qs = n -Jf rr
On remarquera que la quantité que nous avons précédemment appelée R(^) n'est autre chose que D,„(a:^).
4". En différentiant les équations (lo) par rapport à jc, on obtient , après quelques réductions,
dx
( «65) OU, en supposant
En désignant par x'^x"^..., x^""^ les racines de l'équation <f (x) = a, on déduit de la précédente
— f' (a?('"))/(^(''>) = a3 r« (xC)) -f- «3 rj (^CO) + . . . + a^^i rj,, et cellesKîi, quand on a égard à (i i), fournissent
Si l'on suppose
et, par conséquent,
la première de ces équations donne
p{x,) p{x,) p{Xn)
où l'on a fait, pour abréger,
Dans le cas particulier où
la première ligne du déterminant qui précède devient divi-
sible par ai — i, et Ton a
propriété déjà énoncée par M. Sylvester [Philosophical Magazine, octobre 1 853) . LMq^u.ation {i4) vérifie la conjecture de ce géomètre distingué relativement à l'existence d'une équation analogue à cette dernière dans le cas général où (p(x) serait une fonction quelconque du degré
5*^. En désignant par A,, A'^ les coefficients de oc"" % j^n-s-i ^j^j^g jç polynôme r, (j:)^ et par c,, c^ceux dea:'*~"*-*f ~S a:"""*"*"""* dans le polynôme D^ (a:), et se rappelant que
on a
Maintenant les formules pour la décomposition des fractions rationnelles donnent
et, par suite.
( * ) On a iheorj of the syzigetic relations of two rational intégral funclions, cta» {Philosophical Transactions j 1853, part ÏH, page 480.)
mais
donc
On trouve aussi
formules données sans démonstration par M. Sylvester dans le Mémoire cité [On a theoty, etc.). On peut joindre à ces relations les suivantes, qu'on vérifiera sans peine au moyen des principes ci-dessus exposés.
2,[D.(^.)N.{:r.)ll|l]=o,.
2,[d.(x,)D^.(x.)^^JJ=o,
6**. Le déterminant qui figure dans le second membre de Téquation {i3) peut, quand on a égard à Téquation
se transformer dans le suivant
Ti,
To T.... t,.
( '68) et coiiséquemment , en posant
ce même déterminant ne sera autre chose que le discriminant de la fonction quadratique F. Dans le cas de (f(x)=J^ (x), ce théorème avait déjà été énoncé par M. Hermile dans son intéressant Mémoire : Remarques sur le théorème de M. Sturm, présenté à F Académie française le i4 février i853.
Les valeurs des résidus exprimées au moyen des racines de f{x) = o peuvent aisément s'obtenir en considérant les mêmes résidus sous cette dernière forme. Ainsi > par exemple ,
To T.
xl^{.Tr)
{.T^a:,)f(Xs) '{^-.rr)fi.vr)
ou bien
To T.
f{Xr)f(^s) {x-^Xr){x^X,) \ .T, x}
ou encore
To T. I I <p(^.)y(.^r) (.r.— j;,)^
T. T, I""'' \f{x,)f{Xr) [,T.^Xs){x^Xr)
Sçmblablement
To T, T, T. % T,
.'• ff(Xs) y(.rr) y(^i) { ^s— -^r)^ (^r— '^jY {xj^X.Y
y(Xs)f{-^r)f{xù (.r-^,)(.r~.r,)(x-,.r,) '
et ainsi de suite. Le symbole S représente la somme d^autant de produits, analogues à celui qui est eii évidence, qu'il
{ «69) y a de combinaisons deux à deux, trois à trois, etc., des racines.
7^. Nous ajouterons les valeurs des résidus rj (j:), r^ (or), Tj {x) 5 exprimés par les coefficients des fonctions f(x) , ^(x)'y on pourra en déduire aisément la loi de formation pour un résidu quelconque. Les expressions qui suivent sont obtenues par la méthode employée dans la recherche analogue des résidus de Sturm, En supposant m=zn — i,
ou a
A. I b. bt al Aa 1/?, pt
00 «I flTî ^3
o bo bi bi
bt bt bi ^3
o />• pi Pi
ni^) =
ao dt «a 03 a^ ai, o a^ ai a, a^ a^ o o bo bi bi bi o 60 bt bi bi b^ bt bt bi bi bi bs o o pt Pi Pi Pk
ou
>i = «e <P («) , P\ = C^.^ + a,) (p (a:) — ^«/(.«), /?2=r («oa:-' •+• atx H- a,) ^ [x) — {b^x -+- ^i)/(x), /73 =: («a .r» |- a, a?» + rt,.r -f- «3) ç ( jr) — {p^ x^'\rbtX'\r bi)f{x).
Des équations (12') on déduirait en outre , pour s pair,
♦»< — ^^ ^^ T^ ri **i.
et pour 5 impair,
*'-ÂI AJAI.., AJ ^'^" Quant aux A, on les calculerait comme les résidus, et Ton
trouverait
O a^ Gx a, flj
o ht hi K t. b.
o ^0 ^1 bi b^ b^ bi bi 63 ^4
Des valeurs de r[x) on déduit celles de T){x)^ N(:c), exprimées déjà au moyen des coefficients des fonctions de ? (^)î f{^)'i ^^ cela par la forme même du déterminant second membre de la valeur de r[x)^ ainsi qu'on l'a indiqué à la fin de 3^.
