AE = BF, CE = DF
Nommons AE, x' \ CE, y'\ AB, j/';
la tigne AD étant assujettie à passer par les points A et D, on déterminera son équation au moyen des coordonnées de ces
PAOBLÈMSS DE GEOM. EléSOLUS PAR l'aNAL. INDiTERHINEE. 187
points 9 de la manière suivante : -
Four le point A, l'abscisse. = 0, Tordonnée =0;
Pour le point D, l'absdsse = x" -f- j/, l'ordonnée =/'. Mettant ces valeurs dans l'équation
de la droite assujettie à passer par deux points (art. 222) , et considérant que les coordonnées a, ^ peuvent représenter celles du point A ou celles du point D ( art. 225 ) , je puis adopter arbitrairement l'une de ces hypothèses :
Adoptant la première , et faisant donc les substitutions qu'elle exige , la formule (142) se réduit à
Y — O = —ji^ j ix — o),
ou à X -= n ■ . X,. . , , (43), équation
de la ligne droite AD.
On trouvera de même l'équation de la ligne GB, au moyen des coordonnées des points G et B.
Pour le point G, l'abscisse = j/, l'ordonnée = r'; Pour le point B, l'abscisse = x^\ l'ordonnée = o.
Adoptant l'hypothèse où a et p représentent les coordonnées x*^ et o du point B , et où par conséquent (/ et p^ sont nécessairement celles du point G; substituant ces valeurs dans lia
l38 THioaiB DES COUABW 1>U SlGOlfD OBOU.
formule (142), je trouve
y = , ^ ,,{x — x''), équation de la droite GB.
844. Pour avoir les coordonnées AH et HG du point de rencontre des droites AD et CB, je regarde donc (art. 240) xely comme étant les mêmes dans leurs équations; et, égalant les valeurs de jy^ je trouve
supprimant le ficteur commun 7^
ifC 9X0 ^"^ «v
x" -^ x' ■" x' -^ *" '' faisant évanouir les dénominaleurs ^
x{a/ — x") = {x ^ x*") {x" 4- Jf');
développant y réduisant , et divisant ensuite le tout par x'\ on obtîeiit
telle sera la valeur de l'abscisse AH du point G d'intersection des deux diagonales {fig*^1 ) ; en la substituant dans l'équation (i43) de AD, nous trouverons
Or les triangles semblables ADF, AGH d'une part, et les triangles semblables BG£ , BGH de Tautre , nous donnent
AD : AG :: df : gh :: / : |/ :'- » ^ t» BC : BG :: ce : GH :: / : \y :: i : i;
donc AG = i^ AD , BG œ | BC.
P&OBLiMUDB GSQM. ftisOLUS P4& L^ANâL. INDSTEftMlNK£. iSig
P&OBLÈMB n.
24tf. Connaissant l'équation y:=:ax -^b d'une droite CD ^ et les coordonnées aet p d'un point M [fig* 80) pris hors de Fig.80. cette droite, trouver l'expression de la longueur de la perpen-' diculaire menée du point a. ^ p sur la droite donnée.
Si l'on sayait quelles sont les coordonnées ^ et j^ du point G de rencontre, la valeur de CM serait déterminée (art. 2SIS) |>ar réquation
CM = s/(« — olY -^ (r — PY'
Or, les coordonnées du point C de rencontre se trouvent (art. 240) éh éliminant successivement a; et / entre l'équation donnée y =1 ax ^ b de la droite CD , et l'équation de la perpendiculaire CM , que nous allons chercher.
Pour cet effet , a étant la tangente trigonométrique de l'angle que CD fait avec l'axe des abscisses , il en résulte (art. 5t5I)
que ' est la tangente trigonométrique de Tangle que la perpendiculaire CM fait avec le même axe ; et comme cette per- * pendiculaire passe par le point M, dont les coordonnées a et ^ sont données, l'équalîon de la droite Gtf (fig^ 80) sera Fig.80.
On obtiendra donc l'abscisse AL du point C d'intersection des droites CD et CM , en égalant les valenrs de y tirées de leurs équations , et l'on aura
«jp -h ^ = P Ix — a).
