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et en posant ^"^N,,^ = A,,,= ^r,/ > il en résulte
^1,1 ^1,2» • • ^l^ir— 1
Pour « = 3 cette expression reproduit la forn^ule connue de Gauss pour la courbure d'une surface (*).
(*) Nouveaux Mémoire» de la Sociclc royale des Sciences de GoUinguç^ tome VI.
( '«8) De réquatiou (loa), on déduit deux formules d'un grand usage dans la théorie des déterminants fonctionnels. [Si de s quelconques des équations
ja (ar, , Xj , . . . , j?„) = ^-2 ,
\ Xn ( -^i » ^2 > • • • i ^n) ^^^ Xt* »
on tire les valeurs de x,.+i, J^r+«7- • •? ^r+s^ et qu'on les substitue dans les (n — s) autres équations, on obtient
^r'=^Xr ^r ( J?i > . » • y^rt Xr-i-t » • • • > rr+« 9 *r+i-4-| > • • • » ^n ) = O , fr+l=rr+l— rr+1 (^M'îFî,. . • , X, ) == G ,
^r+s = Xr-t-s-— Xr-hS (^i , ^^^ - • . , ^« ) = O , * ?«= r» J^n ("^i > • • • ) '^rj ^/-i-i > • • • > Xr+s > *r-i-i-i-l > • • • > *ii ) = O .
D'après la forme des fonctions (pi , (j», , . . . , il est évident que
dt^^dffi r/<p„\ d(fi dff2 d9„
\ ^j, ^/2 </j„/ "" dy^ dfi
flXn
et comme -ri- = i ,
^Xr
on aura
(«■9) D un autre c6lé, si l'on observe que
dfif, d<fi __
dXr^, dXr+x ~
dXr+2 ~~ dJCr+^ ~
d(f, dy-i
dXr+, dXr+s
dXr^t dXr+s ' dXr+i
on obtient
\ d.r, dx, d.r,J
dvt ^?i
dff dif,
dXi dxr
dxr+s+t dx„
d^r-^y dtfr+x dXr^, dXr+^
dfr+3 d(fr+2 dXr^i d.Tr^^
dffr d<Sfr
dxx dr^
dffr d(fr
dTr^s^, dxn
dXr^
dffr+2
drr+,
dxt dXr
dtfr^, d(fr+s dVr^i dXr^2
d<fr+s
dxi dr^
dffn dffn
d.rr+s-i.1 dxa
dVr+s
Maintenant, d'après les équations (119), donc, en se rappelant l'équation (102), ou aura la suivante:
P= 2 |±:[/. (^.)]. . . [ÏMr)] [/.M-.. (^r^^H-.)]. ^ . [r: W]}
où l'on a mis entre parenthèses dans le premier déterminant du second membre les quantités y\ (xj), j\ (xs), . . . pour faire voir que les jj , j, , . . . , /,. , y, +.+i ,.-.,/« sont
considérés comme des fonctions de Xi, a:,, . . . , j:^ J^r+i? • • -•> /r+f > ^r+5+ivî ^n- PaF uu ppocédé analogue, on obtiendra
Si dans cette dernière équation, on fait 5 = i , il vient
Supposons actuellement que de la première des équations (118), on tire la valeur de Xx en fonction de 2^2, Xs, . . . , Xn^ et qu'on la substitue dans les autres \ de la seconde, la valeur de x, en fonction de Xj, 0:4, . . . , x„, et qu'on la porte dans les suivantes , et ainsi de suite. Ces équations prendront la forme
et comme on a évidemment
2 f-f- £21 î?[l.^ . . 1j?!î\ — £ïi ^». ^
on aura encore, diaprés Téquation (loa),
les parenthèses sont destinées toujours à mettre en évidence la composition desj^j, y^^, , ,^y^.
Application.
Désignons par A^,, le déterminant
Si dans la fonction ^,„^, on introduit les j^i, /j, . . .y^ à la place des Xi, a*s, • • . , a:,„, on a par la formule (i?'i)
et, par conséquent,
et en ayant égard à (lao)
2 (± A,,, A,,,... A»^,^) = P XJ2[±/.(x.)/,(x.)... />„)]}-
Supposons t)n a dans ce cas
^«,1 ûm,2 • • • ÛM,ifi ^m,fli4-« ^m+r,! ^m+r,2« • • ^m+r,m ^fln-r,j)i-f
et 5 par suite ,
«1,1 «1,2-.. «!,« «M «2,2 . • • fl2,m
rt — m — I
La propriété qu'exprime cette formule est due à M. Sylvester (* ) . Si dans celle même formule, on fait m = » — 2, on obtient une équation qui est un cas particulier de Téquation (14) du § in.
Si les fonctionsyi,y,, . . . , j„ ne sont pas indépendantes entre elles, mais sont liées par exemple par une équation
il est visible que le déterminant P sera égal à zéro. Cela résulte immédiatement de ce que Ton a dans ce cas n é([uations analogues à
Au moyen de 1 équation (121), on peut démontrer la proposition inverse, à savoir que si le déterminant P est égal à zéro, les fonctions j^i, 7^1, •• • ^Jn ne sont pas indépendantes entre elles. Nous supposerons que la propriété a lieu pour le déterminant du (n — i)**'"'- ordre a,.,^, et nous prouverons que dans cette hypothèse elle a nécessairement lieu pour le déterminant du n**'"' ordre P; de façon que, lorsque cette propriété sera démontrée pour le déterminant du second ordre, elle le sera par là même pour le cas général. Observons que si P = o, on devra avoir d'après (121) ou [yl (^r)] = O) ou <Xr,r = O. Dcius Ic sccoud cas , d'après
l'hypothèse admise les j^i, j'„ . . . , jr-15 JV+i? • • • 5 /« ne seraient pas indépendants entre eux , ce qui ne peut avoir lieu si l'on se reporte à la manière dont a été trouvée la même équation (121)^ donc il faudra que Ton ait
{*) Philosophical Magasine y i^5i.
c'est-à-dîre qnejTr sera exprimable au moyea des fonctions Ji . Js , . . . , rr-i > /r+i ,...,/„, et conséquemment les fonctions j^i, /t»-«M J« ^^ seront pas indépendantes entre elles.
Actuellement le déterminant du second ordre
est égal, d'après (121), à
et comme la fonctionnai contiendra en général la variable ots, si le déterminant est nul, il faudra que [y, {x^ ) J le soit aussi, et, par conséquent, les fonclionsj^i,yj ne seront pas indépendantes entre elles.
La formule (102) donne la valeur du déterminant P, lorsque entre les n variables x et les n fonctions jy-, il existe 71 équations y = o. Supposons présentement que les fonctions y et les équations (f = o soient en nombre plus grand que les variables jc, et cherchons à déterminer la valeur du déterminant P. Soient
fl =0, (f2= O,. ., (fn+r= O,
/i -H r équations qui ont lieu entre les n variables x et les fonctions ji, j-j, . . . , jn^r de ces variables. En tirant des équations ç^^.! = o, op^^., = o, . . . , (p„^.,. = o , les valeurs dejTn+t^ yn+iy* • «5 ^n+r et Ics substituaut dans les n premières équations , on a
<p, (j:,, .Tj, . . . , a:„, /i, /2 , . . . , j„) = G ,
?«(.»"i, .r,,..., .r„, /.jj.,,.. .,y„)=ro.
