Si dans les formules (20) et (22} on fait bz=a ^ on
trouvera
2sinacosa cos' a — sîn* a , «, sin 2 a = , cos 2 a = •. ; (28)
et si Von fait 6 = 20 dans ces mêmes formules (20) et (22) ^ on obtiendra
. ^ sina cos2a 4- cosasin2a
sm 5a = y
. • • • (^9) cosacos2a — smasm2ii '
cos 3 a =
remplaçant sin 2 a et cos 2 a par leurs valeurs tirées des équations (28), et réduisant, oh trouvera
. 3 sin a cos' a — sin* a
sm 3a = ; y
- cos^ <2 — 3 cos a sih'rt cos3â = : y
en faisant ensuite ^ = 3a , b = ^a ^ etc. ^ on trouverait de même les valeurs de sin* a, d© cos* «, de sin^ a, de cos'fl, etc.
] 8 TRIGONOHÉTEIE.
57. Résolvons maintenant la question inverse : soient BD Fig. i6. ^^jig, 16) le sinus d'un arc BA, OD son cosinus ^ et r le rayon OC. Il est évident que le sintis de Tare BG , moitié de l'arc BA, représenté par a, sera BI. Or les triangles OIA et BD A , rectangles en I et en D , sont semblables , puisqu'ils ont un angle commun en A ; et , comme les côtés homologues sont opposés aux angles égaux , on a la proportion
OA : BA :: ai : ad,
ou . /• : 2 sin Y fl : : sin I a : r — cos a ;
d'où l'on tire
(sinj ay z=: \r(r — cos a), (3a)
et en passant à la racine
sin Y « = ± \/| r(r — cosa) ;
observant que la valeur négative se rapporte au sinus de l'autre moitié de Tare, c'est-à-dire au sinus de GA, cette valeur nous devient inutile. Nous nous bornerons donc à écrire
sin^a =^jr(r — cosa) (3i)
38. Pouif trouver le cosinus de la moitié de l'angle ou de Tare a , nous remarquerons d'abord que cet arc a étant quelconque , nous pouvons le remplacer par ~ a dans la seconde des équations (28) \ et alors cette équation deviendra , après avoir fait évanouir le numérateur r,
rcosa = cos*(-5«) — sin'(|a);. . . . (3:^)
et si nous changeons également a Qn\a dans l'équation (i) [page 6 ) , nous obtiendrons
r2= cos'(ja) -h sin»(|û).
Ajoutant «ntré elles ces équations , et réduisant , il restera
r (/• -\- cos a) = 2 cos - {\a)y
PRINCIPALES FORMULES TRIGONOMlÉTRIQUES . I9*
d'où nous tirerons
cos^{ja) = 7r(r -f- cosa);
et en passant à la racine ,
cos-ja = \/-5-'' (r-1- cosû). . . . (33)
Nous ne mettons pas le double signe y puisque le cosinus que nous considérons est essentiellement positif.
59. Les équations (3i) et (33) donnent les râleurs de sin | a et de cos ^ a en fonction de cos a j mais , lorsqu'on en veut faire usage, pour passer de sin a à sin {a, on est obligé de chercher préliminaircment la ▼tlear de cos a, à Taide de la formule
00s a = ^r* — sin'a,
tirée de Téquation (i) ; tandis que si les valeurs de cos ^ a et de sin 4 <> étaient données en fonction de sin a , on aurait une opération de moins à fiairo. Or il eat très'-facile d'obtenir sin^ a et cos-; a en fonction de sin a. Pour cela , si , dans la première des équations (aS) , on change de membres , et qu'on remplace a a par a , on obtiendra
asin J-a cos-l a = r sina,
et, ten changeant également a en ^ a dans Téquation (i) , on trouvera
cos*\a H- sin*^a = r'.
