IM

Ces /} équations donnent, d'après la formule (102) ,

où les dérivées sont mises entre parenthèses pour rappeler la composition des çpi, f,,..., (f^. Remarquons maintenant que

[— \drj \dxj' ' \dXnl\. \—d.T, dv, " d.vj'

et

que

\ dxt dXi dx^j \ djTn+x dyn^i dyn+r]

en observant que td^\ ^ Id^ ^ ^ /d^\ ^ ^ ^ fdj^\ ^^

D'ailleurs on a évidemment

\-dy, dr.'" dx„J ~ l-\drj \dyj" \dxJ\

'^ \ dya+y drn+2 dyn+r) ^ donc Féqualion (laS) deviendra

\ dy, dy:, dy^^r) ce qui fait connaître la valeur de P.

( 'a5) Si les quanti tés j'uys, . . . , y^„ étaient des fonctions composées des variables Xf, Xj,..., x„, c'est-à-dire si elles étaient des fonctions d'autres fonctions fi, f,, • . ., (p„ des variables Xi, x^,. . . j x„, l'équation (loa) donnerait évidemment

\ dffi dffi dff^l \ dx^ dXi dx^j

et si les fonctions composantes f étaient en nombre plus grand que j^i,y,,.. .,j)^„, par exemple si elles étaient en nombre m }> /i, on aurait , d'après l'équation {6i) du § Vil,

"" L \ ^?^ ^?r, drSirJ " \ dx, dx^ ■ rfx„/J'

équation dans laquelle la première caractéristique S se rap* porte à la somme de tous les produits analogues à celui entre crochets , et que l'on obtient en mettant à la place des indices rj , rj , . . . . r„ , n quelconques des nombres

Supposons qu'entre les variables Xi, Xt,. . ., .r„, Ton donne /i équations

où les a sont des constantes , et que par des transformalions faciles à apercevoir, on réduise ces mêmes équations à la forme ,.

ç, (a:,, ^2, . . . , Xn^ a,, aj, . . . , ûf„) = a, , çj (x,, Xj, . . . , J^n, a„ aa, . . . , a„) = aj,

«p„ (.r„ Xa , .r„, a„ a,, . . . , a„) = a„.

Les «1, «î,. . . 5 a„ pourront être considérés comme des fonc-

lions implicites, et par la formule (102) on aura

-[*fê-)(è.-)-(è-)]

Par conséquent le déterminant fonctionnel P ne changera pas de valeur dans cette transformation toutes les fois que Ton aura

comme ce serait le cas , par exemple, si yi était indépendant de «i, y, de «i, a„...,(p„de aj, a,,.-, ««•

Application,

On déduit de Téquation (i2t4) la formule générale pour la transformation des intégrales multiples. Considérons l'intégrale multiple du n""' ordre

u^Çti 4ri- • dfny

et supposons les j^i,j^i,,,.,j^„ liés à n autres variables Xi, Xt^.^.^Xn par les équations (122). En généralisant la règle ordinaire pour la transformation des intégrales simples [ comme cela se pratique habituellement dans la recherche des formules pour la transformation des intégrales doubles et des intégrales triples (*)], on obtient

c'est-à-dire, d'après (»a3), (i24)>

p U dx^ dy,... du = /*" U . Prf.r, dx,. . . dx„

{*) BoRDONi, Lesioni di Calcolo sublime, tome I.

ce qui est précisément la formule cherchée. D'une manière analogue, on aura

Cette dernière équation , d'après la seconde (109), peut encore s'écrire,

1 U É^a:, dxi. . . rfjr„ = / V^dy^dy,. .. dy^,

et dans l'hypothèse de E^^^ = o, on aura

jl]d.r,d.T„.,dj:„= P Uy^E,,. E,,,... E„.«'df/, df/,... <//„.

