WN

formule connue.

3**. Supposons que dans les deux fonctions quadratiques U, V l'on ait

«r,/ = Os,r = 7r,i ys,i "H 7r,2 7/,3 + . . . -|- 7r,n 7*.»» Ar,, = A,,r = 'ïi,r 7i.* "H 72,r 7»,* "H • • • "1- 7n,r 7«,ô

dans ce cas, les deux fonctions sont équivalentes, c'est-àdire peuvent se réduire à une même fonction par le moyen d'une substitution linéaire. En effet, soit H le déterminant

d'après (67), on aura

(60) c'est-à-dire les déterminants P, N que Ton obtient en effectuant le carré du déterminant H par lignes ou par colonnes seront égaux en valeur absolue, mais de formes différentes. L'égalité des deux fonctions U, V sera démontrée lorsqu'on aura mis en évidence celle des coefficients des mêmes puissances de X dans les deux équations du n'*"**' degré

Aj^i — A A|,2 ... Ai,n

As,! Aj^a— À... A.^,n

Ab,i A/i,a ••• A/i^n ~~ A

Or le coefficient de X"* dans la première équation est formé par la somme des déterminants mineurs principaux du jjr^ième Qfdrc du déterminant P, et le coefficient de X"* dans la seconde équation n'est autre que la somme des déterminants mineurs principaux du iw*''"' ordre du déterminant N . Et comme d'ailleurs

il en résultera

c'est-à-dire que les coefficients de X"* dans les deux équations en question seront identiques.

Exemple. — Les ellipsoïdes représentés par les deux équations

sont égaux entre eux (*).

(*) Nouvelles Annales de Maihématiqnes rédigées par M. Terquem. Juillet i853.

(6i ) 4^. Le système d^équations algâ)riqaes linéaires

\ «n,i ^1 -h ««,» «a -f- . . . -f- û„,, Xs=U„,

dans lequel n^J, est nommé système surabondant, par la raison qu'il est composé d'un nombre d'équations supérieur à celui strictement nécessaire pour la détermination des inconnues.

Supposons que les quantités i/i , Ui ^ . . . , z/» soient liées par les 5 équations

c,,, a, 4- ^2,1 «2 -I- . . . H- Cii,i «» = ï'i,

Ci,i «1 4- €i,i «2 4- ... -f- Cn,2 «n = fiy

l C,,, M, -f- Ci,i «î -h ... 4- C„,, Un = (>,.

En substituant dans ces dernières équations pour i^i, U|,. .. , u„ leurs valeurs données par (68) , on obtiendra

(Ai,i X, 4- Aaj a:, 4- ... 4- A,,, a:, = i^, , ^1,2 JTi 4- ^2,2 J?a 4- . • . 4- ht,i Xt = Pif

\ hx,, Xx 4- ^2,1 Xa 4- • . • H- ^*,* ^s = ^sj

où

(71) «l,r^i,#4- ûr2,rC2,,4-. . .4- an,,Cn,s= hr,S'

Des équations (70) on déduit

H j:2 = «'i -ji h Pa 37 1- . . . 4- P, TT" >

(6a) H représentant le déterminant

hs,\ Aj,2. . . h,,s

et si dans ces dernières on met à la place de ^1 , f^i , , leurs valeurs données par (69) , on obtient

Ho:, = ^2,1 M, + A-j,, iij-f-. ..4- ^2,«tfn,

//H rfH

Maintenant si Ton observe que par (71) on a

dhr^s

il en résulte

et en substituant,

Ci, s =

krj =

dOi^r

daj

rfH dR

Hx, =«1-7- \- u-x- h.

fl^2 = «l3 •-««3 »-• ••-4- «« -^ J

«^1,2 ««2,2 a«II,2

Le déterminant H est un déterminant mineur principal

(63) de l'ordre (n —5)'*"^ du déterminant R (équal. 28) •, par conséquent, en le représentant, conformément aux conventions du § Vn, par le symbole ^""'^Ruju? on aura, semblablement à (61),

Par là, les équations (72) prendront la forme

dan da,,^

d C-^^Pu.r

X, l.r ('^')P«,r <"-'^Q„,r = « . 2r (""^^Qu.. "^ ^! '^^"^' "h •

•««2rf'-'ÎQ„.r

d ('^)Pb,, da^,s

Observons que le déterminant ^""'^P^jr contient seulement un nombre s^ des éléments qui constituent le déterminant P, et que les premiers indices de ces éléments ne peuvent se trouver parmi ceux de la combinaison m. En représentant par

«r,,* Or^,s* . • Or^,,

le déterminant ^"""'^V^^ry les équations (73) se transforment