V IL

on aura les neuf équations

IAa,= I-hV— fA»— »% A^i=2 (Xp — v), Ac,=:2 (Xv-f- fx),

^/l2=2(V + v)» /fÔ,= I-hp*— V— V% /iC3=2(pv— >),

^aa=2(>v — f*), hb3=2. (fAV + X), ^C3=H-v»— >»— fA»

et les quantités ^i , a^ , . . . , liées par les six équations

( 77 ) pourront représenter les neuf cosinus des angles que deux systèmes d^axes rectangulaires comprennent entre eux. Dans ce cas , les quantités arbitraires X , |[x , v sont susceptibles de recevoir une interprétation géométrique, conune Ta fait voir M. Rodrigues (*).

U est bon d'observer que dans le cas où deux axes de l'un des systèmes ne feraient pas entre eux un angle droit, c'est-à-dire dans le cas où

«ï û» -h ^j ^s 4- c. Ci =: w,

on pourrait déterminer les valeurs des neuf cosinus en fonction des trois quantités X , fx , v et de cd ^ car il est permis de conserver à six de ces cosinus, par exemple kai^ b^ Cl, £1», ij, Cs leurs valeurs précédentes; et les valeurs des trois cosinus Oi, &t) c^ seront données en fonction de X, |ui, V, tt> au moyen des équations connues

«I (i — »') = ô, r^ — . bi c,

Applications, s^^Ol^ l^.l^k i^. Théorème. — Le déterminant

by (i -— w») = cs ^3 — Ci fl,,

Cn.t

est ^al à zéro pour n impair, et égal à a'' ^ pour n pair. En effet, en substituant dans H pour Cj^i, c,,j,....

("*) Journal de Liodville, tome V. Les formules trouvées par M. Rodrigues ne diffèrent que par la forme de celles données par Euler et par Lexell dans \% tome XX des Novi Commentarii Àcademiœ Petropolitanœ, 1775.

(7») leurs valeurs (83), il vient

«8,2 Pi . - «11^2

et en multipliant ce déterminant par lé dét^tninant P, -en obtient aisément

Maintenant si n est impair, le déteroûnant dti second membre étant gauche symétrique et d^ordre impair sera égal à zéro et Ton aura H = o, et si n est pair on aura

Dans le cas de n =3 3 , ce théorème renferme la démonstration d'une propriété énoncée par Euler et qui a lieu dans le mouvement d'un corps rigide (*). Celte propriété consiste en ce qu'il est toujours possible d'assigner une droite passant par un point arbitraire du corps (le centre) , mobile avec lui et telle, qu'au bout d'un temps fini quelconque elle se trouve parallèle à sa direction initiale. En désignant par x, j-, z les coordonnées d'un point du corps par rapport à trois axes fixement attachés à ce corps , les cosinus des angles que la droite passant par ce point et par le centre fait à Torigine du mouvement avec trois axes fixes <fen« J'espace coïncidant à ce même instant avec les axes mobiles.

(*) Theoria motus corporum rigidorum, 17/10. Cette propriété a é*é démontrée par Piola, au moyen des formules de Monjje, dans un Mémoire pubKé dans les Actes de la Société Italienne des Sciences, iSSq.

(79) ces cosinus, dis^je, ont pour expression

Slx^ H- ^' 4- a' V^** H- r' -+- 2' V^x* 4-^* + a»

et les cosinus des angles que la même droite fera avec ces axes fixes au bout d'un temps fini quelconque seront

ai , ât , . . • , désignant les neuf cosinus des angles que, etc. Pour le parallélisme des deux directions de la droite dans ses deux positions , il faudra donc que Ton ait identiquement

x = ai or 4- 6, ^ + c, «,

et, par suite,

«1 — I bx Cx

03 bi — 1 Cj «3 bz c^-

ce qui a effectivement lieu d'après le théorème démo^t^é. Il n'est pas inutile de faire voir comment on peut arriver directement à l'interprétation géométrique des indéterminées X, (ji, V dont on a parlé un peu plus haut. A cet effet, remarquons que les équations (85) donnent

Xfl, H- ikbx 4- vci = >, Xa-i -h^ô, 4- vca = |*, X<l3 -h ^^3 4- v^a =r V.