Supposons que les équations qui lient les jt et les y soient de la forme

yr — «I Jr — «J Xr — «i.

où ai, as , . . . , An sont des constantes. Ayant fait

on a , comme on sait ,

et, par suite, en difïérentiant par rapport kj,.

lou

/if'[a,){a,-y,f

et

4/ (^«) (û«--rr)(«n— rO

Maintenant, si l'on se rappelle les formules

/(rr) /'(«.)(«.-rrr V'(aO(^.-r^r'^•••

on a

E — o F - ' *^(rr)

et, par conséquent,

.. Ms/P'(r.)F'(r.)...F'(rn) ,T. ,

Au moyen de cette formule, M, Catalan est parvenu à

( »29 ) étendre aux transcendantes abéliennes quelques-unes des propriétés appartenafit aux fonctions elliptiques (*).

§ XI. — Des déterminants de Hesse.

Soit u une fonction entière homogène des n variaUes jCj, Xj,..., jc„. On désigne par m,, fis,..., i/„ les dérivées premières de u par rapport à chacune de ces variables, et par i/,,i; Wi,î,." les dérivées secondes, en sorte que

Ur,, = U,r =

dXf dXf

Le déterminant

«2,t Mî,j. . . «2,«

est appelé Yhessien de la fonction m, ou le déterminant de Hesse, à cause de l'important usage qu^en a fait M. Hesse dans différentes recherches géométriques. Ce déterminant a été représenté par quelques géomètres par le symbole H„. U est évident que si la fonction u est du m'*"** degré, le déterminant t^ sera une fonction homogène du degré n {m — a).

Supposons que les variables x,, a:j,..., a:„ soient liées à n autres variables j^i, JKsvî J^n par n équations linéaires analogues à

Si l'on substitue ces valeurs dans la fonction it et que Ton

(*) Mémoirefl couronnes par rAcadcmie de Bruxelles , iS'^ r

( ï3o ) pose

on aura

En effet, en différen liant la fonction u par rapport à jr^ il vient

(la

dXr

et en différen liant cette dernière équation par rapport kj, et par rapport à a:,, on obtient

d^u du y dUi dun

r/j,r/j, rfv, ' dy, ' ' " dy,

d^u dyrdx.

D'après ces relations, et en s' appuyant sur la règle connue de multiplication des déterminants, on trouve aisément les deux équations

/ ^ d^ii d^u dUi \

\ (fx^dyx dXidyi dx^dy^j

~ ' \ dxydy, dx.dy^ dxr,dy„/

dont là comparaison donne immédiatement

Si la substitution était orthogonale, c'est-à-dire si les coefficients Or^s satisfaisaient aux deux équations

on aurait

P = ij et par suite K = c

Dans le cas d'une substitution quelconque, si la fonction dans laquelle u se transforme par cette substitution est indépendante de Tune quelconque des variables ri 7 J^si • • • 9 J'nj le déterminant v^ sera identiquement nulj car si la variable manquante était, par exemple j^^ on aurait

dfx dfr d)., djTr ' ' dXn dfr

ce qui donnerait

K = G , et par suite aussi p = o.

Réciproquement, si le déterminant i^ est identiquement nul, on pourra, par une substitution linéaire, transformer la fonction u dans une fonction homogène de (n — 1) variables j^i,^^,,..., Yn-i' En effet, f^ étant égal à zéro, on aura, d'après Téquation (i4) j

dç dv ( ^^ \^

dUr,r dUs,^ ~" \diir,s) '

et par suite les éléments réciproques du déterminant ^ admettront un facteur commun M du degré [n — i){'w — 2); en sorte que, en désignant par a^, a, deux constantes, on aura

