KH

La ligne IH , étant une perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle droit KIB sur l'hypoténuse , est moyenne proportionnelle entre les lignes KH et HB ; par conséquent , on a la pro* portion

KH : IH :: m :HB, ou s ^ : s :: s : HB;

donc HB = «p.

Substituant cette valeur dans la proportion [a] , cette proportion devient a.-\-a^ — x \ y :: «p : P; et, en divisant par p le second rapport ,

OL -\- aQ — X : y :: a : 1,

Égalant le produit des moyens à celui des extrêmes ,

faisant passer a p dans le premier membre, et observant que a devient facteur commun des deux termes du premier membre ,

divisant par a ,

SUR LES COURBURES DE l' HYPERBOLE ET DE LA PARABOLE, /{û*^

et y à cause que on aura enfin

équation qui est la même que celle de T art. 2^2.

NOTE DOUZIÈME. (Page igg. )

Démontrer que V hyperbole s'écarte plus de l'axe des abscisses

que la parabole.

Les branches de l'hyperbole, de la parabole et la ligne droite s'étendant jusqu'à l'infini, on peut demander quelle est celle de Ces lignes qui s'écarte le plus rapidement de l'dxe des abscisses. Pour répondi'e à cette question, donnons^leur une origine commune à un même sommet , et comparons d'abord une branche de parabole à la ligne droite; supposons que y tty' soient deux ordonnées de ces lignes qui correspondent à la même abscisse, lious aurons les équations

.\ y ■=^ ax^ y'^ = npx ;

la ligne droite étant supposée inclinée, la pretnière de ces équd tions n'admet pour ja qu'une valeur finie , et la seconde nou^ donne

nous aurons donc, en remplaçant x par y^ X /^^

y' ly :: s/2p\/x : « v^x v^,

et par conséquent

y' \y :: v^ : a{x\ d'où l'on tire

^q8 - NOTE DOÛZliHE.

Or, quand x' ^^ très-grand, il en est de même de —j=r ; fl'où il

suit que , dans ce cas , y est égal au produit àe y' par une quantité fort grande, ce qui montre que l'ordonnée de la ligne droite surpasse alors de beaucoup celle de la parabole. Il ne sera pas plus difficile de démontrer que, dans la même hypothèse , l'ordonnée de l'hyperbole doit surpasser celle de la parabole^ en effet, en écrivant ainsi l'équation de l'hyperbole, considérée dans sa branche positive ,

on voit que quand x est^fort grand, la fraction — devient très-

petite, et qu'alors notre branche d'hyperbole doit se rapprocher d'une ligne droite qui aurait pour équation

ce qui prouve que l'hyperbole s'écarte plus que la parabole de l'axe des x, '

On peut d'ailleurs remarquer que , lorsque x est fort grai^ , la parabole tend à devenir parallèle à l'axe des absdsses ; car, soient x ^'^ x' <lcux ordonnées de la parabole qui correspondent aux abscisses x et a/ y peu différentes l'une de l'autre; si x et a/ sont très-grandes, il en est de même de y et /', à cause des équations

y* = 7,px et x'^ == 2/?j/.

Or on tire de ces équations

et en décomposant le premier membre en facteurs, cela se réduit à

P&OP&IÉTÉ DU PARAXLÉLOGR. DES DIAM. CONJ. DE l'eLL. 499

Or, dans Thypothèse de deux ordonnées fort grandes, placées à la distance x — xf l'une de l'autre, la fraction, à cause du dénominateur, devenant très-petite, la différence jr — f devient presque nulle, ce qui montre que la parabole tend à devenir parallèle à l'axe des x.

NOTE TREIZIÈME. (Page 224.)

Seconde démonstration de ce théorème , que, dans l'ellipse et dans rhyperbole, le parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués est égal au rectangle formé par le grand et le petit axe.

Pour démontrer le premier de ces théorèmes, si l'on multiplie réquation (258) ( page 222) ))ar l'équation (259) , on obtiendra

b* cos^qcos^p -h a^b^ sin^ q cos^p-\-a^b^ sin^jo cos'^ -i-a* siii'p sin^q

Ajoutant dans le dénominateur, la quantité

2«* b^ sïnp sin q cos/?cos^ {*) — 2.a^ b^ sinp sin q cosp cos q^

qui est nulle , on pourra partager ce dénominateur en deux carrés , et l'équation précédente deviendra

a''b'^z= a'b' (Ô^cos^ cosjo 4- /l'sin q sin/?)* -^(ab sin q cosp — ab sinp cos qy

(*) L^expression de ^a* b* sin p sin q toa p cob q est le double de lA racine du produit des termes extrêmes de ce dénominateur.

