DU § VIII, PAGE

Théorème. — L'équation

a, pour le cas de n impair, une de ses racines égale à i, et les>i — I autres imaginaires et réciproques deux à deux 5 et pour n pair toutes les racines sont imaginaires et deux à deux réciproques.

En effet, en substituant dans le premier membre de cette équation les valeurs (83) de Ci^i, f,,2,...j il vient

ou

et si Ton multiplie cette dernière par P et qu'on pose

y d'où X = ?

il en résulte

Développant cette équation au moyen des formules de la page 74) on aura pour n impair

-h «^2,-((3)P..,0« -+- 22i(('>Pi,.-)« = O,

pour n pair

«" -H 2»-' 2, {(«-=) P,-,,)q 4- ^""^ 2/ (^"""^P/.Oo -^ • • • 4- 2^ 2,((')P.,/). -h P. = o.

Dans le premier cas, Tune des racines de l'équation (a ) sera nulle, et les autres, égales deux à deux et de signes contraires, seront données par l'équation

(^)^.«^.^«-.2,.((«-2)p,^.).4....H.^2((-')P,,,)o + 2,(COp,^^^^^

où

y = 2' et m =^ — •

Or les coefficients de cette équation étant essentiellement positifs, comme détxîrminants gauches symétriques d'ordre impair, ses racines seront toutes négatives : ce qui démontre la première partie du théorème. La seconde se démontre de la même manière.

lO

En représentant par — y^ une quelconque des racines de l'équation (J) et écrivant f pour ^ — i, on a

ou

±r = a-h iby

a:^ = a — ib.

en faisant

I — Tv ,

Soit

a±ib = p(cos

ôrdb Jsinôr),

d'où

p» = «^ + ^»= ,, tango, = ^ = ^V^ ,

et, par suite,

v/rr=tang^Ôr;

on aura

2; ((' ) P,,i)« = tang' i 0. tang» ^ Ô^ . . . tang' - ©w, 2 a 2

2,- ((«-') P,.^.), r= 2,2, û;^^ = tang'i 0, -I- tang' i Ô, -+- . . . -+- tang*-©„.

Pour n = 3, réquation (i) donne, en ayant égard à (85)y

et Ton a

'-+-/?' + v^ = tang' - 6 y ou

— cosa tang-0, ;; = cosp tang-ô, v =: COS7 tang-9,.

( '47 ) en supposant

cos*a H- cos'p -f- cos'7 = i.

Pour « == 5, on aura

= tang* - 0i -H tang* - ô,.