QUELQUES QUESTIONS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE

(Extrait des Annales des Sciences Mathématiques et Physiques publiées à Rome. Août i854).

1*^. Soient /*(a:), <f{x) deux fonctions algébriques , rationnelles , entières et des degrés /?, m respectivement ; n^m. On représente par ar, , jTj , . . . , j:„ les racines supposées inégales de l'équation ^"(0:) = o; et l'on pose

/(a:) = «0 J:" -f- «I ae^' -f- «2 .î^~' -h . . . -H «« ,

Théorème I, — En supposant r<^n et ci) = r — e-f-i on a

(2) «0 Sr H- «1 Sr i 4- «2 Sr-.2 4- • . • + «r So = ^^.

Effectivement 9 si Ton représenie par M^ le premier membre de cette équation , et qu'on y substitue les valeurs de Sr, Sr^i 5 . . . , on obtient

mais

3) -^ =— (tf,a:^4-.û,^^ -h. ..4- ar-i^,4"<»r)

(voir à la fin de cet article) \ donc

ou bien

ou bien encore, en observant que

et sî l'on suppose r -+- 1 = e + c«) , cette équation donne

Dans les applications de cette formule , lorsqu'on trouvera w <^ o, il faudra faire M,. = o , comme cela résulte de l'équation (5).

L'hypothèse r = « entraîne évidemment M„ = o , et l'on a en même temps

( .53 ) Dans le cas particulier où f (x) = /' (x), les équations (2) et (6) sont les relations bien connues entre les coefficients et les sommes des puissances des racines de Téquation /(x) = o.

On a supposé dans ce qui précède m <^ /i ; si Ton avait m = /ï (*), on trouverait, par une légère modification de la méthode ,

(2') «0 Sr H- «1 Sr i -f- «î Sr 2 -h . • . "h «.■ S« = ^r+i 9

ce qui, dans le cas de r = o, reproduit la formule connue

Pour montrer Tanalogie des S^ avec les sommes des puissances des racines, soit fait, pour abréger,

et considérons le déterminant

A| Aj. 9 • An

A| .Vi A3 J?2 • • • An Xff

A,d?j AjX^ ... An.r^

on a évidemment

Se S| . . . S»— t Si S2« • . Su

Sn— I Sji . . . Sjn— j

( *) Ce qui suit jusqu'à a® est emprunté à un manuscrit de l'auteur, postérieur à la Note des Annales de M. ïortolini. ( Note du Traducteur.)

mais

et, par suite,

H = Al As . . Ar

.rj ..

OÙ 5^ = j:[ -4- x^ -t- . • . -h x^' Par conséquent, en représentant par A ce dernier déterminant, on aura

Or on sait que

donc

ff{x,) (p(x,). . . ç(.r;,) = V.

Voici un autre résultat auquel sa singularité donne quelque importance. Considérons le déterminant

An^n

— As A3 . . . An

On a

Si Sj. . . S/i i A| Xi

Su— 2 Sn i . . ♦ Oan— I

Al Ai j;,. . . Ai^"

Aix"

et si Ton fait

on pourra encore écrire

S„ S|... Sn^, I

S| Sj. . . S;i— I ^«

Sn» S.!-.». . . Sin— 4 a?|

Or on sait que

donc, en se reportant à la seconde expression de M, on aura

f'{x,Y ds,„

Si l'on multiplie les deux membres de cette équation par A] A' . . . A' , et qu'on ait égard à l'équation (a), il vient

?(*») ?(-^s). «. ff{x„)=/'{x,)

( '56) ou bien

Actuellement, si les équations /(x) = o, (p(j:) = o ont en commun la seule racine Xi , il en résulte y = o , et l'équation précédente divisée par (f(Xi) (f{Xi).., (f {x^) devient

résultat au moins singulier si Ton fait attention que -r^ —

"San— 2

est fonction des seuls coefficients. Il est bon de remarquer que cette dernière relation ne subsiste plus si les équations ont quelque autre racine commune, parce qu'il devient alors impossible d'effectuer la division par (f [xt) f (xs) . . . ç (r„). Les produits analogues à'^ (xj) <f(x^) ... y (a:„) peuvent s'obtenir plus généralement de la manière suivante. Ayant fait

R, = (p(x,) <p{^3).. . <p(.r„), R,=:ç(ar,) ^(xj). .. ff{x„), etc.,

et supposant que les équations f{x) = o, ç (x) = o admettent la seule racine commune Xi , le résultat de l'élimination de X entre ces deux équations s'obtiendra en posant

V = <p(^*i} ^(^j). • . ?(jc„) = o.

Or y étant une fonction descoefficientsao, ai,..., 60? ^iv' on aura

mais

dxs i__ «r .

( '57 ) donc

Maintenant, parla méthode d'Abel [voyez Sjerret, p. 59, jélgebre supérieure, a® édition) , on a

(|; et désignant des fonctions rationnelles et le 2 se rapportant aux racines de f{x) = o. Si l'on prend

f' (x) ou aura évidemment

2R0(a:)=: — --1, et conséquemment

./x ^ I dv d^ d^\

da^

re qui constitue une forme nouvelle propre à représenter une fonction rationnelle de la racine commune à deux équations. On en déduit sur-le-champ

n^ n-i 7 . . dv ^ d^ ^ d^dA

' * ' * ' don ' da,i^i doi ' doo '

résultat obtenu par M. Richelot (voir Nous^elles Annales, octobre i854) par une autre méthode^ et qui conduirait réciproquement à la formule qui vient de le fournir. Supposons présentement

et posons

On verra, comme lorsqu'il s'est agi de l'expression (a) de y, que

Mais de ^(x)

ffo 0"i . . . 0',i 2

0*1 Ci . . 0"/î— 1

0"«— a 0"n— l • • • Cr2„4

= -^^^^ on déduit

j? — J?i (.zr — .T. r

X — jr, (.r — .r, et , par suite , pour r = 2 , 3 , . . . , w ,

.r, Xi

On aura donc , par la substitution ,

et, par conséquent ,

0"r = Sr+i — -3^1 Sr.