Fraisant évanouir le dénennoateur a , et passer les x dans lé
l4o THÉ011I£ DES COURBES OV SECOND O&D&B.
même membre, il viendra
(a* -H i) X =: a, — ab -i- fl^,
et par conséquent
a — ab -i- aQ X = L.
fl* -H I
Retranchant a des deux membres, réduisant ensuite le second au même dénominateur, et supprimant les termes qui se détruisent , oq trouve
â 6 — a' a — ab a (B — a a — b)
<I* -h I fl* -h I
expression qui , étant substituée dans l'équation de la perpendiculaire 9 nous fait obtenir
(ô — aa — ô)
Mettant ces valeurs de x — a et dç ^ — ^ dans Texpressionde CM , et observant, à l'égard de celle de / — p, que le signe négatif qui TafTecte deviçnt positif dans son carré , on obtient enfin -
et en observant que ( p — a a — è)* est facteur commun,
tirani la racine carrée des deux facteurs du numérateur et celle du dénominateur, on a
CM = V^^'-H^X(P-g«-^)P-ga-^^ .
expression de la longueur de la perpendiculaire abaissée du point a, p sur la droite dont V équation est y = ax-\- b.
PROBLÈMES DE GÉOM. RÉSOLUS PAR l'aNAL. INDÉTERMINÉE. l4l
PROBLiME III.
946. Déterminer l'aire d'an triangle ABC (fig> 88) au moyen Fig. 88. des coordonnées des sommets des angles de ce triangle.
Plaçons le sommet A à l'origme dont les coordonnées sont o, Oy et nommons x\y'\e& coordonnées du point B, et x^^y" les coordonnées du point G.
L'équation du côté BG, d'après la formule (187} (art. S22)
est
y -y' = -zr, — p{^ -*')>
transposant j' dans le second membre,
réduisant ce second membre au même dénominateur, et supprimant les termes qui se détruisent , il vient (*)
^y» ^ yf yf X" --y" X'
Nous mettons l'équation du côté BG sous cette forme, pour qu'on puisse la comparer à l'équation générale y = ax -i- by qui détermine les constantes a et ^ de l'expression de la perpendiculaire (art. 24â) ; cette équation se réduit à
parce que le point a , ^ , d'où cette perpendiculaire AD est abaissée , est pris sur l'origine.
{*) On parviendrait plus promptement à ce résultat au moyen de la formule (i36) (art. 221 ), en y remplaçant a, j3 et a', js' par les coordonnées x', y y et x", jr" des points B et G.
l42 THitoalE DES GOU&IBS DU SECOND OEDEE.
Faisant donc
— 6 ar'^— «
Texpression -7;=;== devient
La partie radicale qui divise , peut se mettre sous cette forme
Substituant cette valeur de la partie radicale dans l'expression de la longueur de la perpendiculaire , et supprimant le diviseur commun x^^ — x' dané les deux termes de la fraction qui la compose y on a enfin
AP = -, ^ * ^ '^ . (i44)
Et en observant que la distance des points C et B dont les coordonnées sont «", y", et x',y', est exprimée (art. 25U)
nou« pourrons donc mettre BG à la place de cette quantité radicale dans l'expression (i44) ^6 1^ perpendiculaire, qui deviendra
BC
BC Cette expression^ étant multipliée par — , donne enfin
: — = aire triangle ABC.
>&OBLiMSS DB GSOli . BlisOLVS PAK L* ANAl . INBlÊTERMINlÊE . 1 43
Problème IV.
S47. L'équation d'une droite assujettie à passer par un point 'ilL {ûg. 89) étant donnée, trouver les coordonnées d'un Fig.89. point x^y^pris sur cette droite, en fonction de la distance MN des points a^^etx^ y
Ayant uni œs deux points par une droite, représentons par A la tangente trigonométrique qu'elle forme avjec l'axe des abscisses : cette droite, passant par le point a , p^ aura donc pour équation (art. 980)
Nommons z la distance MN des points a , p et x, y; cette distance sera donnée (art. SSIS ) par l'équation
Au moyen des équations (i 45) et (146) qui contiennent les mêmes coordonnées, on pourra donc éliminer successivement X et jr. Pour cet effet, l'équation (i45) , étant élevée au carré, donnera
(r - py = A^ {x ^ ay. ^
Substituant cette valeur dans l'équation ( 1 46 ) , cdle-ci deviendra
«» = (j? — olY h- a* (a: — a)% ou, à cause que (x — a)' est un Cacteur commun,
«» = (x — ay (i 4- A^)^
d'où l'on tire [x — a)* =
