i-h i) àjn^i ^7*" H- «j«+î r

sera dite ramenée à la forme canonique lorsqu'on l'aura transformée dans

Les 2 [n 4- 1) inconnues /-/i , /^a , . . . , Pn^y 5 <7m ^î v . qnj^\ seront déterminées au moyen des 2 (n -h i) équations que Ton obtient en égalant les coefficients des mêmes puissances de X dans les deux expressions. En faisant q^ = ^j aj ,

9î = A'2«2, <7n+i = /?«+! a,z+i5 ^t pl'"^'z=ic^^ ces 2{/i4-i)

(*) Journal de M. Liouville.

(**) Abel, Œuvres complètes, tome I, pa{;e gS. — - Journal de M. LiouviUe, années i85i et i852.

{ ***) Mémoires couronné» par rAcadcmfe de Bruxelles. 184 î.

(94) équations seront

<^i 4- Ta -^ . . . -f- c„+, = a, ,

f , a, -f- c, aj 4- . . . 4- ^«+1 ^m-i = «a, r, a* -f- c,a' 4- . . . -h r,^ a* == «3,

Tirant des (/* 4- 1) premières de ces équations les valeurs de Cl , Cj , . . . , c„^, , on obtiendra (n 4- 1) expressions analogues à

OÙ

dà

.fl.

(i.Ctr d.%1

et ces valeurs, substituées dans la [n 4- 2)*''"' équation, donneront

en se rappelant que

dà.

db.

rf.a'"^'"' rf.a!

:=dZ A2 tti aj. . . stn—s-i-i -

Pareillement, en éliminant Cia,, Csârs)***) ^n+i «n+i des a**"", 3*'"**, . . . , (n 4- 3)'^'"*' de ces équations, on aura

<7,H-3 — «n+a^a, 4- o„-HiSa.a2 — . . .±^ja, «j. . . «^4.1 î= o.

En continuant à opérer de la même manière, on obtien-

( 95) dra évidemment les /i + 1 équations suiTantes :

OU

— ««+2 Wi -f- fln+i nti — . . . db «2 w„Hi = o ,

«in-f-î «J/i+i «i 4- ^»« Wi — . • . ± ««+1 /W,^., =: O ,

Observons que les a, , «,, . . . , a„^., seront les racines de Féquation

^+1 — x^nfy -j- x""~' ///j — . . . nt Wn-n = o ,

ou, si l'on veut, de Téquation

or""*"' af* , , . X ï

rt,

^3/n-2 ûrjn^., .

que l'on obtient en éliminant les w,, mg,. . . ,w„^.j de la précédente et de (91). Parla résolution de cette dernière équation, on aura les valeurs de ai , 0^^ , . . . , a„^i ^ par suite les équations (90) feront connaître c, , ^fî.»-,^n+i5 d'où Ton déduira finalement les valeurs requises de /^i, P*? • • • 9Pn+i^ ^1 ? qif "9 9n+i. Remarquons que l'équation (92)9 moyennant une transformation dont on a déjà fait usage, peut se réduire à

<7i ;r — fifj

Considérons l'équation différentielle linéaire du n'^""' ordre

rC).

, r^«-0 +. . .-f- A./ -f. AoJ=: o,

dans laquelle A„i , A„s , . . . , Ao sont des fonctions de la

(96) variable par rapport à laquelle sont prises les dérivées. Soient y^y Xty^fjn ^ intégrales particulières de cette équation. En posant

«ir; -H^^r;' -h... + ^«r,

on aura

ou bien, en tirant des équations précédentes les valeurs de ai, Ot,. . ., a„ et les substituant dans cette dernière^

- 1 /vf" ^

où Ton a fait

Xn

En différentiant ce déterminant, on a

et, par suite;

(97) d'où

Cette formule est due à M. Liouville.

