HP = VL — M
relation dans laquelle
ûi,n a,
^hn
On.i fl«,a.
ai as . . . a„ o ai a, • . . a« o
Soit Ar,s une quantité liée à a^^^ par la relation
et désignons par Pi , Lj , Vi , Mj , Hi les déterminants que l'on obtient en introduisant dans les déterminants P, L, Y, M, H les éléments A,.,, à la place des éléments «^,,. En invoquant le principe d'après lequel la valeur d'un déterminant n'est pas changée quand on ajoute respectivement aux éléments d'une ligne ou d'une colonne les éléments d'une autre ligne ou d'une autre colonne multipliés par une même quantité, on arrive facilement à la démonstration des équations
L=L,, M = M,, H=fi,.
Maintenant observons que le déterminant peut s'écrire
Zi Zt. •* Zji o o
et, par conséquent, en ajoutant aux éléments de la pre-
(5o) mière colonne ceux de la dernière multipliés par Uf , aux éléments de la seconde colonne ceux de la dernière multipliés par as, et ainsi de suite, d'après le principe ci-dessus rappelé, on aura
A|,i A|,2 . . . Ai,ji Z| ai Aa,! Aj,j . . . Aa,„ Zi a.
A/i,i An,i . • • A„,n ^n *n Z, Za . . . Zn O O
a, aa . . . a„ o I
c'est-à-dire
De même le déterminant P peut s'écrire
et, en exécutant l'opération indiquée plus haut, on aura
Ces valeurs de L et de H, substituées dans l'équation (56), donnent
M'=PV, — VP..
Nous avons appelé la fonction V réciproque de U^ il est clair que Vi sera réciproque de la forme quadratique
U -h (a,j?i -î-a,j?a-^. ..-4-a„jr„)».
Si Ton suppose n == 3 , les équations
U= o, U •+-. aj^j + «j^Tj -h ajOTarrro,
(5i) représentent deux caniques ayant un double contact , et les
équations
appartiennent aux polaires réciproqiies correspondantes* Maintenant, d'après (57), V^ = o peut se mettre sous la forme
ce qui fait voir que les deux polaires réciproques ont un double contact et que la corde de contact est la droite représentée par réquation
Un théorème analogue a lieu pour les surfaces du second ordre (*).
§ Vn. — Propriétés des déterminants mineurs.
On nomme déterminant mineur d'un déterminant corn-plet
.<f2.i ûa,3 . . . ai,n
le déterminant que Ton obtient en supprimant dans le déterminant complet un nombre quelconque de lignes et de colonnes. L'ordre du déterminant mineur est déterminé par le nombre de colonnes et de lignes que Ton supprime^ c'est ainsi que
Oi,n-m
(*) Crslls, Journal, etc., Band 3i.
est un déterminant mineur de Tordre m^ Si les éléments principaux du déterminant mineur ont chacim le premier et le second indice identiques , comme cela a lieu pour le déterminant (58), le déterminant mineur se nomme principal. Pour représenter par un symbole cette espèce de déterminants, considérons les déterminants mineurs d'ordre jjr^ième j^ déterminant P. Soit
uz=i ^^ ^
le nombre des combinaisons m k m des indices i, a,..., w. Ecrivons ces combinaisons les unes à la suite des autres d'après une loi déterminée, par exemple en commençant par celle dans laquelle le produit des indices est le plus petit, €t plaçant successivement celles où le produit des mêmes indices va en augmentant. A ces combinaisons ainsi distribuées faisons correspondre les nombres
Soient r, s deux quelconques de ces derniers nombres ; si dans le déterminant P on supprime tous les éléments qui ont leur premier indice compris dans la combinaison r, et leur second indice compris dans la combinaison s y les éléments restants formeront un déterminant mineur de l'ordre m. Nous représenterons ce déterminant mineur par le symbole ^'"^Pr,, et conséquemment par ^""^P^,^ le déterminant principal du m*^*"* ordre. Il est évident que le nomlH*e des déterminants mineurs du m'*"** ordre est en général égal au carré du nombre w. On pourra donc , avec ces déterminants , former le déterminant
= («^Sm
Ces déterminants de déterminants mineurs,, considérés pour la première fois par M. Cauchy (*), ont reçu du même auteur le nom de déterminants dérwés du déterminant P.
On nomme déterminant complémentaire du déterminant mineur ^'"^P^,, le déterminant mineur de l'ordre [n — tn) que l'on déduit du déterminant P en effaçant dans ce dernier tous les éléments à Texception de ceux qui ont leur premier indice compris dans la combinaison r et leur second indice compris dans la combinaison 5. Ce déterminant complémentaire peut se représenter par le symbole (n-m)p^^^^^^ et le déterminant complémentaire du déterminant (58) serait
oùn — m = u.he déterminant dérivé des déterminants qui sont complémentaires de ceux constituant le déterminant ^"*^S„ peut être représenté par le symbole ^""^'"^S^; et les déterminants ^'"^S^ , ^""""^S^ se nomment déterminants dérivés complémentaires.