Lt première de ces équations étant ajoutée à la seconde , et ensuite letrtnchée de la même , nous aurons
cot*\a -+- asin|a cos^a -+- sin'|a = r* -4- rsina, . . (34)
COB*{a — ^sin^a cos-^tf -f- sin^-ja =. r* — rsina. . . (35)
Les premiers membres des équations (34) et (35) étant des carrés par» bàtBf nous pourrons les écrire de cotte manière , en passant à la racine et en mettant r en facteur commun dans le second membre :
cos I- a + sin I a = ^r(r-|- sin a), (36)
cos|a — sin^a = ^r{r — sin a) (37)
Betranchant Péquation (37) de l'équation (36), on aura
sin\a = i[^r{r -+- sin a) — ^r(r — sin a)]. . . (38)
20 T&ICONOMKT&IK.
En ajoutant ensuite la seconde à la prenaière, on trouvera
C0B{a = j-[v^r(-r ■+- Bina) -h ^r(r — 8ina)](*). . (Sg)
40. Toutes les formules que nous avons données jusqu'à présent sur les sinus et les cosinus , font dépendre ces quantités les unes des autres; aussi est-il essentiel de fixer un point de départ 9 en faisant voir comment, un rayon étant donné , on peut parvenir à déterminer le sinus d'un certain arc , dans | quelques polygones réguliers. (Note quatrième.)
{*) Remarquons que le second membre de Téquation (35) est essentiellement positif, par la raison que le rayon surpasse le sinus; et comme un carré positif provient aussi bien d^une racine positive que d^une racine négative, considérons d^abord la première hypothèse : dans ce cas le radical du second membre de Téquation (87) étant positif, il en sera de même du premier membre de cette équation ; ce qui ne peut être, à moins que cos ^ a ne surpasse sin} a. Or dans Pangle de 45 degrés (ou de 5o grades), Tangle OED (fg, 17) étant égal à Tangle O, le triangle OED est isocèle , et par conséquent les droites CD et £D sont égales; et comme les sinus, en se rapprochant du point A, diminuent de valeiu^ tandis que les cosinus s^accroissent , il est constant que pour tout arc moindre que 45 degrés, le cofiinbs surpassera le sinus ; tjiindis que , pour tout arc compris depuis 45 degrés jusqu'à 90 degrés , le sinus remportera sur le cosinus. Il suit de là que puisque nous supposons le premier membre de Téquation (37) positif, il faut néc<38sairement que Parc EA. {Jîg. 18) soit moindre que ^5 degrés *^ mais si, au lieu de Téquation ( 87) , nous eussions écrit celle-ci :
in |a — oosfa = Vr(r — sin<|)y (40)
sin
Tare serait plus grand que 45 degrés'; et, en retranchant Féquation (4o) de Téquation ( 36 ) , on aurait obtenu
cos I fl = I [ ^r(r-f-8inû) — 0(r— sin a) 3;
tandis qu'en ajoutant la même équation (40) à Péquation (36), on eût
trouvé _______
8in\a = \ [^r (r -h Bin a) -f- s/r{r — sin a) ] ;
ce qui montre que , dans les deux hifpothèses , le sinus et le cosinus changeraient réciproquement de valeurs.
P&INCIPALES FORMULES TRIGONOMÉTRIQUES. 21
Si Dous prenons 9 par exemple, l'hexagone, et que nous abaissions une perpendiculaire OE sur son côté AB (y%. i8), Fig.iS. cette perpendiculaire, comme on le démontre dans la Géométrie , passera par le milieu de ce côté et de Ya^c qui le soutient. Or, le côté de l'hexagone étant égal au rayon , et l'arc AE à la douzième partie de la circonférence, c'est-à-dire de 3o .degrés, il en résulte que l'angle AOE aura pour sinus AD, moitié du rayon; ce que nous exprimerons par cette équation
sin 3o® = I r.
41, Considérons encore le triangle équilatéral {fig. i9};Fig«i9' si l'on abaisse une perpendiculaire OE sur le côté GB , elle divisera Tare GEB en deux parties égales ; par conséquent, l'arc CE sera la sixième partie de la circonférence , et la corde CE équivaudra au rayon r; donc le triangle COE ayant les côtés CE , CO égaux , sera isocèle ; d'où il suit que les deux triangles rectangles CDO , CDE seront égaux , et qu'on aura OD = DE , et par conséquent OD = j;r. Mettant cette valeur et celles de CD et de OC dans l'équation
CD = v/0C' — 0D% BOUS aurons
sin6o®
= \/r'-j = rf^^^r)/3.