Au moyen de Téquation (93), on obtient facilement les suivantes :

d'où résultent ces autres équations :

dans la dernière desquelles r peut prendre les valeurs 3 ^ 4, . . . , 71. n suit de là que dans l'hypothèse de û = o, on

(98) An — 1 équations qui fournissent les proportions

dA dA dA

et, par suite,

dA dA dA

rfr;-" rf^r' '^rr"

«1 , ofx, . . . , a„ étant des constantes. Ces valeurs^ substituées dans Féquation identique

dA dA dà

donnent

«1 Ji 4- a, j, 4- . . . + dnXn = O.

L'équation [gi) conduit encore aux suivantes : ( dA y dA dA'

( dA \ __ dA dA' /d^Y^dA'

En différentiant la pénultième une fois, Tantépénultième deux fois 5 et ainsi de suite, puis ajoutant les résultats, il vient

Applications.

1*. L^équation

(99) peut s'écrire sous la forme

ou bien , en posant

Observons que , d'après les relations qui régnent entre les coefficients d'une équation différentielle linéaire et les intégrales particulières de cette même équation, les exprès-* sions J^i 5 J's5 • • • iyn-\ sont des intégrales particulières de l'équation

rl"-*^ -h B„,rr'^ + • • • ^ B.^: 4- Bor„= o,

etqueconséquemment, en vertu d'une propriété connue des équations différentielles linéaires , l'intégrale complète de l'équation (94) sera

/t. = J. «I h- J2 «j H- . . . + J„-i a„-i , OÙ

Ainsi , connaissant n — i intégrales particulières ne équation différentielle linéaire du n'"^'"* ordre, on pourra déterminer la n'*'"* au moyen des premières. Cet important théorème est dû à M. Malmsten (*).

2®. En désignant par jr, y. z les coordonnées d'un point

C*) Crellë, Journal /tir die Mathematik, Band 39.

d'une ligne à double courbure, par r, p les rayons de courbure et de torsion, et faisant, pour abréger,

^iv yxy y^^

on a

r i { , dL , (là , ^à\ - = — Lr' h r 4- z I <

jlà p m* \ dx^" " dy^

les dérivées étant prises par rapport à l'arc. Pour déterminer la courbe pour laquelle le rapport - est constant, on dériva cette dernière équation , ce qui donne*

/ / , ^A , rfA , d^\

i ^ , ( , dta dû. , dti\

Mais des équations

x^x'^Jt-fy"' + z'z'" = —m\

on déduit

Ay=-m(^m— +3m — ), , / dû. . , rfA\

et si Ton multiplie ces dernières respectivement par x',y^ z\ et qu'on ajoute les produits, il vient, en ayant égard à (95),

( loi )

et , par suite ,

ax* H- hy' -^ cz' =z k ,

a, b^c^k désignant quatre constantes arbitraires. La ligne cherchée sera donc une hélice tracée sur un cylindre dont les génératrices sont parallèles à une droite donnée (*)

§ X. — Des déterminani s fonctionnels.

Soient j^,, y, , . . . , y„ 5 n fonctions indépendatites entre elles de n variables Xj, jc,, . . . ,a:„*, en formant les dérivées partielles du premier ordre de ces fonctions par rapport à chacune des variables indépendantes, on obtient n^ quan-

dYr

lilés analogues à -- = j,. (^r^). Le déterminant

se nomme déterminai:^tybA/r//ow/2i?/, ou déterminant de» ûîéiwées partielles du premier ordre des fonctions j^, ,^2, . . . -yn par rapport aux variables j^j, jtj, . . .., o:^.

L'ordre du déterminant fonctionnel est égal au nombre des fonctions , et il ne devient moindre que lorsque quelques-unes des fonctions coïncident avec certaines des vadiables indépendantes. Par exemple, si Ton avait

le déterminant se réduirait à

il serait conséquemment de Tordre i\

(*) MoNGEy. Application de VAnaljse à la Géométrie, 5* éd|t , Note I.

