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«2,1 aj,», •«2.» ^1

Jtr, Xi . . ,Xn o a, =rtf,j o?! -h <'i,2 *«-4-. . .-+- tfi,ii x«,

Zn '■=■ «n,i J^i -h ûii,3 ^2 -h . • . 4- ««,« *«

Je dis que dans ce cas on aura

( 47 ) Pour le démontrer, rappelons (page 5 ) que sî aux éléments de la dernière colonne du déterminant V t)n ajoute respectivement ceux de Tavant- dernière multipliés par — Xn , puis ceux de Fantépénultième multipliés par — Xn__x , et ainsi de suite, la valeur du déterminant n'est pas altérée; mais en effectuant cette opération, le déterminant V, à cause de (5i), (54 )? se transforme dans le suivant :

«2,1 «2.2 • .«2,iï o

««.1 «n.2 . an,n O Zi ^2 . . Zn U

Donc l'équation (55 ) est réellement vraie.

L'équation U = o , pour w = 3 ou n = 4 représente une conique ou une surface du second ordre: dans chacun de ces cas l'équation V = o représentera la polaire réciproque correspondante.

Les formules précédentes sont d'un grand usage dans, la théorie des polaires réciproques et dans d'autres questions géométriques relatives aux lignes et aux surfaces du second ordre. La formule (55) peut conduire à la solution de ce problème : Étant données Véquation cCune conique et les coordonnées d'un point situé dans son plan, établir un critérium qui permette de dire si le point est intérieur ou extérieur à la conique.

Puisqu'un point est dit extérieur ou intérieur à une conique suivant qu'on peut ou non de ce point mener deux tangentes réelles à la conique, le critérium cherché résultera de la réalité ou de la non-réalité des coordonnées des points d'intersection de la conique avec la polaire du point donné. En conservant les dénominations de l'application i^ du §IV, on trouve facilement que la condition à vérifier pour que les rapports xlylz des coordonnées de l'inter-

section de la conique ç ( x, j, z) = o avec la polaire dû point (xo, joï «0 ) soient réels , est la suivante :

a h / Xi

h b e Xi

/ e c Zi

JOi J, z, o

ou Ton a fait

En vertu de (55) , le critérium cherché sera donc

a hf

fC^a^cr-i «•)

Ainsi lé point séta extérieur ou intérieur, suivant que les deux facteurs du premier membre auront des signes contraires ou des signes semblables. Remariquons que le premier* de ces facteurs s'annule quand le point est situé sur la conique^ et le second quand la conique se réduit à un système de droites..

2*^. Considérons le déterminant

ai a^ • • . a„ ^ P «I Zj ...2« 7 ^

la formiulc ( 1 4 ) donnera

(49) ou , en conservant les notations de l'application i® çt supposant a^,,= a,,^, a = (3 = y = cî = o,