DE 1. HYHEKBOLE RAPPORTÉE A SES ASYMPTOTES

deux sinus ; mais étant de même forme , nous la représenterons par

J z=. kx -h b (a32)

54fij, Nous allons maintenant nous servir de cette équation pour trouver l'équation de la tangente à l'hyperbole comprise entre ses asymptotes, équation beaucoup plus simple que réquation*ordinaire de la tangente à l'hyperbole.

Pour cela , regardons préliminairement l'équation { 282) comme celle d'une sécante qui coupe l'hyperbole rapportée à ses asymptotes ( y^. 1 19) aux points M' et '^^\ dont les coor- Fig. 1 19. données sont respectivement .a/, j*' et jc'\ j"\ ces coordonnées satisfaisant à l'équation (2^2), nous aurons

f =1 Kx' -^ by y = Ax" -h 6 ; . ♦. . (233)

la première de ces équations étant retwinchée de l'équation (232), nous obtiendrons

pour l'équation de la sécante assujettie à passer par le point j/, y-y et en retranchant les équations (233) l'une de l'autre , nous déterminerons la valeur de A , qui , introduite dans l'équation (234) 9 nous donnera

pour l'équation de la droite assujettie à passer par deux points, comme noas l'avons trouvée dans un système de coordonnées rectangulaires. Cela posé , les coordonnées j/, jr' devant satisfaire aussi à l'équation de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes , nous avons

retranchant la seconde de ces équations de la première, on a

\ a! y -^ ,v" y =r oj . . . ^ . . . {236^

2û8 THÉORIE DES COURBES DU SECOND ORDRE.

ajoutant à cette équation la quantité oi^ y" — ^' x'\ qui est identiquement nulle , nous convertirons l'équation ( 236 ) en celle-ci :

d'où nous tirerons

Substituant cette valeur dans Téquation (^35), nous'aVoas, pour réquation de la sécante ,

La sécante devient tangente lorsque les points x'y j' et ^", j'* coïncident; dans ce cas le coefficient de' a: — x' de Tcqua-

r' tion (237) devient ?*- ~^; par conséquent, nous avons

pour l'équation de la tangente au point .r', y' de Thyperbofe rapportée à ses asymptotes.

546. Si dans l'équation (2^7) de la tangente à Fhyperbole entre ses asymptotes, on&it j* = o, on trouvera x-=iix' \ Fig.iig. ce qui nous apprend que l'abscisse OT {fi^- 1 19) du point T, où la tangente rencontre l'asymptote OL "prise pour axe des abscisses, est double de l'abscisse OP du point de tangence; donc OP = PT, et comme l'ordonnée PM est parallèle à ia seconde asymptote OL', il en résulte que les triangles OTT% PMT sont semblables et donnent la proportion

OT : PT :: T't : mt, ou 2 : i :: f'T- mTj

par conséquent, la tangente T'T en un poijatM est partagée en deux parties égales par les asymptotes. • ^

DES OIAMiTESS. Sog