NOT^ VINGT EJB UNIEME

- et , en substituant en même' temps x' -f- aàj?et^'-f- p h jr, ce Goeflficient deviendrait ' , '

aAp-f-Ba-f-D:

donc les deux opérations^ne donneraient la même valeur de p , que lorsqu'on aurait *•

B=fO. ' ,

Les valeurs de a et de ^ déterminées, pour faire évanouir

le terme afïecfé dc>la première puissance de jr et le terme

constant ^ étant substituées dans l'équation (a) , là réduisent à

la forme ' • ' ,

A j * -h Gr ' -4- Gx = o.

équation qui peut se mettre sous celle-ci :

, O' Gj?

et, en faisant r

les courbe» des deux premiers genres dont Porigine (art. 48Sr) est sur la courbe (art. 4Ô2) à Textrémité de -Tun des axes principaux 9 seront renfermées dans l'équation

NOTE VINGT ET UNIÈME. (Page 317.)

Des cas particuliers ou Véquation générale des courbes du second ordre n'a aucune signification.

Nous avons fait la démonstration de l'art. 495 , sans supposer qu'aucune des expressions P, Q, R ne soit nulle. Examinons ce qu'il arrive lorsqu'il en est autrement.

CAS OU L^ÉQÛAT. GÉNÉRALE EST SANS SIGNIFICATION. Sll

Supposons d'abord P = o : la partie radrcâle v^Q2>+ R de réquation (3g6) ne peut être toujours imaginaire ;*cary eu donpant une valeuf a^: du même signe que celui.de Q, et telle que le ierme de Qx surpasse l'autre, Texpression Qx 4- R sera nécessairement positive; pa» conséquent, la valeur^ie x ^e restera pas imaginaire dans tous les cas.

Si Q et P sont nuls , on tombe dans le cas des art. 487 et 489.

Si Q seul est nul , et que P et R soient négatifn-, l'expression ra-

dicale prendra cette forme y — Pj?^ ~ R , et deviendra ima-

^nafre pour toute valeur de jc. Il n'en serait pas de même si , dans ce'derpier cas, P et R étaient de signes contraires^ cai', suivant; que R serait positif ou négatif, on pourrait, en donnant une valeur convenable à x , rendre Px' assez petit ou assez grand pour que l'expression ^uî est sous le radical fût positive. *

Si R et' Q sonpt nuls et que P soit négatif, l'équation ne pourra (^onstruij^e qu'un point don^ les coordonnées seront

a? = o , j^ =: — — - ; si la partie radicale se réduit à \Qx, elle

sera réelle lorsqu'on donnera à x des valeurs du même signé que celui de Q ; enfin R peut être le seul terme nul : dans ce cas ,

en écrivant la partie radicale de cette manière , ^x ÇPx -h Q), et en 4cHinant à x une valeur de même signe que Q, le produit de Q par x sera positif; et si le produit de "Px par x est négatif, on pourra toujours prendre x assez petit pour que ce dernier produit soit au-dessous de Tautre , et qu'on obtienne une valeur réelle p«ur la partie radicale. '

On voit que ces conditions sont les mêmes qufi celles qui ont lieu .lorsque aucun des coefficients n'est supposé nul.

522 , WOTK VINGt-DEUXIKME. '

- NOTE VINGT-DEUXIÈME. (Page 3i4. )' ' * " •

Déhiànstration de la quadrature de la pà/nbolepar la géométrie

analytique* ^

Je suppose qu'on a^t circonscrït à la.paf;^ole un polygone irrégulier, mais don^ les côtés soient partagés chacun en deux , . parties égales aux points de tangeiïte; ce qu'il est toujours possible d'exécuter en opérant de ht manière suivante. * l:ie..347. Par un point T (Jïg,4t^'],) de Taxe des abscisses', on^mè^ n^ra à la courbe pne tangent^ TM'^, qu'on prolongera jusqu'en S , eh prenant M"S = TM^ ; par le point S oh mènera à la coutbe une seconde tangente SM', qu'on prolongera jusqu'en R, en prenant' M' R =r SM', et ainsi de suite.

Cela posé, formons* le rebtangle ABQP', menons epsuiteles parallèles QL , GN à l'axe des abscisses , et faisons

AP = a, Pmt=:p, Arrrra", FC^rrB',. AP"=;=a", P'R=p";,

si nous prolongeons le côté QR jusqu'en T','MT' <sera une tangente ii la courbe; et, d'après la valeur de la sous- tangente •(art. 328) (page 197), on aura AT'= AK = a; par conséquent, la tangente "MT' étant considérée comme une droitequi passe par le point M qui a pour coordonnées a , Ç , et par le point T' qui a pour coordonnées — a, o , l'équatiou de MT' sera (art. 21^2)

les points R et Q étant sur cette droite , on aura

OU MP.PP' = 2ÀP.QN, MP.PP" = 2ÀP.MK;

QUADRATUKe ifË LA PARABOLE. 5^3

ajoutant ces équations , on obtiept .

• /. INtP ( FP'-^ PP" ).r=2 24P (QN -4t MKf ) , \ • ' ou^ ' : .kP.FP"W2AP.QL'; -^

ou , ce qui revient au même , -

' ^ rtctcfngle NP". = 'irectan^les BK." («)

Or, le. côté RQ étan|.partagé en deu^ parties égàle'sau ^int]^, îes' triangles rectangles GMR, QMN sont égaux; donc, si du rectaEfgle NP'' entctranche Kpremierde ces triangles, et qu'on y ajpute l'autre , *on aura %

* . rectan^lel^"ç=:.Jrapèze'^"V'^Çl, ',.\ . . .. (ij

de même les «triangles. RMKr, QMI ^l^nt égaux, si Ton re-

tranôhe RM]^ du rectangle BK, et qu'on y ajoute QJVil, on

aura -' " * .

rectanglelS^ -=. trapèze "SiVi^Ç^^ (c)

ap moyen 4es équations {h) et (g) , Téquation [a) devient

tra'pèze P"P'RQ ^ 2 fmjyè^e^BDRQ ;

donc le côté RQ du polygone partage la figure BDRP^P'Q gi deux parties qui sont^dans le rapport de 2 à i . Cette démonstration pouvant é' applique/ à tous les côtés du polygone, il en résulte que le contour polygonal Ï'SRQ partage la surface ABPQ' dans le rpême rapport.

Cette propriété, étant indépendante du nombre de côtés du polygone , appartient aussi à la parabole , qui est la limiter du contour polygonal ; par conséquent , Tare de parabole AMZ partage le rectangle AVZP' en deux parties, qui sont entre elles dans le rapport de 2 à i ; on a donc

surface AMZP' = 2 surfaces AMZV, " ' surface A)iZV = | rectangle AV^P' ;

et , par conséquent , ^/

surface AM:5P' = | rectangle AVZP' = f AP' X P'Z.

NOTE VINOT-TROISIÈME. (Pagç370.) •

Secorkle ^manière de trouver les cosinus 4es angles qu'une droite qui passe par Toriginc fait avec les trois axes . rectangulaires.

Fig .048. . Soient ^, J^, • {^g* 248) les coordonnée» AF, PQ, QM d'un point M de la droitt AM, et x=:azy yz=zbz les équations de cette droite. Si par le point M on mène 'en i une^roifee MP, cette droke se trouvant dans le plan MQP formé par le z et fe j^ du |)oiBt A^ sera dans .un piatti perpendiculaire à Taxe des x , dont l'ande APJI(*ser^ droit; et nommant a l'angle A^At^^ on aura par conséquent cet^ proportion « * *