 0, p, q, r) s'obtient, par la substitution des valeurs de p,, 4, r, en fonction de s,, dans une forme quadratique (à coefficients constants) par rapport aux expressions p — Po; 4 — os T — los c'est ce qui arrivera, par exemple, si on suppose que l’expression W; du début du $ précédent s'obtient en substituant à p,, q, r, leurs valeurs en fonction de s, dans une forme quadratique par rapport à p(1 + 4) — Pos Q(1 + B) — os r(t+ u) — ro.
(t) Tuowsox et Tarr. — Treatise on Natural Philosophy, Vol, I, Part. II, $ 644, p. 152-155,
Observons en outre que, dans les applications faites par Taowsox et Tarr des considérations de leur $ 614, savoir, par exemple, l'application faite dans le $ 616, ils se placent dans le cas d’une déformation infiniment petite ; nous retrouverons donc tout naturellement les dites applications en partant de la fonction W générale et en considérant la déformation infiniment petite.
Nous pouvons développer ici des considérations analogues à celles relatives à la ligne précédente ; la seule différence est que l’on adjoint
CORTE On parvient actuellement à la formule Ê ew + Boèx + Vèy + Eôz — L,/dw)ds, — 0, qui doit avoir lieu en vertu de (+ (2 + (4 m0
et où %,, U), &, ont la signification qüe l'on va indiquer. Le système des équations d'équilibre est en effèt équivalent au suivant :
d oW 2? oW d I oW dx RE ar af | nee
Vds dd æ di oW d oW d | oW d SFR 7 CT PAC lo 0) Mr dis ds & oW d oW d | dW Tr g A Me dE | EE LR + dsi ‘ds ‘as d oW oW dx dy dz
de tu nd 2e M NES ds où l’on doit poser
d? d Bo — X, + de(s PL") + JE — M),
sp d Vo —= Y, + di 10L,)+ HG — M),
d d æ, — Z —+- a (N'aPL)+ de e— «'M,).
24. Cas où lés forces et les moments extérieurs sont nuls ; forme particulière de W conduisant aux équations traitées par Binet et Wantzel. — Au lieu d'employer les équations (24) et (25), il peut être plus
commode de revenir aux équations de départ ; il peut être utile aussi de recourir à l'interprétation géométrique.
Supposons, par exemple, que X,, Y,, Z, soient nuls; on en conclut que F, G, H sont des constantes égales aux valeurs F,, G,. H, à l’une des extrémités À,, et l’on a les trois équations : bésiqne : ©
di dy dz
ds, + Hide, — etre — L, = O, dJ dz dx tm Po dK dæ dy
25, 7 Ghodss — Faods, — No = 9
qui sont les équations primitives et qui résultent actuellement de l’élimination de T entre (24) et (25).
Si l’on a en outre L,, M,, N, nuls, c'est-à-dire si la déformée (M) est soumise uniquement à des forces appliquées aux deux extrémités, il vient : I + H,,y — G,,z — consl., J + F7 — H,,x — consl., K + G,Z —— Far — const.,
relations que l'on obtient aussi par l'interprétation géométrique des équations, ou, ce qui revient au même, par les formules telles que (!)
M0 Pan LE gs 24 — Giro — he + LE — G za — f (Yoz — Zoy — L;)dso.
Ces remarques faites, considérons le cas où la fonction W de s,, p, q, rest de la forme (?) :
SA + r?) + Bp + C
où À, B, C sont des constantes. On aura :
=, J— Ag, K-= Ar;
(1) On observera que le raisonnement de Berrraxp (Sur l'équilibre d’une ligne élastique, Note IH de la Mécanique analytique de Lacrawee, p. 460-461 du Tome XI des Œuvres de Lacnaser) revient à l'emploi de ces formules, ou plus exactement de leurs équivalentes telles que :
Lu, — L,, — Giotu — HE, y — Giga LU A
M) M0 Mo — —Zy—1)ds + Ya [7 Zadso— se Yid [:
bé (Yoz 0Y v) dy + Yu À ie So — 2 } gr So
il suffit de se reporter au $ 9, où l’on æ dié que l'effort et le moment de déformetion en Agsont(F', ; Gp H,, ; Ti Ji K’,,) c’est-à-dire les valeurs de (F", G', H”), (1, J, K’) en À,.
(?) Si W s’obtient en remplaçant pw %o ro Par leurs valeurs dans une fonction de P — Po 9 — Go — Fos NOUS SUPPOSONS QUE Py — Go —= y = ©, en sorle que (do)? + (ro)? = 0 et que la courbe (M) est une ligne droite.
h8 THÉORIE DES CORPS DÉFORMABLES
le vecteur (L', J', K') ou (I, J, K) est la résultante d’un vecteur constant égal à B, dirigé suivant la tangente Mx', et d’un vecteur, dirigé suivant la binor-
male, ayant même valeur absolue que à Les trois équations I+H, ,y—G, ,z=consl., J+F,, 2H, ,;x—const., K+G,x—F, y=—=consl., sont, aux notations près, identiques aux équations
ee — dzd’y A gdr
ds ST AE ë ee 2 tie ded’z a + az — cx + bi, PEU UÉE LU + be ay + cr
considérées par Biner (!), Wanrzez (?), Hermrre (°), et où p, 6, a, b, c, a, b,, c, sont des constantes.
