CHAPITRE II

ELLIDOMOÏDES, HYPERDOMOÏDES

ET HYPERTRÉMOÏDES (*).

5. Une demi-ellipse OAC (Pl. IV, fig. 3) est prise pour base d'un cylindre droit que l'on coupe par le plan OBC passant par l'un des axes principaux Ox de l'ellipse et faisant avec le plan de la base un angle quelconque «. Nous nous proposons d'évaluer le volume de l'onglet compris entre les deux plans et la surface latérale du cylindre.

Soit l'origine placée au sommet, l'équation de l'ellipse est

La section mnp, faite par un plan perpendiculaire à l'axe Ox, est un triangle rectangle en n; donc

mn = np tang 0: ; or np = y, et soit tangoc = ~ mn = ^i et l'aire de la section a pour expression (*) Nous n'aurons à envisager ici aucun ellitrémoïde, pour des raisons qui seront exposées à la fin du Chapitre.

En désignant par V le volume de l'onglet pour une limite L, on a

Or le volume V' du prisme triangulaire correspondant à la limite L est

Quand L est très-petit et tend vers zéro, ce rapport s'ap--

g proche de — ou Quand L grandit jusqu'à être égal à a, ce qui correspond au demi-volume de l'onglet com-plet et à la moitié du prisme triangulaire CEFOGH cir-conscrit à l'onglet, le rapport des volumes devient On voit que pour l'onglet complet on aurait de même Pour L = a, l'expression de V devient On arriverait à une formule analogue en prenant l'on-glet par rapport au petit axe b; pour L = b, Tout cristalloïde formé par l'assemblage d'onglets de cette nature portera le nom ellidomoïde.

Dans chacun de ces onglets, pour une hauteur égale à l'axe a de l'ellipse, le volume est égal a la base triangu-laire multipliée par les | de la hauteur; il en sera de même pour le cristalloïde résultant de leur assemblage.

Si la base est un cercle et que la hauteur soit égale au double rayon, on aura C'est la sphère.

Il faut donc considérer la sphère comme la limite des ellidomoïdes réguliers ayant l'apothème égal à la hau-teur R; 7r n'entre dans le calcul qu'en raison de l'expres-sion de la base et au dernier moment.

Tous les cristalloïdes intermédiaires, à partir du trié-drique, en sont affranchis (voir Pl. /, série équiaxe).

L'ellidomoïde triédrique régulier de la hauteur 2a a pour volume

L'ellidomoïde tétraédrique régulier, forme curieuse comme intermédiaire entre le cube et la sphère (quand il est équiaxe), a pour volume

Le pentaédrique régulier est (le côté du pentagone 6. Étudions actuellement l'onglet pris sur un cylindre droit à base d'hyperbole.

Soit donc OB (Pl. IV, fig. 4) une branche d'hyperbole dont Ox est l'axe principal; soit le plan sécant mené par Ox.

^ sera, comme précédemment, l'aire du triangle, et l'hyperbole étant rapportée à son sommet, on a Le volume élémentaire est donc Le volume total de x = o jusqu'à une valeur de x == L est Le prisme correspondant au triangle, dont l'aire est

Le rapport varie à mesure que L grandit à partir de zéro, depuis ^ jusqu'à une valeur qui ne saurait dépas-ser

Quand

Pour L == a, l'expression de V devient (C'est le double de l'onglet ellidomoïdal correspondant à L = a.) Pour l'hyperbole équilatère, En assemblant des onglets de cette nature, on obtient des hyperdomoïdes ouverts dans le sens des x. Bornons-nous à faire remarquer ici que la pyramide appartient à cette classe d'hyperdomoïdes pour le cas où l'hyperbole est réduite à deux droites.

7. Si on prend l'onglet sur le cylindre à base hyper-bolique du côté de l'axe des y (Pl. IV, fig. 5), qui de-vient intersection du plan oblique de l'onglet, on a x2 = ^(j2 + b2) pour équation de la courbe, rapportée cette fois à son centre.

Le prisme correspondant a pour expression Pour L variant de o à rf:) , ce rapport varie de i à pour différentes valeurs de L, ce rapport prend les valeurs suivantes :

Pour L = b, l'expression devient (C'est le double de l'onglet ellidomoïdal correspondant à L = b. )

Pour l'hyperbole équilatère, on a En assemblant des onglets de cette nature, on obtient des hypertrémoïdes portant une troncature à la partie supérieure et s'ouvrant de plus en plus dans le sens des y.

Les trois cas étudiés dans ce Chapitre sont les seuls cristalloïdes à coefficient algébrique fournis par les deux premières courbes du second degré (*). Les onglets ob-tenus dans d'autres positions de ces courbes se sont montrés transcendants. Il n'en est pas de même des on-glets résultant du cylindre à base parabolique dont il va être question ci-après.

(*) On a dû remarquer que la formule du cristalloïde peut être plus simple que celle de l'aire de la courbe directrice. C'est ainsi que la fonc-tion circulaire et l'expression logarithmique disparaissent respectivement pour les cristalloïdes dérivés de l'ellipse et de l'hyperbole, classés dans ce Chapitre; et ceci tient à ce que le radical existant dans l'expression de la variable disparaît lorsque celle-ci est portée au carré pour entrer dans le volume de l'onglet.