Si l'on déduit des équations

yn\^ii ^iy • • • > ^») = Jfn >

les valeurs de .r^ x%^,.,^x,^eil que l'on conçoive ces valeurs substituées dans les mêmes équations, on obtient par la différentiation

et si , dans la valeur trouvée pour Xr , on met pour J^i , /s , • » ' y Jn leurs valeurs, on aura les équations

(/,(^r)<(r.) +y, W-'^^CrO H- . . . + r;(^r)<(r«) = i,

(y. W<{r.) -h/, N^;W +• • --HrlW^W =0,

D'après cela , si Ton représente par Q le déterminant 2[±^'.(r.)<(jO---<{r»)], on aura par la règle de multiplication des déterminants PQ = i.

Si d^ns la secoiide des équations (96) on fait f = 1, 2,..., «, on obtient n équations desquelles on déduit

et semblablement de (97) on déduit

( io3 ) par conséquent

En représentant par S le déterminant à éléments réciproques du déterminant P, et observant que pour i:^o, r = 5, r4-c = /ï-4-i, l'équation (48 ) donne

c'est-à-dire

On aura , d'après l'équation (99) ,

et semblablement

En différentiant le déterminant Q par rapport à y,,

on a

ou bien, d'après Téquation (98),

ou encore

É?Q ^-Ki^s)

df^,~^ ^ rf^, '

et comme PQ = i , on aura

1£ P2 ll!ki^^--o

Mais

donc, en substituant, on obtiendra

aXr

ce qui , en vertu de ( 99) , peut s'écrire

Remarquons que, d'après cette dernière équation, l'ex^ pression de P, savoir

pourra se mettre sous la forme

p , d.o.,^yy, d.as,%ys d,a,^^y.

Supposons qu'entre les variables Xi , Xi, . . . , a:„ et les fonctions y^ , y^y • • • j J^»? il existe les équations

Ti = o, Ç2=0,. . ., f„=r o.

Si Ton déduit de ces équations les valeurs de J^», y», . . .,j'„, et qu'on les substitue dans ces mêmes équations, elles seront identiquement satisfaites, et l'on aura, en conséquence,

Il en résultera par la règle de multiplication

\ dy, dj^ dy^j ^ ' \ dx, dx^ dx^j

( «oS )

jipplication.

Soient Ai , Âi,. . . , A„, n fonctions des variables x., , x^^ . . • , x„, et considérons l'é<^ation aux différences partielles linéaires et du premier ordre

(io3) K^y'r (.^.) -4- A, 7; (^,) + ...-+- A„y^(ar„) = o.

Supposons que jTj, jr„...,jr^j ,^^+1,..., j„ représentent n — I solutions indépendantes entre elles de cette même équation \ on aura par la substitution n — i équations identiques , d'où Ton déduira les proportions

Al I A3 I • . . t A« = «r,! I «r,! I . . I «r.n.

En nommant M la valeur commune à tous ces rapports, on aura évidemment

et d'après Téquation (101) on aura

, ,, rfMA, £/i\IA, . dyikn

La quantité M qui jouit des deux propriétés exprimées par les deux dernières équations a été nommée par Jacobi (*) le multiplicateur de l'équation aux différences partielles (io3) ou du système aux différentielles ordinaires (i o5) 'Tc\ : ^'i : ... : •^';j= A, : A,: ... : a„.

Supposons maintenant que

iB.=:A,y,(.r.) -HA,/,(.r,)-^...^ Kj\Wj, Bj= A,y,(.r,) + A,y,(.r,)-h. . . -f- A^j', (.r„),

(*) Mathemalische ff^erke. Band I.

