CHAPITRE XXIII
De la transformation des coordonnées des courbes
du second ordre.
395. Dans le chapitre relatif aux diamètres, nous avons eu pour but d'employer des procédés directs , pour nous éclairer sur la nature de ces sortes de lignes. Le présent chapitre doit être moins considéré comme un second moyen de parvenir aux mêmes résultats > que comme une application utile des formules de transformation. Cette application, rendue plus facile par la théorie que nous avons établie sur les diamètres , fera connaître toute la fécondité de Uanalyse , qui , en disposant de certaines quantités indéterminées , ne laisse échapper aucun des cas qui se rattachent à une question.
L'équation de l'ellipse que nous avons obtenue en supposant les coordonnées rectangulaires, peut, au moyen d^s formules (282), se transformer en une autre, dont les coordonnées forment entre elles un angle arbitraire. Pour cet effet , nous substituerons dans l'équation
de l'ellipse rapportée au centre (art. 262) , les valeurs de x et de jr données par les formules (281) , et nous trouverons
b^ cos^p a^sin'^p
x^^-\-2b^cospcosq 2a^sinpsinq
a^ sin' q
Nous considérerons l'angle/? comme arbitraire pour que le diamètre puisse être mené dans tous les sens ; mais dès que ce diamètre aura été placé, Tangle q sera nécessairement déterminé, puisqu'il est le même que celui qui est formé par la tangente PI j en L (^g'. 121). Cependant, pour un moment, n'adoptons aucune hypothèse sur les angles petq pour nous donner la
DE LA TRANSFOAMAT. DES COORDONNEES DE l' ELLIPSE. ^^3
faculté de choisir celle qui dous conviendra le mieux. Dans ce cas, il nous sera permis de déterminer q par une condition. Si l'on .dispose donc de cette condition en faisant évanouir Tun des trois termes qui composent le premier membre de l'équation (292) , j'observe d'abord qu'on ne peut déterminer q en égalant à zéro le coefficient de/'% car on aurait alors
b^ cos* q -h a^ sin^ q z=: o; (^-Q^)
« en mettant dans cette équation pour cos* q sa valeur i — sin' q, on trouverait
et comme a^ est plus grand que b^, cette valeur de sin^ q se trouverait nécessairement négative ; donc celle de sin q serait imaginaire. D'où il suit qu'il est impossible de déterminer q en égalant les coefficients de j'* à zéro.
Le coefficienf de j:" égalé à zéro ne pourrait déterminer q qu'il ne renferme pas», ^ni même /?, parce que l'équation qui résulterait de cette dernière hypothèse , étant de même forme que l'équation (293) , nous conduirait encore à une valeur imaginaire.
594. Il ne nous reste donc plus que la faculté de faire évanouir le terme en df'/' : en égalant à zéro le coefficient de ce terme, nous aurons
b^ cosp cosq 4- a^ sinp sinq z= o.
Cette équation , divisée par cosp ces q^ nous conduit à
b' tang;? tang^r = — ^, (294)
et l'on y reconnaît celle qui , désignée par le n° 249 , appar> tient à l'ellipse quand on prend le signe supérieur. L'cqua-
tion (292) devient, dans cette même hypothèse,
{b^ cos^p + a*sin»/>) x'^-^{b* cos'^-f-û* sin'^) x'^==a* b^. (agS)
Divisant tous les termes' par a* 6% on obtient
ft*cos*i> + a'sin' z? ,. ^'cos'^ 4- fl'sin^o .
et, sans rien changer à la valeur des fr<ictions du premier membre, on peut écrire ainsi cette équation :
\ b ' cos */) + a' sin ' /? / \b^ cos^ q -^a^ûn^q /
Le second membre étant de dimension nulle, il faut qu'il en soit de même du premier; ce qui ne peut être , à moins que les quantités
A*cos*j3-ha'sin*/)' A^cos'y + û'sin' y' '"^ ^^
qui sont positives comme composées de carrés , ne soient de deux dimensions^ nous pouvons donc représenter la première des expressions (296) par a'* et la seconde par b^* : l'équation (295 ) revient à celle-ci : *
a'^ "^ b'2 — '> et en chassant les dénominateurs, on tombe sur cette équation
qui est précisément l'équation (254 ) 9 qui , prise avec le signe supérieur, existe entre les diamètres conjugués de Tellipse.
598. Si dans l'équation de l'hyperbole b^x^ — a- y- = a^b\ on substitue de même les valeurs de j? et de ^ donujées par les formules (282) {page 287), en prenant le signe iniérieur,
DE LA TEANSFORMAT. DES dOOEOONNEES DE l'hYPERBOLE. ^45
on trouvera
— a^sin?p\ — na'^sinpsinq — a^sin'^q
y'-=za-b\ (297)
Avant d'établir aucune hypothèse entre les angles p et q, nous pouvons regarder ces angles comme arbitraires et chercher à en disposer pour faire évanouir deux des termes de Péquation (297) ; dans ce cas , le choix de ces termes ne présente que ces deux combinaisons :
I". Le terme en x'y' et l'un des termes en ^'* et en ^'^j 2**. Les deux termes en x'* et en j^'^
596. Égalant à zéro le coefficient du terme affecté de x^y\ il est £aicile de s'apercevoir qu'on ne peut rendre nul l'un des autres coefficients sans réduire l'équation (297) à l'une de ces formes Ao?'* = a^b^ ou Br'* = 0^^% équations qui ne pourraient plus servir à construire la courbe , puisque ces équations ne donneraient chacune que deux valeurs pour l'inconnue.