On pourra donc poser

> = A* CQS a , fx = ^ CCS p , V = ^ cos 7 ,

(8o) k étant une indéterminée, et a, |3, y les angles que la droite qui reste parallèle à elle-même dans les deux positions du corps fait avec trois axes liés invariablement à ce corps. Si nous désignons par B Fangle dièdre compris d^un côté entre le plan passant par celte droite et un des axes fixés dans le corps dans la position initiale, et d^un autre côté entre le plan déterminé par les mêmes droites quand le corps occupe sa seconde position, angle qui doit rester invariable quel que soit Taxe que Ton considère, nous aurons par une formule connue

a, = sin*a cosô H- cos*a,

6a = sin*p cosô-hcos*p,

c^ = sm^7 ces -+- cos'7 ; d'où

Oi -I- ^î -f- <^3 = I 4- 2 cosO,

et, d'après (85),

^» -h ft» H- v' = tang» ^ Ô.

La quantité k étant ainsi déterminée, on a ensuite

)i = tang|Ocosa, p = tanglOcosp, v = tanglScosy.

Observons que le théorème mécanique d'Euler revient à cet autre purement géométrique : Etant donnés deux sys^ tentes d'axes rectangulaires ayant la même origine, on peut déterminer une droite passant par cette origine et telle, quune rotation autour de cette droite amène F un des systèmes à coïncider av^ec le second. Il est évident que Fangle Q est la mesure de cette rotation.

tP. Soient représentés par ^i, ^i, Ci 9 a%^ ^i, c, 5 ^i», ij, Cj les cosinus des angles que trois axes rectangulaires liés à un corps solide en mouvement font avec trois axes fixes dans l'espace, et désignons par p, q^ r les composantes de la vitesse angulaire du corps relatives aux axes mobiles. On a,

{8i ) comme on sait ,

et, en substituant les valeurs (85) ,

hp — 2 (pi'v — p' — V), A17 =:2(v'X — vV — f*');

d'où

V£=i(rfi^7v^,>^Xw)v

en faisant , pour abréger,

\p -hy^q -h vr =:m.

Ces dernières équations, respectivement multipliées par 7., |!;t, V et ajoutées, donnent sans difficulté

A' -h wA == o , puis, multipliées par/;, y, r et ajoutées ^

cr> désignant là vitesse angulaire du corps.

Lorsque le corps tourne autour d'un point fixe. et qu'on prend pour les axes niobiles les axes principaux du corp^ , en désignant par A , B, G les nioments principaux d'inertie et par T la demi-somme des forces vives , on a

et en posant'

r/T dT fil

on a

f — -i- A» = A/>p — ByX H- Cr; d'où

2 A^ = t'y ^ wp — w — ^ff , 2B^ = wX — «V — p — pto", aCr = Mfx — p\ — w — vff, en faisant

er z^'ku 4- ft*' -H vtv.

Si maintenant on désigne par U la fonction des forces, on aura , comme l'on sait , .

aX ajx av

et, par conséquent,

, I / , dV

II' = - ( »or -i- um -h 7V — qw) + --- j

1 , , rfU (/ = - ( 7 (T 4- p/w -h ow^ — ra j + —- y

2 ^ ' rfp

w'= -(rex -h «"W -h 7« — /?<') -h -r- • 2 ^ dv

Ces équations, conjointement avec (86), sont les équations différentielles du mouvement d'un corps autour d*un point fixe présentées sous la forme que leur a assignée Hamilton.

Si le corps n'est sollicité que par des forces instantanées , en désignant par Ç, y?, f les angles que l'axe du couple ac-

(83) célérateur, Taxe du couple d'impulsion et Taxe instantané de rotation font avec la droite dont il a été question à la fin de Tapplication i** (droite que M. Cayley a nommée axe ré-sultant) \ en désignant en outre par g^ /, o) les moments du couple accélérateur, du couple d'împul^on et la vitesse an<^ gulaire du corps et posant

on a

<j> = g' tang- 9.C0SÇ, >{; = /tang-d.cos>i,

wî = w tang - . cos Ç ,

et comme en multipliant les équations (87) respectivement par X, p, V et ajoutant les résultats, on obtient

^TT -h a-^p = o, on aura encore

<r 4- / sin ô . cos ^ =r o.

L'utilité de ces formules dans l'étude du mouvement autour d'un point fixe d'un corps sollicité par des forces instantanées est rendue entièrement manifeste par les résultats obtenus par M. Cayley sur ce .sujet (*).

Un déterminant P dont les éléments conjugués sont assujettis à la condition

se nomme déterminant symétrique.

