X. 2. (»-0p„,, («•"')Q„,r = 2r ("-'^Qu,r
X, 2, (*-'>Pu,r ("-^)Q«,r = 2, (»-')Q„.r
fi
rf ('^*)P«,r
rf ("-*)Pa,r
rf e-^^Pu^r
dar.
Kr,
H-ttr.
dar,,,
Ti , r, , . . . , r, étant des nombres différents entre eux et appartenant à la série i, 2 , . . . , n.
Sî maintenant on prend s des équations (68) , par exemple celles où les ii|, Ut,.-M ^n ont les indices Tj, r^,..., r,, pour en déduire les valeurs de X| , x, , . • • ? ^^ 9 on a
^' dar,.^
(o:,) ("-op. ,. = a,^
dar,,s
les 0^1 , Xi , ... , étant placées entre parenthèses pour rappeler qu'elles sont déduites d'un système surabondant. Du rap-
(65) prochement des équations (74)? (75), îl résulte
«t si les coefficients des 0:1, x^, . . . , dans les équations (68) étaient respectivement égaux i ceux des U| , !/«,.•* 9 ^^^^ {69), on aurait
I.(<''-^)Pa,r)'(xO
§ VIII. — Z>e5 déterminants gauches et des détenmnants Sjymétriques ,
Un déterminant P dont les éléments satisfont à Téquation
«r,* -+- €ls,r = "O
«e nomme déterminant gauche. Et si en même temps ces éléments satisfont à cette autre condition
le déterminant gauche est dit symétrique^
La considération des déterminants gauches symétriques doit précéder celle des déterminants simplement gauches , par la raison que ces derniers peuvent s'exprimer au moyen des premiers. Pour démontrer <;ette propriété, observons quen général un déterminant P quelconque peut être ex-
(66) primé au moyen de déterminants dans lesquels les éléments principaux sont nuls. Effectivement , en désignant par Po le déterminant dans lequel on suppose égaux à zéro tous les éléments principaux, et par (^"*^P,,,)o un déterminant mineur principal du m'*"** ordre du déterminant P, dans lequel déterminant mineur on suppose aussi nuls les éléments principaux, on a évidemment
Exemple.
«2 Pa 7«
«s Ps
Actuellement si le déterminant P est gauche , il est clair que les déterminants mineurs principaux (^'"^P/^,)© sont gauches symétriques, ce qui met en évidence la propriété énoncée.
Les déterminants gauches symétriques se distinguent de toute autre espèce de déterminants par les deux propriétés suivantes qui leur sont particulières.
I**. Tout déterminant symétrique gauche d'ordre impair est égal à zéro. En effet, observons que le développement du déterminant P supposé gauche symétrique et d'ordre impair contiendra les deux termes
niflr,! «I.
9 ÛJ,3 •
Or^\,n
± «l,r fff.t
Maintenant si Ton muTtijpfief lesf ëlémentê de chàqneco^^ lonne de ce dernier déterminant par -^ly qtt'oiv obserre que ces mêmes colonnes sont en nombre impair puisque n est impair, et qu'on ait égard à la relation û^,, -h a^^r = o, ce second terme pourra s'écrire
et comme ee dernier déterminant est identique au déterminant du premier terme, et que ar,t «i,, = ^i^^ a,,i , ces deux termes se détruisent mutuellement. Par conséquent , il ne restera dans le développement dont il s'agit que les termes de la forme
rt <7,,r ^r.
<în,J
Mais ce dernier déterminant est symétrique gauche et d'ordre impair [n — a) •, par conséquent, tout déterminant symétrique gauche et d'ordre impair set a nul quai^d il en
(68) sera de même du déterminant symétrique gauche du troi-^ sième ordre. Or le développement de ce dernier déterminant étant
la proposition est vraie pour le cas général.