42. Le carré nous conduit à une autre expression de sinus En effet , soit BC le côté du carré ; si l'on partage ce côté en deux parties égales par la perpendiculaire OE, l'angle BOE (,/%. 20} sera de ^5 degrés ; donc l'angle OBD , qui en est le l^ig. ïmi. complément, sera aussi de ^S degrés : d'où il suit que OD = BD , et que l'équation
OD' -h BD» = OB',
qui résulte de la propriété du carré de l'hypoténuse, de--
viendra
2BD' = r\
22 TRIGONOMETRIE.
et par conséquent
2r* BD =
passant à la racine ,
BD = ir\/2, ou sm4^^ •= r^^-
4S. On démontra, en Géométrie, que le côté du décagone replier est égal à la moyenne partie du rayon dirisé en moyenne et extrême raison. Cela peut encore servir à trouver le sinus en fonction du rayon : 1 ig 31. en efifet, soit x {Jig, 3i) la moyenne partie du rayon, on a
r : X :: X : r — x, par conséquent
X* -H rx = r*j
résolvant cette équation du deuxième degré en ne prenant que la partie supérieure du radical ( *) , parce que le sinus est essentiellement poeitif, nous aurons
x-h\r =n y r' -h'-j = r^j =\r^. ( Note cinquième.)
44. Déterminons maintenant la tangente de la somme ou de la différence de deux arcs. Pour cela, faisant a=zado.b dans l'équation (2) , nous trouverons
tang (azizb) sin (a ± ^)
r cos {azk: b)^
substituant dans cette équation les valeurs des deux. termes du second membre fournies par les équations (24) et (25), nous obtiendrons
tang {a± b) sin a cos b ± cos a sin ^
r cos a cos bzç:ûna sinb
Divisant tous les termes par cos a cos b , et réduisant , nous
obtiendrons
sin a . sin é
tang {a±a) cos a cos b
^— ^— M^^l »^ —Il !■ I — — ^l^i^» ^^^ 11 , Il - - - *
r sin fl sin b '
COS a cos o
(*) Nous verrons (art. 158) ce que signifie cette valeur.
PRINCIPALES rOfiJâJ)Jja TJUAÛNOMiTRIQUES. 3 3
, sin,« sin b . • i. r „.
remplaçant et r par leurs valeurs indiquées par re-
'^ ' cosa cos b '^ ^ r
quation (2) , nous aurons
tang a ^, tang b
tang {a± b) r r
r tang a tang b '
et, en multipliant par r^ les deux termes du second membre ,
tang (g db ^) r (taQg ajç, tang b) , r "~ r' q;: itang a \^r>%b '
faisant évanouir le dénominateur du premier membre, on obtiendra enfin
/ -L-I.N r'(tanga±:tangft)
^ ^ ' r' qp tanga tang b ^^ '
45. On déterminerait de même la valeur de cot (a d= 6) ; car Téquation (4) nous donnerait
cot (a ±. 6) = , , ,. }
mettant dans cette équation la valenr de tang (a :±: b) dono/ée par Téquation (40, on aurait ,
cot (a dr 5) = -;^
(tang g =b tang ^) ' r * =f: tang a tang &
mokipliaiiit les deux termes de cette fraction par r* q: tang « taog h, pour faire évanouir le flénomÂiu^teur dM dénominateur, ^au9 ^avfVOQ^
tang a zh tang &
remplaçant tang a et tang & par leurs râleurs déterminées par Téquation (4), on aurait
-^* / i L\ cot a cot 6 cot (a =h &) = — -5 -.;