Il suit de là qu'une puissance paire d'un déterminant quelconque est un déterminant symétrique. Et comme dans un déterminant symétrique P les éléments situés dans la ^reme colounc sont respectivement égaux à ceux situés dans

{* ) The Cambridge and Dnhtin Mathemalical JounmJ, tome 1, 184G.

^84) la s'*'^'' ligne, on aura

c*est-à~dire le déterminant à éléments réciproques d'un déterminant symétrique est lui-même symétrique. Il en résulte que les valeurs de Xj , Xt ,.••? ^m déduiles du système d'équations algébriques linéaires (16, § IV) prendront, dans le cas de a,.,, = fl,,^, la forme suivante :

1 dV dP I dp

Px, = - «, h«» -: h ... 4- - «« -; >

2 "«1,1 «^'s,! 2 a<ffj,n

I r/P I rfP r/P P.r«tz= - w, h-tf»-7 h. . .-4-«„3 »

OÙ ^ — représente la dérivée relative à n^^, du développement du déterminant symétrique P.

La formule (i4)? lorsque P est un déterminant symétrique, donne

P ^'P i?JL jIL / ^P V

dûr,r das,s dûr^r da,,, \da,,s/ ' c/P

et en supposant - — = o, oft aura

^ d^p ^ /^py

^r,r das,s \dar,s) '

c'est-à-dire que les deux déterminants symétriques P et

"i ' — seront de signes contraires.

dar,r da,,s

On doit encore ranger dans la classe des déterminants

(85) syjnëtriques ceux de la forme

Û, «2 . . . Ga

qui jouissent de la propriété exprimée par Féquation

La propriété caractéristique de ces déterminants appartient exclusivement à la théorie des inyanants.

application. — En désignant par s^ la somme des puissances r*^'"" des racines de réc|uatiou

V {x) rr a„ -h ^„, a;^. . ,-{-a^ x«- ' -h a" = O ,

oii a les relations connues

ffn *o -f-^«-i ^ï. -h. . .-f- rt| ^«-i 4- ^n =o, ^n Si -h <»«-» Ja H- . . . H- «i Sn -f- J„^- , = O ,

/?« ^«, + On-l fn 4- . . . -+- fli ^21,^2 ■+• ^an-i = O ,

d'où l'on déduit, eu éliminant les coefficients ai , cis , • . . a„ entre ces équations et V (j:) = o,

VW =

Observons que , si aux éléments de la seconde colonne de ce déterminant on ajoute respectivement ceux de la première multipliés par — x, aux éléments de la troisième colonne ceux de la seconde m^iUipiiés par — x, et ainsi

(86) de suite , la valeur du déterminant n^est pas altérée et que , par conséquent ,

S-i — *| X S^ SjX . . , ^«-j-i — ^« *

Représentons ce déterminant par

et par V^ le déterminant

Cela posé, on aie suivant.

Théorème, — Les termes de la série

jouissent de la propriété caractéristique des résidus de M, Sturm, c'est-à-dire, si une valeur de x annule la fonction V^, les fonctions V^+j, V^i pour cette même valeur de X sont de signes contraires.

En effet , coçame

ilYr.

d^Yr.

dar,rdar+i^r+i

OU aura, par l'équation (i4)»

{«7) et, conséquemment, pour toute valeur de x vérifiant Téquation V^ = o, il viendra

c'est-à-dire que V,.^| et V^i seront de signes contraires.

§ IX. — Des déterminants des racines des équations algébriques y et des déterminants des intégrales particulières des équations d0érentielles linéaires.

Soit

*»+ A«__, j?"-' -f- . . . -f. A, :c -4- Ao = o

une équation algébrique du «'^'"' degré ayant pour racines «1 , or, , . . . (;(„ , on a identiquement

a"4-A«., a"~' ~|-...-f- Al a,-f- A» = o, a] -f- A«i a"""' -+-... 4- Al «a -f- A, = o,

a^-+-A„, a" * -f-..-4- Al art-f-Ao=:0.

Multipliant ces équations respectivement par les indéterminées ai 9 at , . . . , a^ > ajoutant les résultats et posant

«l -h Cl 4-. . .+ «n = O,

a, «1 -\- a^ CCi ■+-...+ Un «n = o,

n— I ,. Il— I , , ^ n— »

il en résulte évidemment

Ar = («1 a, -H «a a, -h • • • 4- i^n « J.

