A ÊTRE INTRODUITE DANS L'APPLICATION PREMIÈRE

DC § III, PAGE l3.

Considérons le déterminant

O O O , .U/ Ûr-i ^ir^i

I O O O , , ^ rir^x Qr

D'après la formule (14)5 <>^ ^"^a

r. J^ ^'I>r d-Dr dDr dDr d Dr

dOrdOr-

dur dûr-x dnir-x dflr-^i

d'Dr

<ia,.dar—x

dDr

dOr

— /?,., Dr- 2,

dDr

dnir-x dtir—x

donc, en substituant, il viendra

dDr

dOr^l

= «,Dr a,

= — nir-x Dr 2 ;

Dr -= Or D,, — fir~\ W,. D;.j.

( 43) On voit par cette relation que le déterminant D,, pourra représenter le terme général d'une série récurrente déterminée; et comme, pour

/î, = rtj =r . , . = /?r, = — I , /7ï, = w, = . . . = /;?^, = I j

cette même relation devient

D^, dans ce cas particulier, sera propre à représenter le dénominateur de la r'*"*'' réduite de la fraction continue

fl3

De la formule (i4) on déduit encore

d^Dr dDr dDr dDr dDr

doxdor doi dur dct d^

(en appelant a l'élément zéro situé dans la première ligne et dans la dernière colonne, et (3 l'élément zéro situé dans la dernière ligne et la première colonne) 5 et si l'on fait

da, -^^' il en résulte en général

ce (fiii, pour l'hypothèse ci-dessus, devient

et fait voir que N^ est propre à représenter le numérateur de la r'^'"* réduite.

Par la formule (i3) relative à la décomposition des dé-

lermiuants, on a ensuite

Dr =: D,.,

doi da-i' • .dOf^s

— /«;., /?/;., Dr,-

daida^»' »dar.

résultat que M. Stern a fait connaître pour le cas des fractions continues [Journal de Crelle, tomes VllIetX), On doit à M. Sylvester la représentation sous forme de déterminants des termes d'une réduite d'une fraction conti-

nue.

On remarquera que les termes d'une pareille réduite sont des déterminants gauches.