Par cette relation il viendra

S| — .r, So Sa — ^i S| . . . Sn—i — .î^i Sfl^s

î>a — .^1 S| Oj — X^ 02 . . . îi/i — X^ »J||— I

ou bien

Sa S| . . . Sn__i

S| Sj. . . Sn

Sn 2 S|,i . . . Sîft—a

On obtiendrait les Rg, R3 en écrivant x, , Xs • • • ^ 1^ place de Xi, On apercevra par ce qui va suivre la relation trèssimple qui règne entre les R^ et les dénominateurs des réduites de la fraction continue propre à représenter Vf-i' 2°. Si l'on pose

(7) ^WW

^ww

{^r^Xn)f(T„)

«rTo

ce qui entraîne

on a le

Théorème II, — L'expression

(8) a, Tr •+■ a, Tr i + a^ T,^, -h .

est égale à

To («0 ^ -H «l .^~*' -f- . . . -h ûr-l ^ -+- «!•)

en ayant soin de mettre zéro à la place des coefficients b dont les indices seraient négatifs.

On aperçoit sans peine que ce théorème est une conséquence du théorème I , qui montre que

et, par suite,

(9) T, = To .r*- - (.r^-' So + •r'--^ S, H- . . . -f- .r S,2 +• S,.,).

( "«eo )

3^. Supposons que la recherche du plus grand commun diviseur de. f[x) et (p (x), effectuée en changeant le signe du dividende et celui du diviseur dans chaque division partielle (comme cela se se pratique dans le théorème de M. Sturm), conduise aux relations

(/__ n ?__ Zi .. .

f — - = ^m — —5 — - = qm-^^ ,

les ^1, y,,..., ^,„^i désignent les quotients obtenus dans les divisions successives, le premier étant en général du degré n — m et les autres linéaires 5 et les ''1 , r,, . . . , r„ sont les restes correspondants dont les degrés respectifs sont généralement m — i, m — 2,.,., 1,0. Si l'on représente par

les réduites successives de la fraction continue

qi I

on aura

(II) r, = çD.-/N., /'. = ,|,D,~/iN„..., /•, = <pD„-./N«

et les Dj, N, seront du degré n — m-^ s — 1 et 5 — i. Cela posé , nous nous proposons le problème suivant : Déterminer, en fonction des coefficients àef[x) et 9 (x),

les coefficients des résidus r, ceux des quotients q et ceux

des numérateurs et dénominateurs N , D.

D'après les formules de la décomposition des fractions

( 'ÔI )

ou a

As désignant le coefficient de x"""' dans le polynôme r\ (.r), et comme les équations (i i) donnent

il vient

rs{Xr) = ff(Xr)D,{Xr)y

En supposant

D, (x) = Cs .r*+''' 4- c[ x*+*-* H- ... -H c|*""'^ .r -f- c^'""'^

(où i = 5-f-^), et substituant dans les équations précédentes, on aura un nombre d'équations précisément égal au nombre des coefficients r^, c^ , . . . , et où ces dernières quantités auront elles-mêmes pour coefficients les S^ définis par Féquation (i). De ce système linéaire, on pourra donc déduire les expressions des c^, c, ,...; et si l'on fait

S» S| . » . S/__i Si Sî. . . Sj

S|| S|. ». Ojc— t

ou i=s-+-e=s-{-m — w , on aura

As dàj , A, d^i (/,) ^ fi Aj

Par conséquent ,

1 ^' W = JT / 1Ô. — "^ + 375 — -^ -

ce qu'on peut encore écrire

rfS, rfS,,

So Si . • . S/i

S| Sa ... Si

I a:. . . Xi^, D'ailleurs des relations {îi), savoir

combinées avec N, D,, — N,iD, = i, on déduit / = r,, D, — Ts D,, ,

et en substituant dans ces équations les valeurs on en conclut sur-le-champ

As-.! Cj = «0 7

c'est-à-dire, en ayant égard à la valeur de c, et observant que ;t^ — = A,-,,

Au moyen des formules (a), (6) on passera de ces expressions qui sont formées avec les S,, aux expressions analogues formées avec les coefficients des fonctions/ (ar), (f (x).

La théorie de la décomposition des fractions rationnelles donne

ce qui, en ayant égard à Téquation (12,) et à l'expression (7) de T^, se transforme aisément en

So Sf . . . S|-i

To T..... T,^.

De là, par les formules (2), (6) et (8), on déduira les coelficients r,(j:) exprimés par ceux de f{x)^ Çi-^)- D'après Téquation (9), si l'on fait

X'-' So -+- X'-' s, 4- ... H- ^ S.2 -h Sr-« =/r, ,

en sorte que

le déterminant qui figure dans le second membre de lequation précédente se partagera dans les deux suivants :

• Si ,3

T, T.ar. .

Donc, en se rappelant que To = tt-tj et ayant égard à 1 equation (la), on aura

et, par conséquent^

Se Si S/-

di 1^3 « > . . • k>i

S|2 S|— 1 . . . Sj ;

o /. fi-^

So Si S/— 1

!ji Sj. • • • • S|

Sj 1—3

il n'y aura plus qu'à introduire les S^ exprimés par les coeiBcients de f(j^)^ Ç {x)^ pour avoir l'expression requise des N,.

Quant à la valeur d'un quotient quelconque ^,, on pourra la déduire indifféremment de Tune des relations connues