RACINES COMMUNES A DEUX ÉQUATIONS

(BRIOSGHI, Nouvelles Annales , Mars i855.)

Soient

(i) |/(a:) = ûoa:" -^fl.x«-' H-... + a„ =o,

les deux équations , a^i , Xj, . . ., j^n les racines de la première supposées inégales, et

Supposons que les équations (i) aient /• (et seulement r) racines communes, on a la proposition suivante :

Théorème, Les r racines communes aux deux équations (i) sont les racines de celle-ci :

d'Y rf'-V . '•('• — ^'V

dbl db^db^^ 2 db'^-'dbl

-(-')'-r— T7rrx-f-(-iy

dKdb,:, ' db,^,

( '76) ou de cette autre

jrX" — r — ^r-i X'-' -h . . .

^(f/ ^(ff da

En eflet, de Téquation (2) on déduit

dV

' elb,^rlb,,db,.

ou

?(«i) <p(xi) <pW

r, =r m — 5,, T'a = /W — Jjj . . . ,

Si les équations (i) ont la seule racine commune Xi, la première équation (3) donne

et , par conséquent ,

r/V dV

db„ dbn-x

résultat obtenu par M. Richelot.

Si les équations (i) ont en commun les seules racines

( «77 ) Xi,Xt, la seconde des équations (3) donne

db.,db, d'où

d'\ rf'V d'V

et les Xi , Xj seront les racines de l'équation

dbl db^db^^, dbl^,

De même si les équations (i) n'admettent simultanëmenl que les racines x^^ x^^ X3, la troisième équation (3) fournit

^, ,, , — = 2 \x, Xj -h j:, 0:3 -h ^2.1^3) V 1,2,3, -TTî— = a:, ^a-r» V,,,,,, dbdbJn^^ db^^i

et les trois racines communes seront en conséquence les racines de l'équation

En se laissant guider par l'analogie, on pourrait conclure à la généralité du théorème-, mais la méthode suivante, plus féconde en conséquences, ne laissera aucun doute à ce sujet.

Représentons par Pj le symbole d'opération

dV ^ dy s(s-^\) , , dy

db„^ dbn^y 2 dbtn-.i

dy , , dy

-^-^y'^Tb — ^^^^^'db~'

( 178 ) En subslîluani pour --7-, -7 — v> leurs valeurs déduites de la première (3), on obtient

Répétons sur la fonction V une seconde fois l'opération P^ ,

c'est-à-dire formons le carré du polynôme Pi en changeani

dans les dérivées les exposants en indices : on aura de la

sorte

\ 1.2 db„,db„^^ dbl,J