En se rappelant la règle pour la formation des déterminants exposée au § III ( page 1 1 ) , on s'assurera facilement de l'exactitude des deux équations
, g . ) -H ^"^^Pu,. (''~'"^P-«,-, = P,
^ 1 <"^Pl,, ("-'"^P^,,-r-h('^)P,,, ("■^'»)P-.j,-r -i- . . .
[ 4- ('"^Pa,, ("-^)P^u,^r = O.
Si dans ces équations on attribue à 7* et 5 les valeurs i,
(*) Journal de l'École Poljrtechnîtjue, XV11« Cafhier.
(54) ^jiy..,j n^ ou obtient a* équations, au^ moyen desquelles, et par Tapplication de la règle de multiplication des déterminants , on arrive aisément à
La formule (43) se déduit de celle-ci en faisant m = i.
Remarquons que, d'après les conventions qui ont été faites relativement aux symboles des déterminants mineurs, l'équation (36) prend la forme
et de même (38) peut s'écrire
cutée m fois de suite sur F équation
PQ = R conduit évidemment à
Q (")?,,,== («)R,,, (»-'«)Q^,,^, -f. i'")Rr,7 ('•-">Q-2,-., -h . . .
Si dans cette équation on suppose 5 = i,2,3,...,ii,on obtient u équations qui , respectivement multipliées par
et ajoutées en ayant égard à celles-ei :
ou i = — i -^ et généralement la différentiation exé-
(55) donnent la suivante ;
L'ëquatîon (33) se déduit de cette dernière en faisant w = I . Si Ton suppose que r est égal à 5 et que les éléments correspondants des déterminants P et Q sont identiques, on aura
En désignant par ^'"^T„, ^'"^V„ les déterminants dérivés des déterminants Q, R, on aura, d'après l'équation (61) ,
et aussi
Au moyen des équations (Sp), (60), on pourra obtenir une équation qui comprendra , comme cas particulier, Téquation (Sp). En suivant le procédé de calcul employé pour arriver à cette dernière équation, on trouvera facilement
(63) PQ =;= H,,. K,.. ^- H,,, K,,, -h . . . + H,,, K,,«,
ou
+ ^'">Qr,« ("-""*^P-«,-5,
La formule de décomposition (63) est due à M. Sylvester (*).
Applications,
I**. Soit représentée par
U = 2r 2, ar,s *^r ^s (*) Philosophical Magazine, i85i.
(56) une tatietion quadratique à n variables. En transformant cette fonctioB dans la suivante :
au moyen de la substitution linéaire
««=ci,««i -f- c,,„z, -H. . 4- <?«,*«*, on a, comme on sait,
Ai,r9 h^,r^""i étant données par les équations (27).
Supposons que la fonction U se soit transformée dans Y par une substitution orthogonale, c'est-à-dire par une substitution dont les coefficients c,.,, vérifient les équations
. -4- Cr,n Cs,n = O ,
ce qui entraine
On sait que dans ce cas la fonction Y peut se réduire à la forme
V = 2,A,z;, et que les coefficients A^ sont les racines de Téquation du
^lim. degré
«1,1 — > «1,2 . . . ax,n
(57) Cette équation rencontrée pour la première fois par Laplace dans ses recherches sur les inégalités séculaires des planètes (*)^et qui a donné naissance aux premiers travaux du même auteur sur les déterminants, admet n racines réelles, comme l'ont démontré Borchardt et Jacobi (**). En se rappelant la manière dont cette propriété a été établie pour les équations du troisième degré de même forme (§ V) 5 il est clair qu'en posant
et, par suite,
nous aurons démontré la réalité des racines de l'équation (65) quand nous aurons prouvé que tous les coefficients des diverses puissances de X dans l'équation suivante sont positifs :
.^^ I (-I)»/W/(-:^) = V"-H„„.x-- Or le coefficient de X*"* résulte évidemment de la somme des déterminants mineurs principaux du m""** ordre du déterminant
En représentant donc par ^'"^Rrjr un quelconque de ces
(*) Histoire de l'Académie des Sciences, année. 1773.
(**) Journal de LioijvillE; t. XII.— Jàcobi, Matemaiische Werke, Band i.
(58) déterminants mineurs principaux, par P le déterminant f {o)j et observant qu'entre les déterminants ^""^Rrjr et les déterminants mineurs du déterminant P règne l'équation (6a), il s'ensuit que le coefficient de H^ est égal à la somme des carrés de tous les déterminants mineurs du ^ièm« ordre du déterminant P. Les coefficients de {66) sont donc positifs , et , par suite , réelles les racines de l'équation (65).
2^. En conservant les notations de l'application i°, désignons par N le déterminant
Ai^i Al, 3 . . . A|,n Aa,! Aj^a . . . Aj,ii
A»,i An,i
Quelle que soit la substitution linéaire qui transforme la fonction U dans la fonction V, il existe entre les déterminants mineurs du déterminant P et les déterminants mineurs du déterminant N une relation importante que nous allons actuellement établir. Observons pour cela que, ayant par (64)
