OD X BD = BD X DC

d'où nous pourrons conclure que

V OD =r DC • • • • (^22)

Or le triangle OBC étant rectangle, on peut regarder Tangle droit OBC comme appuyé sur le diamètre OC , et conclure que le point B appartient à la circonférence décrite avec le rayon DC , puisqu'en vertu de l'équation (222 ) , DC est la nioitié du diamètre OC.

Il suit de là que DB sera ^n autre rayon , et qu'on aura

BD =r DC; (223)

de sorte que l'équation (221 ) deviendra

jc'y =r DC ; (224)

désignant DC par ;a<, et supprimant les accents, qui deviennent inutiles, puisque nous n'avons point d'autres coordonnées à distinguer, cette équation deviendra

jsf = /7î% (225 ), équation

de V hyperbole rapportée aux asymptotes.

556. La propriété de ces sortes de lignes droites qui accompagnent constamment les deux branches de la courbe, est ici mise en évidence plus que dans l'équatiop ordinaire de l'hyperbole; car on tire de l'équation (225)

ce qui nous apprend que plus l'abscisse x est grande , plus j diminue; et qu'enfin ce n'est qu'en donnant une valeur infinie à X que y devient nul.

557. La valeur analytique de ce carré, qu'on appelle ordinairement \di puissance de V hyperbole , peut être exprimée en Fig.117. fonction des axes. En effet, le triangle OCB [fig. 117) nous donne

OC^ = OB^ -f- BC-,

ou * OC' =r a^ -4- b^ ;

et comme, en" vertu de Tcqûation (222) , OD étant égal à DG est la moitié de OC , on peut remplacer OC par 2 DC , et par conséquent Op^ par ^T^O-y ce qui convertit l'équation précédente en 4 DC^z=û' 4-^% divisant par 4, et la valeur de DC= introduite dans Téquation (228), la réduit à

Fig. 117. 550. Soit y [fig* 117) l'angle LOL' formé par les deux, asymptotes, si Ton multiplie l'équation précédente par sin^,

on aura

xy sm 4) = — j smy; (^^7]

représentant par ON et MN les coordonnées a: et ^ d'un point M

pris sur la courbe , le produit y sin^ = MN sin cp = OG sin y

exprimera (art. 8S) la perpendiculaire GI qui mesure la

hauteur du triangle OGI ou du parallélograonine OGMN , et

en multipliant cette hauteur par la base ON = 0:, le produit

xy sin y sera la surface de ce parallélogramme , et l'équation

précédente deviendra

surface OGMN =

sm^.

La situation du point x, y sur l'hyperbole étant arbitraire, prenons ce point au sommet B^ nous attirons donc

parallélogramme iSÏ^^^A = -. sin ç. '

Au moyen de celte valeur de — -. — sintp, J'équation (227)

DE i/hTP£RBOLE RAPPORTKF. A SES ASYMPTOTES. 2o5

devient

xy sin«p = parallélogramme ODBH;

ce qui nous apprend que le parallélogramme formé par les coordonnées est toujours égal au parallélogramme ODBH , dont le parallélogramme AEBF est le quadruple.

559. Lorsque rhyperbole est équilatère (art. 501), la tangente

trig. de Tangle COB représentée par -, se réduisant à Tunité,

est celle de la moitié d'un angle droit; donc l'angk LCL' formé par les asymptotes est alors droit , et le parallélogramme ODBH * devient un carré.

540. L'équation (224), pouvant déterminer tous les points de la courbe en menant des parallèles à Tune des asymptotes, porte le nom adéquation de Vhyperhole rappojtée aux asymptotes; et , ce qui est très-remarquable , c'est que , hors le cas de l'hyperbole équilatère , les coordonnées x e\ j sont obliques. Voilà donc un nouveau système de coordonnées dont nous ferons bientôt usage , en parlant des diamètres.

541. L'hyperbole entre ses asymptotçs se rapportant à des coordonnées obliques, cherchons à déterminer l'équation de la ligne droite , dans la même hypothèse.

Soient donc [fig. 1 18) A-r et Aj deux axes coordonnés qui F'ff- » »Sforment entre eux un angle ykx qu'on ne suppose plus droit , et qui répond à des ordonnées parallèles à l'axe ky ; il s'agit de trouver le rapport qui existe entre l'abscisse APz^x du point M et l'ordonnée PM paYallèle à l'axe Aj. Or MP se compose de deux parties, PQ et MQ; de sorte que nous

avons

MP = MQ + P(i (228)

A l'égard de PQ , cette ligne , comme parallèle comprise entre parallèles, est égale à la constante AB , que nous désignerons par h. Il nous reste à déterminer MQ : pour cela,

dans le triangle dbliquangle MBQ, les cotés étant proportionnels aux sinus des angles qui leur sont opposés (art. 100) , nous avons la proportion

BQ : MQ :: sinM : sinMBQ;

1 ,.^ «^sinMBQ

donc MQ = BQ - v— r,- ; (220)

sinM ^ ^^

l'angle M, conlnie alterne- interne, étant égal à Tangle J^BM, nous avons

^'BM = j'BQ — MBQ = BAx — MBQ ;

désignant par u Tangle MBQ et par 6 l'angle BAx , qu'on substituera à y. BQ , l'équation (228) deviendra

sin a

r = -r—Tz -v x -+■ f?.\ . . . (23o), équation

Sm (5 — a) \ /y 1

^c la ligne droite dans un système des coordonnées obliques,