X :=Z X COSp y SltVpf
j =: a?' sin /? + y' cosp,
étant mise$ dans l'équation (355), on obtiendrait une nouvelle équation; donc le coefficient de x'j' aurait la même valeur que si les termes Ex et D/ manguaient dans l'équation (355) ; d'où il résulte qu'en égalant ce coefficient à zéro,^ on aurait, pour déterminer tangy?, l'équation que nous avons désignée par (379) .(art. 469), et l'on conclurait , comme dans cet article, qu'il est toujours possible d'assigner une valeur de tang/> convenable pour que le terme en x^j^ s'évanouisse.
L'équation des courbes du second ordre des deux premiers genres peut donc être représentée par
L'axe AX' {fig* ,^46), auquel cette nouvelle équation se rapporte , rencontrera l'axe primitif à* l'ori^ne A , et formera avec cet axe un angle X^AX qui sera déterminé par la condition que l'équation (a) soit dépourvue du terme en xjr.
Or^ par cette condition, l'équation (a) nous donne, pour la
OBSERVATIONS SUR LES COURBES A CENTRE. 5l']
valeur de j,
;y^ = — ^ ±: -î- v^— 4AGr^ — 4AEa:-|-D^ — 4AF ;
en laissant seule dans le second membre la partie radicale ,
que nous représenterons par yX, cette dernière équation deviendra
faisant
nmis aurons
r' = =tv^. . W
ik'équation [c] exprimant la relatioo^ qui existe pour une
même valeur de or, entre les oriionqées y et y' des équa-
tiojtts (b) et (</), on voit qu'en ajoutant — à^, on a. la
valeur de /'.
Si Ton suppose' donc que la courbe 'ait été construite sur l'axe AX' au moyen de Féquation {b)y la courbe aurait* pu être construite dans la hiêm'e place au moyen de Téquation. plus simple (c/) y en prenant un îixè A'X" parallèle à'AX', et.
qui en serait distant d'une quantité — représentée par , AA' ;
car deux ordonnées quelconques, telles que Ï*M etP'M', qui
correspondent aux abscisses égales APetA'P', diffèrent tou-
D jours d'une quantité PP' = ÂA' == — .
L'ordonnée j' que nous donne i'équation ( ^ ) , ayant toujours deux valeurs qui sont les mêmes au signe près , Taxe A'X'^ des abscisses partage en deux parties égales toutes les cordes qui lui sont perpendiculaires > et coïncide par consé-
5l8 SfOTK VIlioTliME.
quent avec Ihin des axes principaux ; donc l'évanouissement du tenue en xy^ qui fait prendre à l'axe AX la direction AX', la rend parallèle à A'X'^, et par conséquent à Pun des /ixes principaux.
On peut faire ensuite évanSir lé terme Dr^ en substituant dans réquation (a) la valeur ^' -I- P à j, et Ton obtiendra réquation
Aj''-f.Ca:»-f- 2Ap j'^Er-4- Ap' = o {e)
-f-D -hDp
Le coefficient de y\ égalé à zéro, détermine la valeur ^ dont Taxe des abscbses doit être reculé parallèlenjiAit à lui-même , pour que l'équation donne toujours deux valeurs égales pour j^; ce qui ne p^ut être que lorsque le nouvel axe se poafond avec Tnnude^ âxes-piMic^)au>& : aussi la valeur absolue de ^ se
* trouve-t-elle précisément égale à la différence — dont nous
avions vu » ci-devant , q^ie cet axe Cy X'' était /distant de OX^ £n substituant la valeur de ^ dans l'équation (<?), dont nous représenterons . le dernier ternji^ ^^^ /•> cette équation devient * «
Ay -+- O* -f- Ex-h/= o, (/)
et se rapporte à Vaxe A'X'' qui est dirigé suivant l'Un des axes principaux. •
On peut changer sur cet axe la place de l'origine, en sob* stituant à f dans l'éciuation (/ ) la valetir \r -H a,- et en déterminait a à voUnté; 'ak)rs Téquation (/* ) deviendra
A^" H-CjtV + aCa*
-hEff.
Si l'on dispose de x , en supposant aCa -f- E = o , réquation ne renfermera plus x' qu'au second degré ; et nous avons
OBSniVATIONS SUR LES GOUE|IES ▲ CENTRE. Sig
VU que, dans ce cas, l'origine étdit transportée au centre O. • Mais si c^est fé terme constant qu'on égale à zéro , l'origine sera transportée à Tufa des points où la courbe rencontre l'axe (art. 460) , efl'on aura . '
Ca'-hEa4-/= o; d'où Ton tirera i
2C V 4C' C «C aC^ ^ •'.'
valeur touJQurs possible , ainsi que celle de ^ , parce qu'elles * . ne peuvent llevenir ni égales à zéro ^ m infinies , ni imaginaires : les deux premiers cas ne peuvent arriver, car il faudrait qiie quelques-uns des cq^fiBicients^ E , G et A pussent devenir Aujs ; . or c'est ce qui est impossible. En effet , les coefficients /«t E ne peuvent être supposés nuls, dès qu'il s'agit de les fatre évanouir. A l'égard des coefficients A et G , leur existence est nécessitée par l'hypothèse que l'équation (255) se rapporte aux cotirbes des deux premiers genre§ , hypothèse qui ne pourrait subsister, si seulement l'un de ces coefficients était nul; car l'équation étant dépourvue du terme en xf^ la conditibn B * — 4-^.0 == o des courbes du troisième genre serait remplie. D'une autre part, il est impossible que a devienne imagi-
E* f ' naire, parce que (art. 460) l'expression j— — 7: est tou-
jours positive , lorsque l'axe coupe la courbe.
Nous remarquerons qu'il était indifférent ici , pour déterminer les valeurs de ot et de ^, que les substitutions des > valeurs de o: et de j fussent faites simultanément ou l'une après l'autre , mais qu'il n'en serait pas de içême si le terme en xr existait dans l'équation (a); car, en substituant d'abord à f la valeur j' -f- P , le coefficient de 7', qu'on doit égaler à zéro ' pour déterminer p , serait
' 2Ap 4-D;