cot a cot &
24 TaiGONOMÉTfilK.
diyjsant les deux termei par r% il resterait
X / i ix cot a cot b
cot (a d= 6) = ;
cota cot^j
et en raultipliaiit les deux termes dii second membre par cot a cot 6 , on
trouverait enfin
^/ . . cotflcotfc zxz r'
cot (a do b) = , — •
^ ' cot b ± cot a
46. On parvient encore , de la manière suivante y à des ex~ pressions trigonométriques remarquables : en changeant de place les deux membres des équations (20) et (2 1) , on trouve , en prenant la somme et ensuite la différence ,
sin a cos b = -[sin (a -h b) 4- sin (a — b)]y (42)
cos a sin ^ = -[sin {a -i- b) — ^sin (a — b)], . (43)
Opérant de même sur les équations (22) et (28 ) , ces équations donneront
f ■ cos^ cos^ = -[cos(a 4- ô) 4- cos(« — b)], (44)
sin <i sin 6 = - [cos {a — b) — cos {a 4- b) ]. (45)
Ces formules vont nous conduire à un théorème important , dont nous ferons un grand usage par la suite. Pour arriver à ce but , faisons
en ajoutant ces équations et en les retranchant ensuite l'une de l'autre , nous trouverons
PRINCIPALES FORMULES TRIGONOMETRIQUES. ^5
Au moyen de ces valeurs , les équations (42) et (43) deviendront
sini(a + p)cos|(a — p) = -(sina + sinp), (46)
sin|(a — p) cos |(a -f- P) = - (sin « — sin p) ; (47)
divisant l'équation (46) par Péquation (47) 9 on aura
sin Y (a 4- p) cos Y (a — p ) sin a + sin p
sin y (a — p) cos~ (a -f- p ) sin a — sin p
sinKa -l-p) cos7(a — p) sina-f-sinp •
cos| (a H- P) sin-;(a — p) sin a — sin p
I sin a -H sin S
ou tanc (a -f- 3 X t-^ = :— ^ >
^\ ^ r^' ^ tang(a — P) sina — smp
ou
tang y (a + P) sin a 4- sin p tang-j- (a — p) sin a — sin p
On tire de là cette proportion
âna + sin p : sin a — sinp : : tang|(a 4- p) : tang^ (« — ?);
ce qui nous donne ce théorème : La somme des sinus de deux arcs est à leur différence comme la tangente de la demi-somme de ces arcs est à la tangente de leur demi-différence,
47. Ce théorème se démontre aussi par la Géométrie, de la manière saÎYante :
Soient (^. 2a) les arcs AM = a , AN = /3 , nous aurons donc Fig. aa.
MR = sina, NP = 8iny3î
et en prolongeant MR jusqn^à'la rencontre de la circonférence, nous
aaroDs aussi . .
LR = sin K.
Ces sinus étant perpendiculaires au diamètre BA, menons par le point N la droite MC parallèle à ce diamètre , et par conséquent perpendiculaire à NP; tirons ensuite les cordes CM, CL; et enfin, avec le rayon des tables représenté par CD, décrivons Tare EDI, et menons
26 THIGONOXÉT&IE.
au point D une tangente DE, que nous prolongerons jus^u^en F; cette tangente sera parallèle à nos deux sinus. Fig. aa. Gela pose , les triangles CQL , CDF, formés par les parallèles ML , EFy donnent la proportion
QL : DF :: CQ : CD;
et les triangles semblables CQM , CD£ donnent
MQ : DE :: CQ : CD.
Les seconds rapports de ces proportions étant identiques , on obtient, i en égalant les premiers,
QL : DF :: MQ : DE;
et en chaogount les moyens , on a
QL : MQ :: DF : DE (48)
Examinons ce que sont les quatre termes de cette proportion ; il est d^abord évident qu'on a
QL == RL -+- QB = MR -h NP = sin ^c -h sin ^ , MQ = MR -^ QR = MK — NP = sin^c - sin ^;
et , en résumé,
QL = sin « -h sin /3, MQ = sin a — sin /3 (49)
A regard des deux derniers termes de la proportion (4B), remarquons que les angles NCL, HCN 9 ayant leurs sommets appuyés sur la circonférence AML, auront pour mesure, comme cela est démontré dans la Géométrie, la moitié des arcs NÂL , MN compris entre leurs côtés; et comme les arcs compris dans les angles NCL , KCM sont respectivement
AL-f- AN =«-t-/3 et AM — AN = a — ^,
nous aurons , pour les tangentes DF et DE ,
DF = tangH«-+-i3) et DE= tang^ (« — ^). . . . (5o)
Substituant dans la proportion (48) les valeurs de quatre termes données par les équations (49) et (So), nous obtiendrons, ooiiiiBe.dan8 Tart. 46 ,
sin a + sin € : sin a —sine :: tang4{«-h/8) : taog-;(a — /Q).
