CHAPITRE XVIII

Des diamètres en général. ^

547. Dans Tellipse et dans l'hyperbole , on appelle diamètre toute droite qui passe par le centre, et qui, lorsque sa Taleur n*est pas imaginaire, comme celle du petit axe de l'hyperbole , se termine de part et d*autre à la courbe.

548. Le diamètre est toujours partagé en deux parties égales OL, OL' [fig. 120) par le centre. Fig.iao.

Voici comment je le démontre pour l'ellipse : ayant mené LL' par le centre, les angles LOB, AOL' sont égaux comme opposés au sommet. Soient x\ y' les coordonnées du point L9 et x'\ y" celles du point L'; la tangente trigonométrique de

l'angle LOB étant représentée par -7, et celle de l'angle AOL'

y" l'étant par-=~ , nous avons , en vertu de l'égalité de ces angles ,

et comme les points x'y y' et x'\ y" appartiennent à la courbe, nous aurons entre ces coordonnées les équations

yn ^ ^^ („, ^>r ), y". = ^ («' - X'"); . . . (239)

divisant la première par la seconde , nous trouverons

or 1,'équation (238) nous donnera

(*) On parviendrait aussi à cette équation par la similitudo des triangles rectangles OLP, OL'P', qui donnent x' : j' :: x" :y,

210 THllORIE DES GOUABES DU SECOND ORDRE.

substituant cette valeur dans l'équation (240), nous obtiendrons

chassant les dénominateurs et réduisant , il reste

ces valeurs entraînent l'égalité des deux termes de la fraction du second membre de l'équation (240), d'où il suit qu'on a encore

j — J ^ et puisque, par la propriété du carré de l'hypoténuse ,

OL» = x'^ 4- y'-" et OL'* = x"» -h j"%

et que , d'après ce qui précède , les seconds membres de ces équations sont égaux , il en résulte que

et comme nous ne considérons que les valeurs absolues de ces lignes , nous passerons de l'égalité précédente à celle-ci