Nous avons vu (art. 468) que l'hypothèse où Tex

INFLUENCE DES GOEfFIC. DE L EQUAT. SUR LA COURBE. 3oi

pression B^ — 4^^ ^'^^^ P^^ nulle nous conduisait à Téquation des courbes à centre

il nous reste à examiner le cas où B^ — 4 ^C = o. Cette équation nous donne

B = 2v/aC;

substituant cette valeur dans Téquation générale (367), que nous reproduisons ici en supprimant les accents,

Aj-^-hBxy-hCx^'-h dy -+-e,v-h/=Oy . . (38i) elle deviendra

Ar^ + 2a:/ \/Â£-hCx'-\-dx-hex-^/z= o, .. (382)

ou plutôt, parce que les trois premiers termes forment un carré parfait ,

( j /i -h a: S/C)' -hdf-hex -h/=: o.

Substituant ici ces valeurs données par les équations (284)

( page 238),

X z=. x' cos p — y' sin p ,

y = x' %\VLp -h y' COS p y on aura

[(sin/? ^Â + cos/? s/c) x' -i- (cos/? s/Â. — sin/? y/c) j '] '

d sin/?

e cos/?

x' 'h d cos/?

— e sia p

En développant la partie radicale , on trouve pour le carré qui est dans l'équation (383)

(sin/? v'Â + cos/? s/c)^x'^ 2(sin/? v^Â-f- cos/? v/c) {cosp^Â — sin/?y^) x'^' + (cos/?v/Â— sin/?v/c)»j'»; .... (384)

3o2 THio&IE DES COURBES DU SECOIfD ORDRE.

résultat qui nous montre que le terme en d?'jr ' devient nul , lorsqu'on dispose de la quantité arbitraire/?, en faisant

(sin p \lk-\- cosp sjc) [cosp v/Â — sinp \/c) = o.

Cette équation peut être satisfaite de deux manières , en égalant l'un ou l'autre de ses facteurs à zéro.

Si c'est le premier, le coefficient de x'^ de l'équation (384) devient nul ; si c'est le second , le coefficient de y '* devient nul : donc le terme en x' jr' ne peut s'évanouir sans faire évanouir en même temps l'un des termes en x'* ou en^'*.

475. Pour conserver, comme dans les autres courbes, le terme en 7'% nous ferons évanouir le terme en x'% et alors

l'équation sin p \/a + cos /? y^ = o , jointe à celle-ci , sin*/? -\- cos^ p = I, déterminera les valeurs de sinp et de cosp , qu'on mettra dans l'équation ( 383) ; et , supprimant les accents, qui ne servent qu'à distinguer la nouvelle équation de la précédente, et deviennent inutiles lorsqu'on ne veut plus considérer que cette dernière, nous réduirons l'équation ( 383) à la forme v

Ar^ -I- B/ + O + D = o (385)

474. Nous ne pouvons maintenant être indécis sur le choix de celui des deux termes By et Cx que nous ferons disparaître ; car, la valeur de x -{- a mise à la place de x, n'introduisant pas l'indéterminée a dans son coefficient , il devient impossible de pouvoir égaler ce coefficient à zéro. On sent d'ailleurs que , le^terme enx^ manquant , si le terme en x pouvait s'évanouir, l'équation (385) , réduite à la forme A/^-h Bj H- D = o, ne déterminerait que deux valeurs pour y, et par conséquent ne pourrait plus servir à construire une courbe.

Ce sera donc le terme affecté de la première puissance de y que nous ferons évanouir : substituant, dans l'équation (385 ) , 7' + p à la place de 7, égalant à zéro le coefficient de j- '

INFLUENCE DES GOEFFIG. UE l'eQUAT. SUE LA COUEBE. 3o3

de la transformée et supprimant les accents, nous la réduirons à la forme

Pjr^-h Qo: + R = o,

à Vy^ -f-Q(*-f-~)==o,etpar conséquent à Pj^ * + Qj: =o ,

en égalant Fabscisse x + pr à une autre abscisse x (*), Enfin , si Ton divise par P les deux termes de Téquation

P/' 4- Qa? = o,

et qu'on fasse

l'équation précédente deviendra

y^ -\- px = o.

Il est facile de reconnaître, dans cette équation, le caractère de la parabole; car cette équation donne

y=±S/--pâ:y

et montre que p et x doivent être de signes contraires , pour que la valeur de y soit réelle : par conséquent, les deux branches infinies de la courbe , données par la double valeur de y, ne peuvent s'étendre que dans un sens, qui sera celui des abscisses négatives, si p est positif, ou celui des . abscisses positives , si /» est négatif. Gomme c'est ordinairement dans ce

("*) On aurait pu faire évanouir à la fois les termes ^et D, au moyen des valeurs ^ + /3 et x + «e mises à la place de x et dey ; mais on serait parvenu au môme résultat. En effet, que Ton substitue à la fois ces valeurs de x et de r, ou qu^on substitue celle dey pour détermineras avant de substituer la valeur de x + a, le nouveau terme en^ est le même dans les deux cas, ainsi qu'on peut le vérifier.

3o4 THÉORIE DES COURBES DU SECOND ORDRE.

dernier sens que Ton considère la parabole , nous aurons donc

y"^ — /?a; = O , ou y^z=i px y équation de la parabole,

475. Si A ou C était nul dans l'équation (355) , la courbe appartiendrait à l'hyperbole. Par exemple , si Ton avait G = o , en résolvant l'équation (355 ) par rapport à j-, on tomberait sur l'équation (356), qui se réduirait à

(Bjp -h D) . s/b^o:»-!- 2(BD— 2 AE)a:^ D*-~4 AF .

et, en observant qu'un carré x^ surpasse d'autant plus sa racine x , que Ton prend pour x des nombres plus élevés , on conçoit qu'il peut exister une valeur numérique de x , telle que le premier terme B^.r* soit plus grand que la somme des deux autres, que nous représenterons par Q j?-f- R. Alors le signe du résultat de tous les termes qui sont sous le radical , dépendra de celui du premier Wx'^.

Or B*a?', composé du produit de deux carrés, étant essentiellement positif , il en résulte que ce qui est sous le radical devient une quantité d'autant plus grande que x s'accroît , et que par conséquent la courbe se partage en quatre branches qui s'étendent jusqu'à l'infini; savoir, deux dans le sens des x positifs et deux autres dans le sens des x négatifs.

476. Si c'est, au contraire, A qui est nul, la valeur donnée par réquation précédente ayant 2 A pour dénominateur, est infinie. Dans ce cas on a recours, pour analyser la courbe, à l'équation (357), *I"^ devient

( Bj -*- E) ' v^BV'-+-2(BE — 2CD)^+E^— 4»CF

et qui, par les mêmes raisonnements, nous conduit à reconnaître que la courbe est une hyperbole.

477. Lorsque A et G manquent à la fois, l'équation générale se réduit à

Borj 4- Dr -h Eor + F = o ,

DIVISION DES COURBES DU SECOND ORDRE EN GENRES. 3o5

et donne

— Er — F

et y en effectuant la division ,

ED — F

ou y -I- E = =r- •

Transportons les axes parallèlement à eux-mêmes, en faisant j4-E=/, x-+-D = x'; notre équation devient alors

ED — F

ou 3iff = ED — F,

et, en représentant ED — F par m ,

on a x^ y' = m,

et Ton reconnaît ici l'équation de l'hyperbole entre ses asymptotes. ( Note vingtième, )