a^. Un déterminant gauche symétrique d'ordre pair est un carré. En effet , le développement du déterminant P contiendra les termes
«r— 1.2 «r— 1.3» • • O Or-^i^r-hi' • • «r— 1,«
«r-+-i.» «r+l.S»»» «r-Hi,p— I O ... «r-4-l.n
««.t ««.S . • • «ii,r-i ««.r+t ... O
O flfj^s . • . «a^r— I «2,r-Hi • . • Û^^n
rt:2«f,r«i,*
'«,2 «ji,8 • • . «ii,r-t «ii,r+t • • • O
Les coefficients de û^^, a)^, db aûj^^ ai,, peuvent se représenter respectivement par
(69) Maintenant, par la formule (i4) , on a
rf'P dJ' dV d*V dP dP
eiut^r dar,x <//ii,r dor.x da^,, da^^x ~ dax^s ^û/,i
</'P dP dP dOx^r dot^x dOx^r dOg^x
à cause que — — = o, comme étant un déterminant gauche
symétrique d^ordre impair. Ces équations , en faisant attention à celle-ci :
dV dP
dOr^s das^r
qui a évidemment lieu pour un déterminant quelconque sy<métrique gauche d'ordre pair, donnent la suivante :
/ </^P y rf'P J^P
\dax^ dos^t) '^ dax^r dar,xdax,a da,^x^
qui met précisément en évidence la propriété que possède le déterminant P d'être un carré.
Par là , le développement du déterminant P pourra être présenté sous la forme
, ''\dax,x dat^^J ''^ \dax,x tlas^ij .
du plus généralement
expression dans laquelle il faut faire, après les difl'érentiations, ^1,1 = fl,^, ==..,= o. Il est bon de remarquer que
le déterminant ■- -; — est un carré, comme étant «ymé-
trique gauche et d'ordre pair n — 2.
Exemple. — Supposons
Ol,i «1,3
on aura
c'e8tr>à*<li]
En désignant par H la racine carrée du déterminant P, il est important de démontrer que cette quantité jouit d'une propriété analogue à Tune des propriétés principales des déterminants. En différentiant Téquation P = H* par rapport à ar,o il vient
OÙ Ton n'a pas mis dans le second membre le coefficient a, à cause que dans le premier la dérivée de P par rapport à ûr,* représente le déterminant du (» — 1)'^""' ordre que Ton déduit de P en supprimant la 5**'*' colonne et la r*'*"** ligne, c'estrà-dire en n'ayant pas égard à ce que «r,* = — ^s,rl tandis qu'au contraire cette relation est prise en considération quand on différentîe l'expression algébrique de H. En élevant au carré l'écjuation précédente, on a
/£^py__p/^Hy
\dar,s) ~ \dar,s!
et comme
il en résulle
' dar,s
Cette valeur substituée dans (77) donne
et, par suite,
équation qui exprime une propriété de la fonction H analogue à une propriété connue des déterminants.
Mais la propriété caractéristique de cette fonction H réside dans le changement de signe qu'elle subit lorsqu^on permute les deux indices. Permutons en effet dans H les deux indices r, s 5 comme dans les termes de cette fonction qui contiennent l'élément a^,, ne figurent pas d'autres éléments affectés de ces mêmes indices, si Ton désigne par Hj ce que devient H après la permutation mentionnée, on aura
rfH rfH,
dor^, dar^s
Or quand on effectue cette permutation dans le déterminant P, il ne cbange pas de valeur et se ramène aisément à sa forme primitive; par conséquent, d'après l'équation (78), on aura
d? JH, d¥L
-r — rli -5 — ' — II, -1 5
et, par suite,
Ht = — H.
Il est évident que si l'on permutait deux groupes d'indices, le signe et la valeur de H resteraient les mêmes, t Application.
Désignons par {/i^ (f^j. . .^ q^y n variables indépendantes en fonction desquelles sont exprimées les coordonnées des différents points d'un système en mouvement, par T la demi-somijie des forces vives et par /^i, px,. --9 A'» ^^^ quantités
dT dT dT
dq , dq , dq^
On sait que les formules pour la variation des constantes arbitraires , quand on a égard aux forces perturbatrices , contiennent des expressions analogues à Tune ou à Fautre des deux suivantes :
' \dpr dqr dqr dpr]
où r doit recevoir les valeurs i, 2^..., 2/1, et où ^i, ûj,-., aa„ sont in constantes arbitraires introduites par l'intégration des formules du mouvement, en y supposant nulles les forces perturbatrices. M. Cauchy a démontré (*) que ces expressions sont liées par in groupes d'équations de la forme du suivant :
Or,\ ^1,1 ■+- 0^,2 Cl,, -h. . .-K«r,2ii Ci^2n =0, «r,l Ci,l +flr,2 <?2,2 -4-... + ^r,2ii <^2,2» =^>
«r,i ^2n,i + ^r,2 Cj„,a + . . . 4- ^^,20 ^an,an = O,
r *) Journal de Liou ville, lome H. Cvmples rendus des séances de VAcadé-' mte des Sciences, juillet i853.