Dans la note déjà citée, qu'il a placée à la suite de la Mécanique analytique de Lacrance et où il dit avoir imité une méthode exposée par Poisson dans
l’article mentionné au $ 40 et rappelé au $ suivant, J. Berrranp a traité, d’après WanrzeL, le cas où les trois équations
cy —bz+a —0, az — cx + bi = 0, bx — ay + —=0, représentent une droite; cette droite étant définie par
Hi —7,)—GG— 72) =1, Fi(G—z)—H(—z)=1, CRE) ESS l'hypothèse précédente revient à FI, + GJ, + HXK, — 0,
et cela se ramène à supposer que le couple (1,, J,, K,) et la force(F,, G,, H,) se réduisent à une force unique.
D'après la relation (2) de la page 463 de Lacraxes, cette droite, dont il vient d'être question, ne doit pas rencontrer la courbe (M); cette remarque a été faite, dans le cas où il se place, par J. BerrranD ; ce qui peut paraître étrange, c'est que, en haut de la page 462, est conservée précisément une hypothèse qui, d’après la note de la page 463, entraîne la relation 8 — o.
(1) J. Brxer. —— Mémoire sur l'intégration des équations de la courbe élastique à double courbure (Extrait), C. R., 48, p. 1115-1119, 17 Juin 1844. Réflexions sur l’intégraras formules de la tige élastique à double courbure, C. R., 49, p. 1-3, 1°* juillet
(2) Wawrzez. — Note sur l'intégration des équations de la courbe élastique à double courbure, C. R., 48, p. 1197-1201, 24 juin 1844.
(?) Ch. HermiTe. — Sur quelques applications des fonctions elliptiques, C. R., 90, P. 478, 8 mars 1880 ; aussi dans l'ouvrage de même titre paru en 1885 (voir $ 35).
En supposant que la constante 8 de Biner est nulle, c’est-à-dire, avec nos notations, en faisant B — o, on a la courbe particulière considérée par LAGRANGE.
Observons que, dans le cas actuel, l’inconnue que nous avons désignée par w n'apparait pas dans les équations ; mais les trois équations :
5 Bus ei SES et ‘dJ dz dx
MENT KL de pY — 0,
d dd (ÉD CE CA et ajoutant, on trouve zéro, eu égard à la forme particulière de I, J, K considérée en dernier lieu.
Nous retrouverons la ligne précédente dans le $ suivant ; ceci nous amène à remarquer que l’on peut présenter ce qui précède comme il suit.
Cherchons dans quel cas l'effort de déformation de la ligne du S précédent est perpendiculaire à la normale principale.
Nous avons la condition
se réduisent à deux, car en les multipliant respectivement par
LEE FA m0.
dq dr Si nous supposons que cette condition résulte de la nature de la ligne, c'est-à-dire de la forme de son W, cette condition est une équation aux dérivées partielles vérifiée par W, d'après laquelle W ne doit dépendre de q et de r que par l'intermédiaire de q* + r?. Si cette condition est vérifiée, les équations du problème entrainent, d’après la remarque de Poisson rappelée
au $ 40, que J = const.
Si nous supposons que cette conclusion résulte de la nature de la ligne, c’est-à-dire de la forme de son W, elle revient à la condition
B étant une constante, et nous trouvons
W — Bp +9,
: I ; £ étant une fonction de q? + r° — nL en supposant + du premier degré par
rapport à q? + r°, nous retrouvons le W, qui nous a servi de point de départ dans ce paragraphe.
25. La ligne déformable où le plan Mr est le plan osculateur de (M) en M; cas où la ligne est en outre inextensible ; la ligne considérée par Lagrange et sa généralisation due à Binet et étudiée
5o THÉORIE DES CORPS DÉFORMABLES
par Poisson. — Nous pouvons aller encore plus loin dans les hypothèses sur les déformées d’une ligne déformable ; au lieu d'admettre simplement que Mx'est tangent à la courbe (M), nous pouvons supposer que le plan Mx'y°est le plan osculateur de la courbe (M).
1. Laissons d’abord de côté l'hypothèse de l’inextensibilité ; admettons que l'on ait encore les relations (14) ou (15) et qu'en outre
JT:
Si nous désignons, pour un instant, par W, la fonction obtenue en faisant n—={—q—0, dans W, ou q —0 dans W,, nous aurons