Maintenant u étant une fonction homogène du degré m, on a , comme on sait ,

1 tf3,,X, H- «,,jX2 +. . .-h ll2,n3Cn = (/W — l)«,, i >

\ Ur,,y.Vi -f* n„,-:X, 4-. . . -f- w«.„^„ := {m — i)«„,

d'où l'on déduit, eu général ,

dv (h * dv

m — 1 </«i.» dii,^, dtt„,

et quand on supposera

on aura, d'après (i3i6),

Faisons, dans la fonction ii ,

j:, = z, -h >«! , -^2 = Zi 4- Àa-i, . . . , ar„ =r «„ -f- >a„ , OÙ

Zr = /z,,,r, 4- «j^rjî 4- . . . -f- a„,,r J,,-l ,

et où A désigne une constante indéterminée. En développant, on obtient

U =z w A- \iXf* '\ w' -\-, . .4-

en supposant que \v représente ce que devient u, lorsqu'on y met Zi, ^j,..., z„, à la place de arj, arj,..., x,,*, et que w' représente la valeur de

sous la même condition. Comme ensuite

dw' dw' dw'

wCn) — ^ a, ^ ^ a, -h ... H a„.

azi az^ az„

lorsque l'expression a, m, 4- «2 Mj 4- . . . 4- a„ «n sera identiquement nulle, il en sera de même de w^ et par suite aussi de w", w^'\ . . . , w^'"\ ce qui réduira le développement précédent à Z4== w, c'est-à-dire que la fonction u dans le cas

( »33) (le ^' idcntiquemeul nui peul se réduire à la fonction homogène w des n — i variables j^^ j^^. . ,^ y^^i , comme on l'avait annoncé.

Cet important théorème, que Ton doit à M. Hesse (*) , a été appliqué par le même auteur à la démonstration des deux propositions suivantes :

1*^. Sî u=o représente l'équation rendue homogène d'une courbe plane du n*'"'' ordre, Ja condition nécessaire et suffisante pour que la courbe se réduise à un faisceau de m droites , est que le déterminant i^ soit identiquement nul.

2^. Si u =: o représenté l'équation homogène d'une surface du m**'"*' ordre, la condition nécessaire et suffisante pour que cette surface se réduise à un cône est que i^ soit nul identiquement.

Des équations (1^7) , en faisant - — = U,.„, on déduit

d'où, en diilerentiant successivemerit par rapport à x, et par rapport à x^, les indices /- et s étant supposés inégaux ,

Par conséquent , si «i = 1/2 = . . . = w„ = o , comme alors 1^ = 0, on aura i^,.= o, quel que soit r -, et de l'équation (i4) il résultera

OJCr dXr dXr

(*) Crelle, Journal fût- die Maihematik, Band XIJÏ. i85i.

( .34 } équalion qui est satisfaite quand on prend

N étant un facteur commun à tous les éléments réciproques du déterminant ^^. En dîfférentiant de nouveau l'équation (128) par rapport à a:,, il vient

^'* '^ yixsd.r^ ' (Ixsdi'i ^ **' dx^âxi 'j

\ r/.r, a.Vi (tri /

en faisant attention que Ton a identiquement

dlJ^r dxs

dxg

dx.

\ dxi dXi d.vi J

à cause de la relation connue

Actuellement si w, = «,==.. . = «y„= o, d'après (i3o), on a

OU 5 en substituant les valeurs (129) ,

OU enfin , d'après une propriété connue des fondions homogènes ,

Vs,i== — (m — i}{m — 2)N. w,,/.

Il résulte de là que lorsque les z/j , W2 5 • • • 9 f^n sont égaux à zéro, non-seulement Thessien de la fonction w, mais

( «35 ) encore ïhessien du même licssien, c'esl-à-dire de u^ sont aussi égaux à zéro. Dans le cas de /i = 3 , les équations Ui = Ui = u^=zo sont satisfaites, comme on sait, aux points multiples de la ligne représentée par l'équation m = o ; et comme on doit avoir pour ces mêmes points ^^ =: o , ils résultei'ont de l'intersection commune des deux courbes représentées par les équations u==o, 1^ = 0, et seront, en outre, des points multiples de la courbe ^ = o.