(73'J OÙ l'on fait, pour abréger,
[ai , fl, ] = Ci^s y ( «o ^* ) = ^»,i-
Les expressions c,-,, , a,-,^ vérifient évidemment les relations
Ct,s = Os,s = O , C,,, = — C,^i , a/,, = Otj ,
et, conséqaemment, les deux déterminants
ÛJ,I ^S,» • • • ^»,5
^3»,i ^ai»,2 • • • 02n,im
^aii,i ^aa^i • • • ^2«,2n
sont des déterminants gauches symétriques d'ordre pair.
Observons que, d'après (79), il existe entre P et Q la relation toute pareille
PQ=i,
et que, de ces mêmes équations (79)9 on déduit
I rfQ
ou bien en faisant Q = K* et observant que l'équation (78), donne
d Cr,t d Cr,,
on peut écrire
équation qui donnera tous les (^i,., a,) en fonction des
L^équation (76), à cause des deux propriétés démontrées pour les déterminants gauches symétriques , acquiert, quand on suppose P un déterminant gauche quelconque, une des deux formes :
pour n pair,
pour nimpair,
P = 2, «r,r(('>PM).-
Si les éléments principaux sont tous égaux à Tunilé, ces deux dernières formules deyiennent
et comme les déterminants gauches symétriques d'ordre' pair Po 5 (^*^ P«,i)o î (^*^ Pi,i) > • • • ï sont des carrés , le déterminant P sera ^al, tant dans le cas de n pair que dans celui de n impair, à une somme de carrés.
Exemple. — Pour tî = 4 ,
et pour» = 3,
Considérons les deux groupes d'équations
««,1 «iPi + «»i,2 JTj -+-... -h «»,« J?ii = «nj
i «l,B J^l 4- «2,« Xj -h . . . H- «n,B ^1, = «'« ?
ou Ton suppose
rtr,, = I «r,s 4- «J,r = O.
il5) En niultipliant les équations du prenûcr Bj^icme respectivement par
et ajoutant les résultats , on aura OÙ Ton a fait
(82) fl|,, Cr,,'4- flj,j c,.,2 H-. . .-f- an.s c,.,„= Ar,,.
Désignons par P le déterminant gauche formé avec les âémenis a^,,, et, ayant fait of^^, = -r — ? supposons que l'on ait
il viendra, d'après (83 ) ,
et , par suite, Tëquation {%i) se transformera dans
^l,r «J?! -f- «a,r «IPj H" • • • "h ^ ii,r ^j| = ^r,l «i -f- ^r,2 «î -H . . . -f- <?;.,„ tf„.
On aura donc, par l'inspection des équations (80) ,
i^j = C2,, a, H- c,,, «j -f- . . . H- Ca,„ Unr
En opérant sur le second groupe des équations {80), comme on vient de le faire pour le premier, on obtiendra
Ui =5 c,,2 Pi -h c,,2 *»ï 4- . . . -h c«,j ï'„,
(76) Du rapprochement de ces deux derniers groupes , il résulte que les coefficients c^^, sont liés par les — ^
équations
et , conuue le nombre de ces coefficients est n*, un nombre — ^ d'entre eux resteront arbitraire», et l'on pourra
déterminer les —^^ autres en fonction de ceux-là : ou
encore on pourra déterminer tous les n* coefficients en
fonction de — ^ quantités arbitraires. Les valeurs des
coefficients c^,, fournies par (83) , satisfont précisément à ces conditions, puisqu'elles vérifient évidemment les équations (84) ] et les quantités a^,,, en fonction desquelles
ces coefficients sont donnés, sont eu nombre — i ••
Exemple. — Soit
V — fZ