597. Nous bornant donc à égaler le coefficient de a/ j' à zéro , nous aurons l'équation de condition
b^ cùsp cos q — a^ sin/? sin ^ = o ,
qui étant divisée par cosp cos qy nous conduira à celle-ci :
b^ — a^ tang p tang ^ = o.
Cette équation déterminera toujours l'un des angles p et q^ lorsqu'on aura attribué une valeur arbitraire à l'autre. Par conséquent, en disposant dep^ on pourra donner (^g. 128) Fig.iaS. à Taxe OX' l'inclinaison nécessaire pour qu'il rencontre la courbe; mais alors > ainsi qu'on l'a vu (art. 558)^ le second axe ne pourra l'atteindre; or, si l'oa supposait q moindre que p ou même égal à p, comme le second diamètre passerait alors par un des points de l'arc BL {Jtg. 12 3), il Fig.ia3.
atteindrait la courbe; d'où il suit que pour que OL n'atteigne pas la courbe y il faut que q soit plus grand que p. Cette hypothèse nécessite que, d'après ce qui a été démontré art. 386, b^cos^p surpasse a^sin^p; et que, au contraire, a^ sin' q surpasse b^ cos^ ^, et'qu^on ait ainsi:
b"^ cos ' /? — n' sin ' jo, positif; a} un* q — b^ cos ' q positif.
Maintenant , si nous écrivons ainsi Féquation ( 297 ) , délivrée du terme en a?' y' :
{i*cos*p— fl'sin*jo)j?'»--(fl'sin*y — ft'cos^y) j^'*=fl»ô% (298)
on voit, d'après ce qui précède, que les expressions renfermées entre parenthèses seront des quantités positives.
598. Cette équation étant divisée par a} b\ devient {b^ cos*/? — a» sin'/?) a;'' {a^ sin* ^ -— ^* cos^q) y'"" __
ou
Vb^ V='' (^99^
b^ cos'/; — a^ svû}p) \a} sm}q — b^ cos'qr^
le second membre étant de dimension nulle, il faut qu'il en soit de même du premier; donc leà quantités positives
et
b^ cos^p — «* sin'^p a^ sîn' q — b^ cos^q seront chacune de deux dimensio^^. Supposant donc
b^ cos'/? — «' sin^p
a^b^ a} sin' q — 6' cos' q
l'équation (299) deviendra
DE LA TRANSFORMAT. DES COORDONNEES DE l'hYPERBOLE» 247
OU, en chassant les dénominateurs y
Tirant la valeur de j^'% on peut écrire de la sorte cette équation
Cest ainsi que, sans recourir aux équations (246) et (253), dont nous avons donné à priori la valeur, la transformation des coordonnées nous Conduit, moins directemejit , il est vrai , aux équations entre les diamètres conjugués de l'ellipse et de l'hyperbole . /
Enfin , la démonstration de Fart. 272 pouvant s'appliquer ^ aux diamètres conjugués de l'hyperbole, nous conclurons que les carrés 'des ordonnées menées à Vun des diamètres conjugués parallèlement à Vautre sont entre eux comme les pro* duits des distances du pied de chaque ordonnée aux points où le diamètre rencontre la courbe»
599. Si dans l'équation de la parabole x ^ = 4^*^^ (^^* ^^^) » on substituait les valeurs de x et de y y tirées des formules (282), nous obtiendrions
8in*;ix'*-h 2 sin;? sin qx'jr'-k- sin * q y" — 4 * cos/ix' — 4 * ^^^ qj' = o. (3oo)
Il ne serait possible de faire évanouir des termes dans cette 'équation , qu'en supposant l'un des angles/? et q nul ou droit , parce qu'alors le sinus ou le cosinus devenant zéro , fait .évanouir le terme où il entre.
/? et ^ ne peuvent être supposés nuls en même temps; car, dans cette hypothèse , l'ordonnée ne ferait plus d'angle avec Taxe des abscisses , et ne déterminerait des points que dans une même direction , ce qui empêcherait de pouvoir construire la courbe; ainsi on ne peut disposer des angles/? et q qu'en supposant l'un de ces angles nid ou droit : par exemple, en faisapt
p-=:Oy on trouve
sin'^j'' — ^kx^ — 4^* cos^^' = o,
,^ 4 ^ cos g , l^hj/ .__
sin' ç sin'^
Cette équation du second degré étant résolue j donne deux valeurs inégales pour y 'y et montre que, dans cette hypothèse^ Taxe des abscisses n'est pas un diamètre.
Si l'on fait ensuite p-=.un angle droit , on trouve
x'^ -4- 'lûuqx'x' -f- sin^^^'^ — 4^ cos^y = o,
équation rd*où Ton tire la même conclusion, puisque résolue par rapport k y\ elle donne également deux valeurs inégales pour l'ordonnée y'.
