CHAPITRE III

PARADOMOÏDES ET PARATRÉMOÏDES.

8. Nous nous proposons actuellement de prendre la parabole pour directrice des surfaces du cristalloïde. La parabole possédant une aire à expression purement algébrique, il en est de même, quant au volume, pour tout cylindre ayant une aire parabolique pour base; on peut donc espérer, à priori, que l'onglet pris sur un tel cylindre offrira plus fréquemment que dans le cas des cylindres à base elliptique ou hyperbolique une formule également tout algébrique, donnant lieu pour le cristal-loïde correspondant à un coefficient élémentaire. C'est ce que nous allons examiner.

Envisageons la parabole rapportée à son sommet y2 = ex, supposée placée dans un plan horizontal (Pl. IV, fig. 4), nous élevons sur la branche supérieure de cette courbe, comme directrice, un cylindre droit, et nous coupons ledit cylindre par un plan oblique quel-conque, passant par l'axe des x, de façon à déterminer un onglet dont la surface courbe est concave vers cet axe. L'assemblage de plusieurs onglets de même ordre con-stitue, en raison de leur concavité tournée vers l'inté-rieur, un paradomoïde. Soit, comme précédemment, le volume élémentaire est ou, en remplaçant y2, le volume d'onglet est Or le volume du prisme triangulaire correspondant est

On voit donc que le rapport V7 2 Ce rapport est constant, quelle que soit l'étendue prise sur l'axe des x, ou la hauteur du paradomoïde construit avec de tels onglets.

9. Soit encore la parabole tracée dans un plan hori-zontal Sur la branche située vers les y négatifs (Pl. IV, fig. 6), j'élève un cylindre droit et je le coupe par un plan oblique passant par l'axe des y.

Le volume élémentaire étant le volume total est Le volume prismatique correspondant est

Le rapport ^7 = g--

Ce rapport est constant, comme dans le cas précédent.

La surface courbe de l'onglet étant convexe vers l'axe dudit onglet, le cristalloïde résultant sera un paratré-moïde. Dans ce paratrémoïde, les directrices, ainsi que les arêtes, sont tangentes à l'axe du cristalloïde.

10. Si, au lieu de prendre pour intersection du plan oblique la tangente Oyau sommet de la parabole (Pl. IV, fig. 6), nous prenons une parallèle quelconque O'y' à cette tangente, l'équation de la parabole rapportée à ce nouvel axe des y sera, en remplaçant x par x — m pour 00' = m, Le volume élémentaire étant le volume pour la limite L sera Or le prisme à base triangulaire correspondant a pour

Ce rapport varie depuis i pour L == o jusqu'à ^ pour L = oo .

Nous avons dans le cas actuol un paratrémoïde avec troncature à la partie supérieure; quand m = o, on rentre dans le cas précédent.

11. Si au contraire la trace 0"y" (Pl. IV, fig. 6) était placée vers les x positifs, coupant ainsi la parabole, on remplacerait x du n° 9 par x + m.

On aurait donc et la formule vient comme au n° 10, mais m chànge de signe :

Or, par l'équation précitée, on voit que la courbe est coupée par l'axe O'y, à des distances égales à + vern. Les valeurs de V, résultant de valeurs de L comprises entre o et ±\Jcm, répondent à l'onglet construit sur l'aire retranchée de la parabole vers son sommet. La partie de la courbe qui limite cette aire est concave vers l'axe des y; l'onglet sera donc un onglet de paradomoïde. Dans ce cas, les directrices des faces et les faces elles-mêmes sont tangentes aux faces verticales du prisme

— 21) — circonscrit, et le sommet offre une forme ogivale, diffé-rant en cela des autres paradomoïdes déjà envisagés. Le prisme triangulaire tangent (à base constante) à l'onglet paradomoïdal en question a pour valeur

Entre L == o et L ~ le rapport varie depuis i jusqu'à ce dernier chiffre est donc le coefficient du cristalloïde complet ayant pour hauteur ±1 \jcm et pour

12. Pour les valeurs de y supérieures à celle qui vient d'être énoncée, la courbe offre sa convexité vers l'axe; il s'agira donc d'un onglet de paratrémoïde. C'est ce que j'appelle le corrélatif du précédent onglet. On retranchera

Pour des valeurs de L croissantes, le rapport s'appro-chera de plus en plus de la fraction ^ ou ^ trouvée au n°9.

13. Envisageons enfin une position encore différente de la parabole directrice, laquelle donnera lieu à un nouveau paratrémoïde et à un paradomoïde correspon-dant, ainsi qu'on va le voir.

Prenons pour trace de notre onglet la droite 0' x' (PL IV,fig. 7), parallèle à l'axe des x, et transportons l'origine en 0'; nous aurons Le volume élémentaire de l'onglet étant 2 e dx, nous aurons

Remarquons ici que dans l'onglet paratrémoïdal con-sidéré, la directrice et la surface sont tangentes à la base commune (*).

14. Quant à l'onglet donné par la branche paraboli-que au delà de la valeur ~ du cas précédent, la courbe offrant sa concavité vers l'axe trace 0 'y', il s'agira d'un paradomoïde; c'est le corrélatif de l'onglet précédent. Il faudra retrancher la constante et le rapport ob* tenu, à mesure que L augmente, ira s'approchant de plus en plus de la valeur trouvée au n° 8.

(*) On peut passer du paradomoïde - au cas actuel, par une simple construction géométrique qu'il est inutile de reproduire ici.