(.06) oùBi, Bjj.'-jBn sontdesfonclions'deyi,y,,...^j<^„. Endifférentiant ces équations respectivement par rapport à y^ , j^j, . • . ,y„, ajoutant les résultats et se rappelant que

^ ^^yÀ^s) x rfp

il vient

^ dK I /, ^P . ,^P

et comme PQ = i , il en résulte

I dV^ i dq P 5?^ ~ "" Q dxr' On aura encore

Or, par (io6) , on a, quel que soit M ,

par conséquent, en ajoutant à cette dernière équation la précédente multipliée par M, il viendra

£^.MQB. e/.MQB, ^.MQB„

( 107 ) Observons que, à cause de

on déduit du système (io5) le système équivalent

Si

sont {n — a) intégrales du système (io5), les quantités Bi, Bs,.,., B„j seront identiquement nulles et l'équation (107) deviendra

Supposons que le multiplicateur M soit déterminé de manière à ce que

r/.MA. </.MA, d,MAn ___

dxx dxi * dxn

on aura, pour celte valeur de M ,

dyn-K dxn *

c'est-à-dire MQ sera, comme on sait, le facteur propre à rendre intégrable Féquation

et, par suite,

y*MQ(B„j'^^,~B„,r;) = const.

sera la dernière intégrale des équations (io5).

Il résulte de là que, étant données n — 2 intégrales des n — I équations (io5), et connaissant une valeur de M qui

( >o8) vérifie réquation (loS), la dernière intégrale desdites équations dépend simplement d une quadrature. Cette propriété, découverte par Jacobi , a été nommée par le même auteur principe du dernier multiplicateur.

Voyons maintenant comment on pourra déterminer la valeur de M dans le cas du système des équations de la dynamique.

En représentant par T la demi-somme des forces vives, par U la fonction des forces, ces équations peuvent, comme on sait, se mettre sous la forme

dt ~" où il faut faire

dt dpr ' dt dqr '

En posant

dpr ^^'' d^r "^^

ces équations reviennent à

Par conséquent Téquation analogue à (loâ), au moyen de laquelle se trouve déterminé le multiplicateur M corres» pondant à ce système d'équations , sera

dM dt

rf.MP,

■^ dg.

dqn

dp,

dp-,

dpn

équation

qui,,

\ cause de la relation év:

idente

^Pr

dqr

'^- — = o, dp.

( ÏÛ9 ) se transforme dans la suivante :

d^ ^ d^S. ^ rfM ^ €/M ^ dM

Cette équation étant satisfaite quand on suppose M constante, ou, pour plus de simplicité, M égal à i , il en résulte que le multiplicateur correspondant aux équations de la dynamique, mises sous la forme ci -dessus, est égal à l'unité.

En multipliant les équations

r't (-^i)»! +y,(^0 "2 4-.. .4-r a [Xn) «« = fj,

respectivement par

on obtiendra, d'après (97),

et pareillement , en multipliant les équations

7'. («.) «1 + /, { J?.) Wi -H . . . 4- rl(^i) «« = «'i )

jr\ {xn) a, + y\ [xn) «1 4- . .4- y'^[xn) a, = i'» par x\ (y,), x, (j,), . . . , < (/r), on aura, d'après (96),

Ur = p. X, [yr) 4- •'a ^', [yr) 4" • • 4" «'n < ( Jr).

Posons

(,io)

En faisant dans cette dernière équation 5=i,253,...,/z, on obtiendra n équations , d'où l'on déduira , d'après ce qui a été démontré plus haut ,

x'^ [Xr) = Er,, y, W -h E,,, y\ (a:„) 4- . . . H- E,,^/^ (x«). Multipliant ces équation^ respectivement par y^ («^i)?

rrl^s)^- • -^/r {-^nlî OU par/, (x,),/! (X,),. • m/x (^^n),

et ayant égard à (96), (109), on obtiendra les deux suivantes :

Er,i Ar,i -f- Er,i A,.,, -J- . . . -f- Er.n Ar.n = 1, Er,i A,,| 4- Er,î A,, a + . . . -H E^,» A,,„ = O,

d'où, en posant

A|,i A|,a. . • Ai,ii Aj,! Ai,a. . . Aj,,,

■Aji,i An,2« . • A/j,n E|,i E,,j. . . Ei,B

Ej,! Ej^j. . . Ej,„

lî//i,2 • • • J^n.n