Substituant la valeur de tang p dans l'équation

on obtiendra une nouvelle équation que nous représenterons

par

P^'-f-Qr''-l-R = o, (38o)

et qui se rapportera à l'un des axes OB et OD (^g, 1 70) , formant avec l'axe OX des angles dont les tangentes seront telles, que l'ordonnée rectangulaire positive sera toujours de même longueur que l'ordonnée négative qui en est le prolongement.

471. Laissons seul dans le second membre le terme constant R de l'équation (38o), après l'avoir rendu positif s'il ne l'était pas , en changeant tous les signes de l'équation. Ce second membre étant par h3rpothèse positif, le premier devra l'être aussi , et par conséquent ne pourra renfermer qu'une somme de quantités positives , ou qu'une différence : dans le

premier cas , l'équation (38o) prendra la forme de

P.r'2 4- qy^ =z R; dans le second , l'équation ( 38o) ne nous offrira que ces deux

combinaisons :

Vx'' --- Qy = R,

Divisant ces trois équations par R , nous aurons

les coefficients tjr et :^ étant des quantités essentiellement

positives, parce que P , Q et R le sont , dans notre hypothèse,, où nous avons examiné tous les cas. Représentons ces fractions renversées par a'^ et par ^'% nos trois équations deviendront

chassant les dénominateurs , nous obtiendrons

Nous reconnaissons dans la première l'équation de l'ellipse , et dans les deux autres , celles de l'hyperbole rapportée au grand et au petit axe. Il n'est pas besoin d'avertir que , dans ces derniers cas, il n'y a qu'un axe de réel.