5oO NOTE TREIZIÈME.

Observant que b^ cos q cosp -+- a} sin ^r sin /> = o , ^n vertu de réquatîon (aSo), prise avec le signe supérieur, l'expression précédente se réduit à

[a b sin q cos^p — ab sinp cos q) ou plutôt à

[ab (sin q cosp — sinp cosq )Y '

et comme le carré d^un produit composé de deux facteurs est égal au produit des carrés de ces facteurs, cette équation pourra s'écrire de la manière suivante :

a^ b^ (sin q cosp — sin/? cos qy n'b^

(sin q cosp — smp cos qy

Le dénominateur du second membre étant le carré de la valeur donnée par la trigonométrie de sin (q — p)^ on aura enfin

sm'(5r — py et y en tirant la racine,

faisant évanouir le dénominateur, il viendra

fl^i' sin {q — p) = ab.

Le premier membre de cette équation représente la surface ^i8.i4f. du parallélogramme D'GB'G (^g. i4i)* Car soit lyH la hauteur de ce parallélogramme ; il est évident (art. 8^ ) que

D'H = D'C X sin D'CH,

ou - D'H =^' sin (ç — p).

PaOPRlETÉ DU PARALLÉLOOa. DES DIAMET. CONJ. DE L^HYP. Soi

Multipliant la base CB' par cette hauteur, on a

surface D'CB'G = CB' X D'H =z a' ^'sin(7 —p) ;

et comme ab représente évidemment le rectangle construit sur les deux demi-axes a et i^, le parallélogramme construit sur les deux demi-diamètres est donc égal au rectangle formé par les deux demi-axes a etb. Et en observant que, si le parallélogramme et le rectangle ont des côtés doubles y les deux surfaces quadrupleront en même temps , on pourra conclure la proposition que nous avons énoncée.

Pour démontrer que dans l'hyperbole , comme dans l'ellipse, le parallélogramme construit sur les diamètres conjugués est égal au rectangle formé par le gramf et le* petit I ajce, si l'on multiplie Tune par l'autre les équations (246) et (253) , prises avec le signe inférieur, on trouvera

— — -- ■ - • , -Il ■ - 1

— éf* cos'^ cos^p -i-a^b^^in^q cos-p -4- ^'^'sin'/? cos' ^— a* sin'/>sin' q

Ajoutant dans le dénominateur la quantité

2a^b^ sinp sin q cosp cos q — 2a^b^ sinp sin q cosp cos q,

on pourra partager ce dénominateur en deux carrés, et Téquation précédente deviendra

— {b^cQspcos q — «^5in/?sin(/j'-j- (ab sin 7 cosp — ab siDpcosq)

Observant que b^ cos p cos q — a^sitxpsinq = o , en vertu , de réqualion de condition (aSo ) ,- prise avec le signe inférieur qui se rapporte à l'hyperbole, la valeur de a"b'' se réduira à

.«''A'^ = Jl,^

[ab (sin q cos p — sin p cos q) ]- ' éievant les deux facteurs du dénominateur au carré, et rédni^^

5û2 NOTE TREIZIÈME.

sant, on trouvera

(sin q cosp — sinp cos qy '

le dénominateur du second membre étant le carré desio (g-^p)» on aura

$m'(q^p) et , en tirant la racine ,

sm(7— /?)'

fais2hit évanoâîr le dénominateur, il viendra

a'b^ sin (q — p}= ab • • W

Fig.24a. Si l'on prend {^g. 242) sur la direction du demi-diamètre conjugué CY' au demi-diamètre CX% une ligne CD' égale en longueur à la constante 6', et que Ton construise le parallélogramme D'CB'G, ce parallélogramme représentera le premier membre de Téquation précédente ; car, soit D'H la hauteur de ce parallélogramme » on a (art. 8d )

D'H D'C sin D'CH = D'C sin D'CB = b' sin (q—p}i donc surface D'CB'G ou CB'D'H= «'A' sin (<7— />).