Supposons présentement que m = o soit une équation algébrique , entière , rationnelle du m'^""' degré des n — i

van

iables

• 9 -^n-i > t»t considérons le déterminant

Ui,7. . ■

«fl-

Un-i.

Uy

Si l'équation, m = o est rendue homogène en y mettant

—1 ~ V ? -^ à la place des variables x, , Xa , . . . 5 J^n~i ? x^ x^ x„

et multipliant tous les termes par j:^", on aura toujours les

équations (127) et

«, Xi -f- ttj X. . , .-k- Un -TTn = /?'« ,

au moyen desquelles on pourra transformer le déterminant H de la manière suivante : il est évident que

[m — i) ?/, «,,, Wi,î. . . «i,/,-i

O^ tt, «2... /r„^i

et comme en ajoutant respectivement aux éléments de la première colonne ceux de la seconde multipliés par — x^ ,

( '36) ceux de la troisième multipliés par — x%^ etc., la valeur du déterminant H ne change pas, on a, d'après les équations (127) et (i3i),

ou bi€

■^nfh^n «ï.l «2,2- • • «2,n-i

'^ttiln—\,n ^a—\,\ ^« — 1,2* • • ''rt— »,n— I

} Wu //„ — ///tt W, Uj, . . . tt„,

Observons que le dernier de ces deux déterminants peut s'écrire

[m — i) tti (/« — i) a.^. . . '(/w — 1) //„

donc en faisant subir à cette expression l'opération ci-dessus indiquée , on aura

«2,1 «2,2 • . • «2,ll--l

«B-1,1 «rt— 2^'»' ««— l,/l— I

( «37 ) De cette équation on conclut que pour les valeurs de Xi, Xj , . . . , qui rendent « = o eC H = o, on aura en même temps 1^ = 0.

Application .

En désignant par r le rayon de courbure d'une courbe plane représentée par l'équation ii = o , on a

Aux points d'inflexion de cette courbe, on a, comme on sait, r = 00 , et par suite H = o , ou bien , par le théorème précédent ,

"a.i «J.2 "ï.3 Wj.i "a.i «3,3

Cette équation représente une courbe de Tordre 3 (/» — 2) qui coupe la proposée en ses points d'inflexion -, le nombre de ces points sera donc au plus 3/n (m — 2) (*).

En désignant par r^ , i\ les rayons principaux de courbure d'une surface « = o , on a

Pour les points de la surface en lesquels un des rayons de courbure est infini , on a H = o , et , par suite ,

(*) Crelle, Journal j'ùv die Maihematik, Band XXVIII. — Salmon, On ihe kigher plane cuiveSj pajje 72.

( .38 ) Cette équation représente une surface du degré 4 (^f^ — ^)^ et la ligne d'intersection de cette surface avec la proposée a = o sera une ligne à^ inflexion ou la ligne des points paraboliques pour celte dernière surface (*).

Exemples. — Considérons l'équation des courbes du troisième ordre qu'on peut toujours réduire, comme on sait, à la forme

Il = fl, x] -f- ^1 -r] -h /ï:i j:^ -+- 6 A «r, JTj s. ^rr o ,

nous aurons

ce qui revient à

/i' [a, x] 4- û, .v\ + Oi .r\) — /./•, X, X-, = o ,

OÙ /: = «! ^1^8 H- sA'. Observons qu'en égalant à zéro l'hessien du premier membre de cette équation , on a

équation qui , en posant

3 //» X» == X -f- fx A% A^ — io8a, a, a, h' = 6> A — ftX-, se réduit évidemment à (i33) Xa — ^fAC'=o.

Les valeurs de A , (x se déduisent aisément des deux équations précédentes et ont pour expression

\ = ^h^(h^ — diOiO^y, p = SA" H- 20^1^2^3/1^ — a] a\ a].

