HL. = Y.-— 4-Y,— ^ + ...+ Y
Si dans Téquation (m)) on fait r= i, a?* • -^ n^ on obtient n équations d'où Ton tire
r X. = L, a:\ (7,) + La x\ (j,) + . . . H-L„ x', {/„),
I X, = L, j?; (^,) + L, x\ (y,) -h . . . + L„ jr; ( j„),
et l'on déduit aisément de Téquation (lia)
Li Er,i -f- La Er^a -f- . . . -h Lit Er,n ^= Yr«
En difierentiant les équations (ii3) par rapport à Xi^ Xty . . . , x„ respectivement et faisant la somme des résultats^ on obtient
*■ dxr dy, djr^ "' dy^ ' *■ dxr H-L,2r-— 5 |-...4-L„2r — :j »
dXr dXr
OU bien, en vertu de (loo),
\ dy, dy^ ' ' dy^
équation que Ton peut encore , à cause de PQ = i , écrire sous la forme
dxr \dy, dy^ dyn ]
l d? ^ dP ^ rfP\
et comme, en multipliant les équations (ii3) par -j-»
dV rfP . , . ,
et ajoutant les résultats , on a
^ dV ^ d9 ^ dP ^ dP ^ dV ^ dV
dxx da:2 dxn dy^ dy^ dy^
il vient, en substituant,
^ IdU dL, dLn\
\dy, dy, dy„J
^.X,P , d.X.l? d.XnP
dXi fiXi dxa
( ii3) Au moyen de réqualion (i i4)) on obtient une transformation générale de Técjuation aux différences partielles du second ordre à n + i variables ,
laquelle transformation dans le cas de /» = 3 correspond à celle qu'a trouvée Jacobi au moyen du calcul des variations (*) et comprend par suite comme cas particuliers cellequeFon doit à Laplace,à M. Lamé et à M. Cauchy {**). Si Ton suppose E^,, = o, on a
Q=:V'(E,,, E,.,...E~ HL, = Y, -— -, et, par suite,
Soient
■r, = j, C0SJ2,
X2 == Xi sinj, cos j^3 , ^3 = Ji sinj^a sin j, cos^^, . . . ,
Xn-, = ri sin^jsin^3... sinja-, cosj^„,
Jfft = Xi sinjî sin j:,. . . sin y,, ;
on trouve aisément
Er,5 = o
et
E,,, = i, £2.2 = /;, E3,3=j'sin'/2, E4,4 = xJ sin'72sin\r:„..-, E„,B = JÎ sin' j, sin' ^3 . . . sin'7„, ,
(*) MathematUche Werke. Band. II.
(**) Journal de l'École Polytechnique, XXIII* Cahier. — Exercices d'A^ nalyse et de Physique mathématique, tome II.
et, par suite,
L, Q ==r''~' sin"-' jj sin"-2 ^3 . . sin j,i, -r- , I «Ta
r/F LrQ=r"""'sin'^*/,sin"~*r3-- sin"-'^-»j^r-iSin'»-«^r... sinj^„«, --.
Pour le cas de n = ij on obtient
d'F d^F d^F '^ ' drs
JTj»
ce qui est précisément la transformation connue de Laplace.
De la seconde des équations (109), on déduit par la différentiation
et celle-ci ou Ton fait
2 \ r/rm ^(t/- ^^r. / *
fournit
d .x',(jrr)
dym
\ d.T!Ayr) (ii6){ rfr-
= M,y, (x,) 4- M,y, (*,) + ., = M,y, (x,)^-M,y,{Jt,)^-•
dy„
Considérons maintenant le déterminant
■A-î Aj^i A.2^2 . . • A.s,tt
o X, Xî . . . X„
dans lequel X,,^ = X^,, = -^-^ > et observons qu'on peut l'obtenir en faisant le produit des deux déterminants
r'xM Xii^t) ... x\M o
Yi «1,1 rti,s ... «i,n
Yj «2,1 ûi,î • • • ^«.n
Y„ «ff,i fl«,» ... tfa,n
«/Xr
dans le premier desquels on a posé û,.,, = ---r^' En multipliant le premier de ces déterminants par le déterminant
o *i(rO ^'2(72) ..- <{rO
(1.6) et posant
(117) fl|,r X, {/,) + fl,,r *', (/i ) H- . • . -H ««,r X^ {y, ) = hr,s ,
on obtient
hi,i A,,, . . . /i,,„ Y,
An,l An,2 . • . An,« Y»
et comme , d'après les opérations exécutées , on a évidemment S = VQ*, il en résulte
Remarquons qu'en difïeren liant l'équation
Y, = X.a:',(/,) + X,a:',(r,)+...-hX„<(j,)
par rapport à r^, on a, d'après les équations (m), (t 16) et (117),
2 \ dyr djTs dy^j
d'où
A -.V 'tT / ^E,^« , ^Er,„ fi?E,,r\ Ar,* = Yr,, — - 2«L« I — h — ,
* \ ^jr ^r^ dj^ )
et par conséquent le déterminant V se trouve uniquement exprimé par les fonctions Yj , Yj ,..., E^^, et leurs dérivées. Si dans l'expression
2 *" *" \ e/j, dys dy^ )
on substitue pour L,„ sa valeur (i 12), il vient
et comme, d'après (109), (ii5), le déterminant
I /rfE.., dEr,,. dE,A du ^'nX dfr dy. dy^ /rfE«„
résulte du produit
Q ^ ^;(j. ) *.(jO- • • *'.(r.-.) ^^^^ ^;(r,-+.)... ^Ur,)
en représentant ce dernier déterminant par ^*^N,^^ on aura, Dans le cas où Yj = Yj = . . . = Y„.i = o, Y„ := i , on a