Cette surface est , par conséquent , égale au produit ah , qui peut être représenté par un rectangle qui Aurait a pour base, et pour hauteur la constante b de Thyperbole ; multipliant par 4 l'équation précédente , on trouvera

2«' X 2^' sin (7 — v)^= 2« X 2^. ^

Les côtés du parallélogramme et ceux du carré devenant doubles ^ on en conclura le théorème çpoJbcMîi-dessm^.. \^

P&OPRiiTÉ DE LA SOMME DES CABRÉS DES DIAM. DE l'eLL. 5o3

NOTE QUATORZIÈME. (Page 227.)

Seconde manière de démontrer ce théorème , que., dans Tellipse, la somme des carrés des diamètres conjugués est égale à la somme des carrés dn grand et du petit axe.

La valeur de «^è% tirée de l'équation (264) (page 224), étant substituée successivement dans les formules (!?46)et (247) ( page 212) , prises avec le signe supérieur, nous aurons

^'cos'^-ha^sin^ç ^ ^'cos'/> -f- «'^sin'/? '

faisant disparaître les dénominateurs, et supprimant le facteur commun dans chacune de ces équations, on trouvera

a'^ sïn^ {q — p) = b^ cos' 7 -4- «'^sin^çr , b'"^ sin* {q — p) =■ b^ cos'/? -H à^ sin*/? ; ajoutant ces équations , on aura

(a'24. ^'i) sin» (<7 — />) =r û» (sin'z? -f. sin' <7) ) .* -h^2(cos'/?-4-cos»^) ) ' ' ^^^

lie second membre de cette équation peut se mettre sous la forme du premier. Pour cet effet, prenons une expression en a et en b db la forme de ce premier membre : cette expre^on {m^-\-b*) sin' [q — p) étant égalée à elle-même , eil partie développée, nous donne

rf*

{a} •+- b*) sin' (q — p) z= («^ -f- b^) (sin q cosj^ — sin/? cos q)\

ou, en achevant de développer le second membre,

(a' -h 6») sin' (y -4- = «' sin' q dbs^p — 2«' sin/? sin q côsp 00s q ri- t^ sin'/? cos' q b^ sin' q cos '/? — 2 è' sin/? sin q oosp cos q -+• b^ sin'/? cos' q .

5o4 VOTE QUATORZlàHE.

Substituant, dans les termes extrêmes de la première ligne du second membre, les valeurs de cos' p et de eos* q, et dans les termes extrêmes de la seconde ligne , les valeurs de sin' p et de sin' </, qu'on tirera des équations

I = sin'/> -H cos^p et i = sin* q -+- cos* q ,

données; par la trigonon^étrie , nous aurons

(«»+ A»)sin*(y — p) =a^ain^q — a' sin* q sin'/? — 2a^ sinp sin q cosp cos q-\-a^ sin'/> — a* s\n*p sin' q -h b^cos^p — b^cos^pcos^q — 2 ft ' sin/? sin q cosp cos q-hb^ cos* q — b * cosf* q ces'/?.

Mettant dans le terme -—2éi^ sin/? sin </ cos/? cos ^y la valeur de a% et dans le terme — afr* sin /? sin ^ cos/? cos 9, celle de ^', qu'on tirera de l'équation (aSo) ( page 2i5), prise avec le signe supérieur, qui se rapporte à Fellipse, et réduisant, on obtiendra

^ ^ ^' '^ (4- ^'cos'/?-f-^*cos'7,

{a^rh ô')sin''(</ — jP) = à^(siu-p -h sia'y) H- ^' (cos' /?H- cos' 7).

Éliminant le second membre de cette équation à Taide àSféquation (a) , et divisant ensuite par sin* [q — /?), on aura

a'^-^b'^^ià'^b^', ...... .,{hj

multipliant par 4 '^ deux membres, pour passer des carrés des demî-akes et des demi-diamètres , aux carrés des axes et des diamètÇîs , cette équation deviendra

ou * {la' Y 4- {2^' Y = [7.ay -f-*(2*)' i

et comme la'yp.b'^ ia et ib sont les diamètres et les axes dç Tellipse, on voitqi^e la'somme des carrés des d^nètres est égale à la somme dçs Àrrés des axes. '

PHOPB.. DE tX DIFFEB. DES CABRÉS DES DIAM. CONJ. DE L^HYP. 5o5

NOTE QUINZIÈME. (Page 227.)