{*) Gergokne, Annales de MiiihémaL'uiueSf tome XXI. — The Cambridge and Dublin M aihemalical Journal, i848-i8/|().

L'équalion (i33) étant évidemmenl satisfaite pour les valeurs de Xj , arj , x, qui rendent « = o, t' = o , il en résulte cette intéressante propriété que les points d'intersection des deux courbes w = o, i^ = o sont encore des points d'intersection pour la seconde de ces courbes (*). Cette propriété n'a lieu que pour les lignes du troisième ordre.

Désignons par %v une fonction algébrique entière, rationnelle de degré r des n — i variables z, , Zj,. ., ^n.i, et ayant posé

rendons homogène l'équation iv = o en substituant aux z, , Zj , . . . , z„i les rapports

tv^

iV,,^

on aura

tV,,2. . .

. Wn^i,n^i

+ (-)"-. TIÈT)-^'

V représentant l'hessien de la fonction w. Supposons que les variables x, , oTj, , . . , ar^» soient liées aux variables z^ Zj , . . . , Zn par les deux systèmes d'équations

tt, = Z, , tt] :=: £2 > • • • 9 **« = Z/i j

on aura évidemment «* équations que Ton peut déduire des

(*) Crelle, Journal f tir die Mathematik. Band XXVUI.

deux suivanles

^i,s «l,r + W-i^s «J,r 4- ... H- «'fl^j ttfl,,- = O,

en supposant r et 5 = i, 2, . , . , n. Ces équations donneront

(i34) Vp = i,

et pour les valeurs de Xi , a:, , . . . , Zj , Zj , . . . , qui rendent Il = o 5 1^ = 0, il viendra

X, 3, -f- XjZ, ^- . . . 4- .r„z, = o.

L'équation (i 34) fait voir qu'à ^^ = 00 correspond V == o.

j4 pplication .

Aux points de rebroussement d'une courbe plane m = o, on ar = o; donc par (i32) H = oo et p' = 00 5 donc

«'m ^^^1,2 Wl,3 "'2,« "'î,2 «^,,3 «'3,1 «^3,2 «'3,3

Les variables a*,, x,, .x'a, z^^ z^^ z^ étant liées par l'équation

JC, 2, -h Jr., Zj 4- jTj Z3 =r O ,

les Z|5 ^, , ^3 pourront représenter des coordonnées linéaires ou tangentielles , et F équation V = o appartiendra à une courbe de la classe 3 (r — 2), laquelle coupera les deux courbes m = o, ^v = o en leurs points de rebroussement. Par conséquent, une courbe de la r'^'"*' classe a en général 3r(r — 2) points de rebroussement (*). Pareillement pour les points d'une surface en lesquels un des rayons principaux de courbure est nul , on a V = o, et comme les

C*) CrellEj Journal fur die Malhvmalik, Band XXXVIII.

variables z, , z^^ z^^ z^ doivent satisfaire à

ces variables représenteront des coordonnées linéaires ou planaires, en sorte que Téquation V = o appartiendra à une surface de la classe 4 ('' — 2) , dont Tintersection avec M =: o ou IV = o est une ligne de rebroussement pour cette dernière surface.

Observons que lorsque V est identiquement nul, la fonction IV 5 d'après ce qu'on a démontré précédemment, peut, par une substitution linéaire, se réduire à une fonction homogène de n — I variables. Cette propriété pour /i = 3 et /j = 4 donne lieu aux deux théorèmes suivants :

1°. Si l'hessien du premier membre de l'équation tv = o d'une courbe plane rapportée à des coordonnées tangentielles est identiquement nul, cette équation représente une série de points situés en ligne droite.

2**. Si rhessien du premier membre de l'équatiou IV = o d'une surface rapportée à des coordonnées planaires est nul identiquement, cette équation représente une courbe plane.

En invoquant la théorie des polaires réciproques, on pourrait déduire ces deux théorèmes de ceux de M. Hesse énoncés page i33.