CHAPITRE V

De la construction des tables des sinus.

48. Les cordes , comme nous l'avons vu ( art. 6 ) , ne croissent pas proportionnellement aux arcs. Il en est donc de même des sinus , qui sont leurs moitiés ; mais plus l'arc est petit, moins il diffère de son sinus. C'est ce qui deviendra encore plus sensible après qu'on aura démonU*é que l'arc est plus petit que la tangente , et plus grand que le sinus. £n effet, soit AM (fig, 23) un arc dont MT est la tangente et MP Flg.a3. le sinus; si Ton prend AM' = AM, et qu'on représente par M'T la tangente de cet arc, les deux tangentes étant égales et de même inclinaison sur OT, coïncideront en T, et l'on aura

M'TrrMT et M'P = MP.

Or il est évident que la b'gne brisée MTM' surpasse l'arc MAM' qu'elle enveloppe, et que la corde MM' est moindre que l'arc MAM', qui Pentourant, n'est pas le plus court chemin pour arriver de M à M'.

Par conséquent la moitié de MTM', qui est la tangente MT, surpasse MA , moitié de l'arc MM' ; et le sinus MP, moitié de la corde MM', est moindre que MA.

Gela posé, l'équation (2) (art. IB), dans laquelle on fait r = I , nous donnant

tanga I

sin a cos a

et le cosinus (art. 24) tendant vers l'unité à mesure que l'arc diminue, on voit qu'il en sera de même de , par suite,

cos a

^c -; , et à plus forte raison , de — — , fraction dont

les termes s'approchent encore plus de l'égalité, parce que, suivant ce qu'on vient de démontrer, l'arc- surpasse le sinus.

!i8 TRIGONOMÉTRIE.

Et comme l'arc est nul lorsque le cosinus est i , il s^ensuit que

le rapport — — ne devient jamais égal à Tunité y mais peut "^"^ arca

s'en approcher à moins d'un dixième , d'un centième ^ d'un millième, ou de tel rang décimal qu'on voudra, ce qui suffit pour les tables , si Ton se borne à un petit nombre de décimales en les construisant*

Cette détermination nous fait sentir la nécessité d'assigner une limite à la petite erreur que l'on commet en substituant l'arc au sinus , lorsque les lignes trigonométriques ont peu d'étendue. C'est l'objet qui va nous occuper.

Pour cet effet, soit a un arc très-petit; la tangente de cet arc , comme on l'a démontré , le surpassera donc d'une très-petite quantité positive } en sorte que si nous désignons par S l'excès de tang 7 a sur 7 a , nous aurons

tangua = |fl -f- 5,

ou , en vertu de l'équation (2) ( art. 18 ) ,

cosy a

faisant évanouir le dénominateur, nous aurons

sin 1 a = -acosja + Scos^a;

multipliant les deux membres par 2 cos t a > il viendra

2sin|acos|« = acos^(|fl) -h 25cos'(yfl); . . (52)

mais si dans la première des équations (28) on fait !ia= a et r = I , on trouvera

^ sin 7 a cos 7 a = sin a.

Substituant cette valeur dans l'équation (52) , cette équation deviendra

sina = a cos^(7«) 4- 2^cos='(7a);