DES CRISTALLOÏDES EN GÉNÉRAL

CONSTRUCTION D'UN CRISTALLOÏDE.

1. Étant donnés une ligne brisée ABC (voir Pl. IV, fig. i) et un point 0 dans le même plan, de ce point j'abaisse les deux perpendiculaires OD, OE, et je mène la droite OB.

Je supposerai que OD et OE se placent de part et d'autre de OB.

Soit une courbe plane quelconque DQ dans le plan DOR, et concevons-la rapportée à la ligne OR perpendi-culaire au plan ABC, comme axe des y.

Rabattons le plan DOR sur le plan EOR, et faisons va-rier, dans l'équation de la courbe considérée, x dans le

OE rapport il en résultera que le point E appartiendra à la nouvelle courbe.

Sur la courbe DQ comme directrice, construisons un cylindre par le mouvement d'une droite parallèle à AB, et de même sur la nouvelle courbe en E avec une généra-trice BC.

Cherchons quelle sera l'intersection de ces deux sur-faces cylindriques.

Soit Q un point de la première courbe devenu P sur la seconde : menons les génératrices horizontales QL et PL; on voit facilement, en construisant la pyramide qua-drangulaire ayant son sommet en R, et à cause de la proportionnalité, que l'intersection L des deux généra-trices se fera sur la droite RB, c'est-à-dire dans le plan ROB. Donc la courbe d'intersection des deux cylindres est comprise dans le plan de la verticale RO et de la diago-nale OB. En envisageant les solides situés des deux côtés de ce plan, nous leur donnerons le nom d'onglets, et nous remarquons encore une fois que l'assemblage des deux onglets se fait génératrice à génératrice dans le plan diagonal BOR.

Si à notre ligne brisée on adjoignait une nouvelle sécante AF, sur le triangle DOA comme base, on pourrait construire pareillement un nouvel onglet cristalloïde, et ainsi de suite jusqu'à ce que le polygone fût fermé, si on le jugeait nécessaire.

2. Étudions actuellement le volume de l'onglet ainsi construit.

La section droite de cet onglet est un triangle rec-tangle ; le volume élémentaire, en appelant x l'angle DOB

x x' et - la tangente, sera - dy, et le volume cherché sera V = ~

Or, si l'équation de la courbe donne une valeur de x2 ne renfermant que des puissances entières ou fraction-naires de y, nous obtiendrons pour le volume ci-dessus une expression purement algébrique (sauf la valeur de e, bien entendu).

C'est ce qui aura lieu pour l'équation Mais le prisme triangulaire correspondant à la base DOB et à la hauteur OK = y a pour expression et en remplaçant x2 par sa valeur en y ou L, on aura

V' Le rapport des volumes 7 est donc f (L) est une expression purement algébrique.

On pourra mettre le volume de l'onglet sous cette forme : la base (DOB) multipliée par une fonction de la hauteur.

Si au lieu d'avoir une intégrale algébrique, on obtenait une expression transcendante, la fonction précitée de-viendrait évidemment transcendante.

Un cristalloïde étant formé par l'assemblage de plu-sieurs onglets de même formule (-te), on pourra exprimer

OE (*) Car la fraction de passage U-D du n° i disparait comme entrant au carré dans V et dans V. le volume du cristalloïde de la même manière : V = B multiplié par une fonction ou coefficient de la hauteur.

3. Si l'on avait à envisager une portion de droite DE (Pl. IV, fig. 2) telle, que la perpendiculaire abaissée du point 0 ne tombât point entre les points D et E, mais en F sur le prolongement, on traiterait l'onglet à base ODE comme différence entre les onglets à bases res-pectives OFE et OFD. Ceci ne souffre pas de difficulté.

De même, si le point 0 était placé en dehors du péri-mètre polygonal pris pour base, on suivrait une marche analogue.

La loi du volume par rapport à la base, pour le cris-talloïde, a la plus grande analogie avec les propriétés de la pyramide, laquelle n'est d'ailleurs qu'un cas parti-culier.

Toute base courbe sera envisagée comme un polygone d'une infinité de côtés donnant lieu chacun à un onglet correspondant.

4. Nous donnerons aux cristalloïdes dont les onglets sont concaves vers l'axe le nom de domoïdes, et à ceux dont l'onglet est convexe celui de trémoïdes. En accolant comme préfixe les deux premières syl-labes du nom de la courbe directrice, on a des désigna-tions suffisantes pour le second degré.

Les cristalloïdes peuvent avoir une base quelconque ou une base polygonale régulière, et ils seront dits régu-liers quand l'axe sera placé sur le centre du polygone régulier servant de base.

Remarquons ici que le conoïde ne rentre pas dans notre classification; on trouvera plus loin une Note qui traite du volume des conoïdes par une marche sommaire. Il est temps de passer à l'examen plus particulier des cristalloïdes fournis par les trois courbes du second degré.

Nous appelons élémentaires les cristalloïdes dont le coefficient est purement algébrique, ce qui a lieu fré-quemment, on l'a vu, malgré la courbure de ces corps ronds. Nous laisserons de côté, quant à présent, les cris-talloïdes transcendants. D'ailleurs il suffira d'établir la formule de l'onglet seul dans chaque cas, ainsi qu'on le comprendra d'après ce qui a été dit plus haut de la for-mation des cristalloïdes par voie d'assemblage. Il serait possible de traiter par une seule formule géné-rale, avec une discussion appropriée, les onglets résul-tant du second degré (*); mais, pour plus de clarté, nous allons nous borner à traiter les différents cas isolément. (*) Il nous semble que la marche des démonstrations d'Archimède, dans ses Traités de la sphère, des sphéroïdes et des conoïdes, pourra êp»^ppliqlrtftà plusieurs de ces onglets, avec certaines modifications. /...\ .1:. ]< //A