Ayant fait actuellement

a, CL. . . . Ctn

on aura par les équations (88)

z d\ àdar'

z dà

z dA à dût'^

et , par suite , en substituant ,

ï { a dA n dA n dA\ , ^

la caractéristique Z représentant la somme des combinai-

sons n — rkn — r des

racines a^ , ai ^

Si Ton suppose r = n -:- i , et qu'on représente par F [x ) l'expression

les équations (88) sont satisfaites en prenant

«. = ï;r^r ^^ = rfc)'---' ^'

d'où résulte I I dA

1 dA

I dA

F'(a,)~"Ar/a^*' riaO^A^^-' F (o^) Arfa^»

Observons que

Par conséi]uei]t, en désignant ce déterminant pai: Ai et par Fi (x) l'expression

(x — a^) (iC — aj) ... (j: — a„),

nous aurons

Pareillement, en posant

et

F,(x) = (j: — a8)...(a: — a„), F, (j?) =:(x — «4) ...(^ — «^),.. F„«, ( j: ) = ( x — çc«, )(x — a„) ,

nous obtiendrons

I I fiAi i i €i ai

et ces équations multipliées membre à membre donnent •

(90) cVst-à-dire j

A = (a, — a,) («1 — aj... (a,— a^) (a,— a^)... (a, — aj (aj— a4)... {a,, — a„),

importante relation que l'on doit à Yandermonde.

On peut encore arriver à ce dernier résultat, en s* appuyant sur les seules propriétés des déterminants. En effet, en faisant subir au déterminant A la transformation de l'application 3*^ du § V, on a l

ou , en divisant la première colonne par «j — aj , la seconde par a, — a, , etc. ,

a,4-aa a„,+a«

« — 3 , «—3 , , n — J 11—3 , it— â , 1

Effectuant de nouveau sur ce dernier déterminant Topération mentionnée, c'est-à-dire en divisant la première colonne par a^ — «3, la seconde par a, — a*, etc., on obtient

«i H-aj-+-a3

et, en répétant la même opération (n — i) fois, on parviendra à la valeur de ù trouvée ci-dessus.

(9» ) De ce qui précède , on déduit facilement que les valeurs de Xi , Ti, . . . , Xu qu'on tirerait des équations

I "— ' I . "— • fn—t

peuvent se mettre sous la forme

(as — a,) (a, — a,) ... ( a.

(a, — aj) (a, — a^) . . . ( a„

ar„ —

v."l...5 (°^« — «•) («3— -a*) • . . (a«-i — «II)

Désignons par 5^ la somme des puissances r des racines de l'équation proposée 5 en effectuant le carré du déterminant A) on obtient

Sx Si . . , Sn

et comme, par l'équation {62), on a si Ton fait attention que

Si S-i» , , Sgt

il viendra

(a, —a,) (a, — aj. . .

X(ai-T-a„)((îi3~a3), . . (a^, — a^)^

^applications,

1°. (In déterminant dans lequel les éléments eonstituant une ligne quelconque sont des intégrales définies prises entre les mêmes limites, ces limites changeant d une ligne à l'autre, peut se réduire à une intégrale multiple. Dans cei*tains cas, cette transformation, ou la transformation inverse quand elle est exécutable, peut être utile dans la recherche âfi la valeur du déterminant ou dans celle de l'intégrale multiple. Pour montrer de quelle manière on peut effectuer cette transformation , considérons le déterminant

dXn

dr^

et observons que tous les termes de son développement seront des intégrales définie^ multiples de Tordre n, et que conséquemment ce déterminant pourra se mettre sous la forme

j </,r, j dr.2... j

dXn

7l (^1 ) ?a(^j) <Pii(^ll)

<Pn(^fl)

(93 ) c*est-à-dire que le dëterminant en question sera équivalent à l'intégrale multiple

I dXt I iiXj,,. I cLVn .\ ; r -. :A,

OU

A =(x, -^ a,) (Xi-^a^i). . . (xi — *„) ( Jr, — ar,). . . (;c„, — x„).

En s'appuyant sur cette transformation et sur un théorème concernant les intégrales particulières des équations différentielles linéaires (théorème dû à M. Liouville, et qui sera démontré dans la suite), M. Tissot (*) est parvenu tout récemment à généraliser quelques résultats obtenus par Abel et par M. W. Roberts (**). Les déterminants des intégrales définies avaient déjà été considérés par M. Caulan (***).

a®. La fonction hôiiiogëne de degré impair à deux variables