Seconde manière de démontrer que, dans l'hyperbole ,• la difTérence des carrés des diamètres conjugués oit égale à la différence des carrés du grand et du petit axe.

La valeur de «'^-, tirée de l'équation a*b' sin(<7 — p)-=iaby étant substituée successivement dans les formules (246) et (253) (pages 2i3et2i6), qui , étant prises avec le signe inférieur, se rapportent à Phyperbole, nous aurons

a '^ b"" sin^ (7 -^ p) a "" V sin^ (7 —/?)__ ' r^

a^ sin"^ q — b^ cos' q ^ b^ cos^p — a^ sin^p

Faisant disparaître les deux dénominateurs, et supprimant le facteur commun dans chacune de ces équations, on trouvera

«'^ sin'-(7 — p) = a^ siij' q — b^ cos^q,

b'* sin'(<7 — p)=: b'^ cos'/> — a^ sin^p ;

retranchant la seconde de ces équations de Pautre, on

aura

(flf '2 __ b'^) sin' (f/ ^p) = a' (sin' q^sin'p)) . ^

^^ --b'(cos'q-hci>s^p)y \' '

Le second membre de cette équation^eut se mettre sous la forme du, premier : pour cet effet prenons une expression e^^ a et en b de la forme de ce premier membre ; cette expression étant égalée à elft-méme, eu partie déq^loppée , nous donpe

(a^ — b^) sin' (7 — p)^= («' — ^') (sin^ cosp — sinp cosq)\

ou , en achevant de développer le second* membre ,

*(a^ ^ Ù'^ysix\^(q —p] = à? sin'<7 cos^/? — 2«* siny^ sin^ C9S/? co%q M- «-sin^// cos-// .r— b" srn^q cos*/? -f- 2^- sin/> siny cos/? cdfeiy — b" sin-/7 cos'7.

5o6 VOTE SEIZIÈME.

Substituant, dans les termes extrêmes de la première ligne du second membre , les valeurs de cos*/? et de cos'^, et dans les^termes extrêmes de la seconde ligne , les valeurs de sin^p et de sin'<7, tirées des équations

sin^p -f- cos^p = i et sin'^ -f- cos'^ = i,

« nous aurons

{a^ — b-'){s\nq—p)

=«'sin' y— fl*sin*<7 sih'p — 2a' sinp sin q cosp cos <74-«' sin^? — «^ sin*^ sin'^ — ^'cosf'/?-H^' cos^p cos*^ 4-2^' sin/? sin g cosp cosg — ^'cos'^H-^'cos* ^cos'/>.

^ Mettant dans le terme — 2a* sin/? sin g cos/? cos 9, la valeur de «% et dans le terme + 2^' sin/? sin g cos/? cos y, celle de ^', que -nous tirerons de Téquation (25o) (page 21 5), prise avec le signe inférieur, nous obtiendrons

— «' sin/? sin g -h b^ cos/? cosy = o ,

et, après avoir réduit, >

(a^ — b^) sin' {g — p) = a^ (sïn^g -f- sin*/?) = b* (cos*/? -H cos'f ).

Substituant la valeur du second membre de cette équation dans réquation (a), et supprimant le facteur commun, il viendra

• : multipliant par 4 les ^eux membres, nous aurons

pu {'2fi ' y — {'ib") = (2fl)» — (2^)^

NOTE SEIZIÈME, ('^ge 286. )

Ayant trouvé une démonstration du cône par la géométrie k trois dimensions^ je Tavais insérée danslef^itions précédentes; mais Tordre nouvâàu des matières ne m'a pas permis d'en

SECTIONS DU CÔNE PAR LA GEOMKTaiE A TROIS DIMENSIONS. 5o']

faire ii^age dans le texte ; néanmoins , comme elle se rattache à l'objet qui est traité danç le chapitre XXVIÏ, et qu'elle peut servir d'exemple sur la manière d'appliquer la géométrie analytique de trois dimensions à la solutiçn d'un problème, j'ai cru devoir l'insérer dans cette note, en prévenant le lecteur de n'en prendre connaisssince qu'après que j'aurai traité de l'équation du plan.