Les expressions trouvées pour r [x) et A restent encore les mêmes dans le cas où m<^n — 15 il faut seulement avoir soin de remplacer par des zéros certains coefficients convenables des fonctions y {x) , /(x).
Payie, 10 aoât i854.
Remarque du Traducteur, — La formule (3) est démontrée par M. Brioschi , probablement de la manière suivante, dans le volume de l'année i854 des Annales de M. Tortolini,. volume que je n'ai pas sous les yeux, la Note qu'on vient de lire provenant d'un tirage à part :
-^ étant la somme des produits r + 1 à r-h i des racines
de y(x)=o, on peut considérer cette somme comme obtenue en multipliant par Xs la somme des produits r à r de toutes les autres racines et joignant à cela la somme des produits r-l-i à r-f-i des mêmes autres racines. La diflërentiation par x, fera donc disparaître cette seconde partie de
façon que
a^dx^
se trouvant ainsi égal à la somme des pro-
duits r à r de toutes les racines autres que Xs , ne sera autre
('7' ) chose que le coefficient de x""''^"'* dans le quotient , ' , :
ce qui démontre la formule (3). On aurait semblablement = le coemcieDt de j:«-'*~' dans -^ v /
et ainsi de suite.
Si f{x) =s o n'a pas de racines égales, comme on l'a supposé , il est clair que ^"^' = o. On pourrait d'ailleurs
former les expressions des dérivées partielles pour le cas des racines égales.
Soit (f une fonction quelconque des racines de l'équation f(x) = o -, on a
d^ y^ d^ dUr
dx, ^^ da, d.Vs r = 1
et, par suite,
i = n rz=zn s=in
-^ dff ^ d^ m dur
2^ '"'' d^,-^ 2à rTiT, 2- •'*' ^,
c'est-à-dire, en représentant par s^ la somme des puissances r des racines ,
s=.n r=zn
supposant, pour plus de simplicité, ao=i, et observant que ce qui est entre parenthèses est égal , par les formules
de Newton , à — ra,. , on aura finalement
Cette formule est encore démontrée par M. Brioschi dans le volume cité.
On trouve aussi de la même manière
5=rt rz=.n * = n
r = ii
ou
, à cause de 5^i-4-.a^5^j4-...-har-a^i-h(''—i)ar-i=o, nouveau résultat de M. Brioschi (même volume).
THÉORÈME D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE j Par m. FAURE.
(Nouvelles Annales, Mars i855.)
Si l'on divise le polynôme
n(^)= «o^-4-«i^-' -4- «jo:"*-' -h,, .-h arX"*"par le polynôme
( '73 ) et que Ton représente le quotient par
on trouve aisément qu^un terme quelconque du quotient tel que A^ a pour valeur
a, ao
OCi
ar__a ar-3 . • . «r
C'est ce principe bien simple qui, développé, ;nène à de nombreuses conséquences; ainsi, relativement aux fonctions symétriques , on sait que si l'on veut avoir la somme des valeurs que prend une fonction entière ç (a:) dans laquelle on remplace x successivement par toutes les racines d'une équation F (or) = o, il faut effectuer la division
F' ( jr) o (ar) .
— p. . 5 et la somme que Ton demande est le coefficient
du terme en - du quotient.
Supposons que H [pc) = F [x) ç (x) et que y {x) soit de degré r 5 le terme A^ x^-'»-»* pour lequel m^^n — r = — i donnera A^ pour la fonction symétrique cherchée. .
Si l'on a égard au procédé indiqué par M. Transon, on voit que la méthode précédente conduit à la détermination d'une fonction symétrique quelconque, et l'on substitue ainsi des multiplications aux divisions de M. Transon.
En particulier si l'on suppose (p (x) = i , le quotient
r=-W donnera la somme des puissances des racines de F (x) = o. La valeur de A^, en observant que ao = mao,
( >74) a, = (m — i) «1 , . . . , devient dans ce cas
Ar =
d'où
a« o , . , ma^
ai a^ ...(/» — i)ai
ttr «r-, ... {m — r)0Lr
A.(-«or'=:
o ao o . . . o
ai ai ao . . . O
2 a} as ai . . . o
rcCr Gtr «r— I ... a,
Cette relation revient à celle de Brîoschi, il suppose seulement ao = i. (Voir Nous^elles Annales^ tome XTTT ^ page 35a.)
Relativement à la division numérique dans un système quelconque , on arrive à ceci : Supposez que l'on veuille diviser le nombre
5312367 par 23457
écrit , par exemple , dans le système décimal \ le quotient sera de la forme
Ao 100 -H Al 10 -f- A,.
Or, diaprés la valeur générale de A,.,
Ao = -» A,
donc le quotient entier est
On voit de plus que les seuls chiffres qui servent à déter-
( «75 ) miner le quotient sont 53 1 'dans le dividende, 234 ^^^^ ^^ diviseur, et généralement autant de chiffres qu'il doit y en avoir au quotient. Ainsi le quotient des deux nombres précédents revient à celui de 53ioo gar 234»
Il y a encore d'autres conséquences relatives à la valeur du reste de la division de deux polynômes , aux séries récurrentes, aux fonctions de M. Sturm, etc.