On peut d'ailleurs remarquer que ces équations sont plus compliquées que Péquation y^ z=z ^kx,
400. Examinons si , en changeant la place de Porigine j nou% ne parviendrions pas à une équation plus simple entre les coordonnées obliques. Pour cet efTet , supposons que l'origine  . Fig i44- iJ^S' '44)> ^ laquelle on rapporte l'abscisse x = AP et l'ordonnée y = PM , soit transportée en un point A' d'où l'on doive compter les nouvelles coordonnées j/= A'Q , et j'= QM, nous avons f dans ce cas y les formules suivantes y de l'art. 589 (*) :
^= û-4-J?'cos/?-f-/'cos^, y=zb-{'x' sivLp-^y'sixïqy..,. (3oi)
pour passer d'un système de coordonnées rectangulaires à un système de coordonnées obliques , l'origine éta^t différente. Si l'on substitue donc dans l'équation y^ :=z ^kx \es valeurs de X etàe y données par ces formules , nous trouverons
sin *;>ar'^H-a 9În;i sîn ^ I x'^-'-i- sin * ^" -4- a 6 sin^
ltAî=--^^^
( * ) Ces formules sont générales ; car si la nouyellc origine était placée d^ane manière différente à Pégard do point A, Tune des conslantes <? et h ou toutes tes deux se détermineraient négativement.
TAANSFOEMATION DES COO ADONNEES DE LA PAEABOLE. 249
n se présente ici deux coefficients, susceptibles d'admettre pour/7 et pour q d'autres valeurs que l'angle droit ou que zéro ; ce sont ceux de a: ' et de j ', au premier degré.
Nous égalerons donc à zéro un seul de ces coefficients , celui de y' par exemple, en écrivant l'équation de condition
ibmiq — 4^cos<7 = o; {3o3)
l'angle/? restant arbitraire, nous l'égalerons à zéro; dans cette hypothèse, qiii donne ûrxp = o etcos^ = i , tous les termes qui renferment sin p et sia^ p s'évanouissent , et l'équation (3o2 ) se réduit à
Et comme les constantes a et ^ qui déterminent la place de l'origine sont arbitraires, nous pourrons supposer que l'origine A' soit sur un point (fig, i45) de la parabole. Les coordonnées Fiff.i4S. a =: AB etb=z A'B de l'origine devront donc satisfaire à l'équation f^=z^Ax; par conséquent il y aura entre elles la relation b^ — ^ak = o , et l'équation (3o2 ) se réduira alors à
sin '7/'* — 4^'^' = o,
Ak
et donnera r'* = . , a:', (3o4)»
sin^ q
équation qui est de la forme du celle de la parabole,
401. Si l'on eût égalé à zéro le coefficient de o:', et opéré d'une manière analogue à la précédente , on aurait trouvé une équation de même forme, dans laquelle x' serait l'ordonnée et j' l'abscisse.
40S. Déterminons maintenant la valeur de la constante
-$■ — : réquatfon (3o3) , ou plutôt b sin q = 2A cos q , étant sm'y V
2So THÉORIE DES GOCABES DU SECOVD OBD&Z.
élevée au carré , donne
mettant à la place de cos' g sa valeur i — sin' ^ , on a
d où 1 on tire sin^g = -— — >-r- ;
et parce que b^ = ^ak^
sin'a = y-—^ — 7—.
£t, en divisant les deux termes de la fraction par 4^*9
(Substituant cette valeur dans l'équation (3o4) f on trouve
ou plutôt ^-'2 ::3: 4(a 4 /■) j?'.
403. L'angle p étant nul par notre détermination, le nouvel axe des >r est parallèle à l'ancien ; et , comme, en vertu de la relation b^ = ^ah^ l'origine est sur la courbe, cela montre que le nouvel axe n'est autre chose qu'un diamètre de la parabole (art. S49 ).
Le point où le diamètre rencontre la courbe est ce qu'on appelle le sommet du diamètre,
Fig.145. 404. La distance AF {fis» '45) ^^ sommet au foyer étant h , et équivalant à AD , qui est celle du sommet à la directrice , comme l'abscisse du point B est représentée par a ^ il en
TRANSFOEHATION DES COORDONNEES DE LA PARABOLE. 25 1
résulte que DB = a + A '^ mais , par la propriété de la parabole, cette distance du point B à la directrice est égale au rayon vecteur FA' ; l'expression 4 (a -h A-) revient donc à 4 FA', c'est-à-dire que la constante 4(^+ ^) y qui sert de coefficient à x dans l'équation au diamètre, vaut quatre fois le rayon vecteur qui passe par le sommet du diamètre. Cette constante,, comme on l'a vu art. 405, porte le nom de paramètre du diamètre,
40Ô. Il est évident que ^(a-i- A) se réduit à ^k lorsque a = o y cVst'à-dire lorsque le diamètre est Taxe principal de la parabole , ce qui est conforme à ce que nous avons dit en parlant de cet axe. ^