Plaçons l'origine (Jig. ^43) au centre A de la base du cône Fîg,^. droit , dirigeons Taxe des z suivant la hauteur de ce cône , et nommons a le rayon AC de la base du cône , et ^ la hauteur AZ. Si, par un point M d'un côté ZC, on mène une parallèle MQ à l'axe AZ , cette parallèle MQ sera l'ordonnée z du point M; les deux autres coordonnées seront AP = x, PQ = j. Cela posé, le triangle AQP, qui est formé sur la base du cône entre les coordonnées x et j, étant rectangle en P, nous avons

AQ' == AP'' -f- PQ%

ou AQ^ =z x^ "{- jr^;

mais AQ = AC — QC.

Mettant donc ccfle valeur de AQ dans l'équation précédente^ on a

(AC — QC)» = :r^ -f- 7' W

Or, les triangles rectangles ZAC et MQC nous donnent

AZ: AC :: MQ : QC,

'j, h ; a :: z rQC;

az d'où l'oïi tire QC = -r •

Substituant cett^ valeur et celle de AC dans l'équation (^), oa obtient • ^

5o8 NOTE seizième/

a'' ou -7- (a — zy ^=1 x"^ + j% équation du cône

dont le centre de la base est à l'origine^ et dont la hauteur est dirigée suivant Vaxe des z.

Coupons le cône par un plan , et , pour plus de simplicité , supposons que la trace de ce plan sur celui des a; , y soit parallèle à Taxe des y ; l'équation du plan étant en général Aiîc4-Bj + C3-4-D = o, réquation de la trace sur le plan (^. X , y sera A.r -|- B/ -|- D = o ; cette trace devant être parallèle à Taxe A/, il faut que x soit constant, ce qui exige que B soit nul; par conséquent, Téquation du plan devient, dans cette hypothèse , kx -{- Cz -h D = o , équation d'un plan dont la trace est parallèle à l'axe des y .

Si entre cette équation et celle du cône on élimine z , on , trouvera " ^

équation de l'intersection du cône par le plan,

Fig.a^4. Transportons l'origine au point 0 [fig, 244) > ^^ ^^ prolongement 4c Taxe des x rencontre la trace Kl, et nommons x' Tabscisse OP ; on aura x=.x' — AO. Pour déterminer AO, je fais z=zo dans Téquation Aj:* H- Cz -h D = o du plan KL , et

je* trouve pour l'abscisse du point O, j: = — -•

La valeur absolue de AO sera donc - :-et en mettant x' — -

à la place de x , dans Téquation [h) de Tintersection du cône

par le plan , cette équation devien4rA

Or, si nous menons, par le picé Q désordonnée z = Mj une .parallèle f^N à la cooEdonnée a' = OP, noua

«» /, Aj:

SECTIONS DU CÔNE PaB LA CÉOMISTRIE A TROIS DIMENSIONS. 5og

NQ = OPi le triangle rectangle MNQ donnera

MN cos MNQ = NQ = x'.

L'angle MNQ qui mesure Tinclinaison des deux plans étant constant , représentons-le «par ^ , et nommons MN, x^ nous aurons

X CÇS y rz: a' ;

et y en mettant cette valeur de x' dans Péquation [c] , nous obtiendrons

— cos<p) == (xcosç— -j -î-j' [d)

Les coordonnées du point M deviendront PQ = ON = jr, et NM = 07, et par conséquent elles seront comprises dans le plan KL.

Rassemblant entre deux parenthèses les termes multiplies ' par les mêmes puissances de j? , et représentant par M la totalité des termes constants , on obtiendra

/ «'AA , . , /D û'A\

Celte équation peut se simplifier; car, ^ représentant Tangle que le plan dont Téquation est Ax -|- Cz -I- D = o fait avec le plan des a;, 7, si dans la première formule de Tart. ^8, on fait

B = o , on trouvera

cos®= , ■• ?

et tangç =^ = 1/ ^ = --

^^ cos<p V cos> e

D'une autre part , en nomiïîant \[i l'angle ZVA que le côté du cône fait avec le plan des .r , /, on a

tang ZVA __ ZA __ ^ I ~" VA ~~ rt*