PQ = GE

Observons encore que le rayon OB , qui passe par le milieu de la corde, passe aussi par le milieu de l'arc , c'est-à-dire que

arcGB = arcBE;

mais arc GB = ^ , donc aussi arc BE = 6 , et par conséquent

arc EA = arc BA — arc BE = a — b;

et comme par construction , nous avons

arc AG = arc BA -f- arc BC = a -h ^ ;

nous voyons donc que tout se réduit à trouver les sinus et cosinus des arcs EA == a — b et AG =: a -}- b.

Or on a évidemment

sin(û-+.^>)=GP = FP-hGF=:IQ-hGF, (i6)

cos(a4-è)=OP = OQ — PQ = OQ — FI, (17)

, t6 TBIOONOXiT&IB.

sin (fl — 6)=EL = IQ--IG=IQ — CF, (i8)

cos(fl — ^) = 0L=0Q4-QL=0Q-hGE = 0Q+FI.(i9)

Il ne s'agit plus que de trouver les valeurs de ces quatre lignes IQ , OQ, FI, €F-. Pour cet effet, les triangles semblables OBH , OIQ donnent les proportions :

OB: BH :: oi :iq, ob: oh :: oi :0Q,

ou risina ::cos^:IQ, r : cosa :: cosô: OQ;

, ^^ sin a cos h ^^ cosa cos b

donc IQ = , OQ ==

D'uije autre part, les triangles semblables BOH, GIF, qui ont leurs côtés perpendiculaires , donnent les proportions :

OB: BH :: ic :Fi, ob : OH :: ic : CF,

ou r : sin « : : sin ô : Fl, r \ cos a : : sin ^ : CF; donc FI = ttlÈ^, CF = "^3^^.

Mettant les valeurs de IQ , de OQ , de IF et de CF dans les équations (16), (18), (17) et (19), on en tire :

. , , , sin fl cos h -h cos a sin ^ , ,

sm \a-\-b) =z , .... (20)

. , ,^ sin a cos 6 — cosflsin^ , .

sm [a — b) = , ....(21)

/ ,, cos a cos 6 — sinasin^ , ,

cos (a -{- b) = , . . » , . (22)

, ,, cos û cos ^ -f- sin «sin ^ , ox

cos (a — b) =. (23)

54. Ces quatre équations peuvent se réduire à deux en les écrivant de cette manière :